11 клас. Геометрія. Урок 7. Паралелепіпед

Паралелепіпед

Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограми.

• Яким многокутником є будь-яка грань паралелепіпеда?

Дві не сусідні грані паралелепіпеда називаються протилежними гранями паралелепіпеда.

Будь-які дві протилежні грані паралелепіпеда лежать у паралельних площинах.

Прямий паралелепіпед

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи.

• Що може бути основами прямого паралелепіпеда?

Основи прямого паралелепіпеда – паралелограми

• Чим є всі бічні грані паралелепіпеда?

У прямого паралелепіпеда всі бічні грані - прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед – це прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники.

• Що можемо сказати про усі грані прямокутного паралелепіпеда?

Усі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками

Довжини ребер $BA,BC,BB_1$ - виміри прямокутного паралелепіпеда

Виміри прямокутного паралелепіпеда – це довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини.

• Яку умову необхідно накласти на виміри прямокутного паралелепіпеда для того, щоб він був кубом?

Всі три його виміри мають бути рівними

• Якими многокутниками є усі грані куба?

Усі грані куба є квадратами

Види паралелепіпедів

• Скільки діагоналей має паралелепіпед?

Діагоналі будь-якого паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Теорема (про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда)

Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його трьох вимірів.

Дано: $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямокутний паралелепіпед, $AC_1$ - діагональ, $BC,BA,BB_1$ - виміри

Довести: $AC_1^2=BA^2+BC^2+B_1B^2$

Доведення

1. З $∆ABC ∠B=90°,$ за теоремою Піфагора: $AC^2=AB^2+BC^2$

2. З $∆ACC_1 ∠C_1=90°,$ за теоремою Піфагора: $AC_1^2=AC^2+CC_1^2$

3. Оскільки $\mathbb{C\C}_1=BB_1$, тоді $AC_1^2=AC^2+BB_1^2$

4. Отже, $AC_1^2=BA^2+BC^2+B_1B^2$

Наслідок: діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

ПЕРЕВІРИМО

№17.1 (Усно)

Чи можна вважати правильним таке означення куба: «Кубом називають правильну чотирикутну призму, висота якої дорівнює стороні основи?»

№17.3

Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут $60°.$. Знайдіть висоту паралелепіпеда.

№17.5

Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см.

№17.7

Ребро куба дорівнює $a$ . Чому дорівнює діагональ куба?

Домашнє завдання:

Вивчити п. 17, виконати № 17.4; 17.6; 17.8.