10 клас. Геометрія. Урок 49. Додавання і віднімання векторів

Додавання і віднімання векторів

Правило трикутника

Від кінця вектора відкладаємо вектор, рівний $\overrightarrow{b}$. З'єднуємо початок першого вектора і кінець іншого. Одержаний вектор, початок якого збігається з початком вектора $\overrightarrow{a}$, а кінець — з кінцем вектора $\overrightarrow{b}$, називається сумою цих векторів.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$

Для будь-яких трьох точок A, B i C виконується рівність $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Властивості додавання векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a,}$ $\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{c}$ виконуються рівності:

1. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a;}$

2. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (переставна властивість);

3. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$(сполучна властивість).

Для тетраедра DABC можна за писати: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$

Правило паралелограма

Відкладемо від довільної точки A вектор $\overrightarrow{AB}$, рівний вектору $\overrightarrow{a}$, і вектор $\overrightarrow{AD}$, рівний вектору $\overrightarrow{b}$. Побудуємо паралелограм ABCD. Тоді шукана сума $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$дорівнює вектору $\overrightarrow{AC}$.

Правило паралелепіпеда

Розглянемо вектори $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ і$\overrightarrow{OC}$, які не лежать в одній площині. Знайдемо суму цих векторів.

Побудуємо паралелепіпед так, щоб відрізки OA, OB і OC були його ребрами.

Відрізок OD є діагоналлю цього паралелепіпеда. Покажемо, що $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$.

Оскільки чотирикутник OBKA — паралелограм, то $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}$.

Маємо: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}$.

Оскільки чотирикутник OCDK — паралелограм, то $\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$

Сумою векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)$

Різницею векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають такий вектор $\overrightarrow{c}$, сума якого з вектором $\overrightarrow{b}$ дорівнює вектору $\overrightarrow{a}$

Записують: $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

Побудуємо вектор, що дорвінює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$

Від довільної точки O відкладемо вектори $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$, відповідно рівні векторам $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Тоді $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$.

За означенням різниці двох векторів $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$, тобто $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$, отже, вектор $\overrightarrow{BA}$ дорівнює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Для будь-яких трьох точок O, A і B виконується рівність $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}.$

Різниця векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)$

№40.1

Дано призму ABCA₁B₁C₁. Знайдіть суму векторів:

1. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA_1}$;

2. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A_1C_1}.$

№40.3

Дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Знайдіть суму $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{B_1C_1}$.

№40.5

Дано вектори $\overrightarrow{a}\left(3;-6;4\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(-2;4;-5\right)$. Знайдіть:

1. координати вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$;

2. $\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert$

Домашнє завдання:

Вивчити п.40 (конспект), виконати № 40.2; 40.4; 40.6.

№ 40.2. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Знайдіть суму векторів: 1) $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{DD_1}$; 2) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C_1D_1}$.

№ 40.4. Дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Знайдіть суму $\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{DB_1}+\overrightarrow{BC}$.

№ 40.6. Дано вектори $\overrightarrow{m}\left(-7;-1;8\right)$і $\overrightarrow{n}\left(-3;2;-4\right).$ Знайдіть: 1) координати вектора $\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$; 2) $\vert\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\vert$.

Конспект