10 клас. Геометрія. Повторення теми "Координати та вектори у просторі"

Прямокутна система координат у просторі

Три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О називаються координатними осями:

вісь х – вісь абсцис, вісь у – вісь ординат, вісь z – вісь аплікат

точку О називають початком координат

Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну

Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координатними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz. Координатні площини розбивають весь простір на вісім частин, які називають октантами

Якщо задано систему координат у просторі, то кожній точці простору можна поставити у відповідність три впорядковані дійсні числа х, у, z, і навпаки: кожній трійці чисел х, у, z — єдину точку простору. К (x; y; z)

Для визначення координат точки в даній прямокутній системі координат у просторі достатньо побудувати прямокутний паралелепіпед з вершинами: у даній точці, у її проєкціях на координатні площини, у проєкціях цих проєкцій на осі координат і в початку координат.

Проекції точки на площину

Існує точка А (x; y; z).

Відстань від точки до площини

Існує точка А (x; y; z).

Відстань між точками у просторі

Довжина відрізка АВ у просторі, де $A\left(x_1;y_1;z_1\right)$ i $B\left(x_2;y_2;z_2\right)$

$AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$

Координати середини відрізка

Кінці відрізка задані точками $A\left(x_1;y_1;z_1\right)$ і $B\left(x_2;y_2;z_2\right)$. $M\left(x_{M};y_{M};z_{M}\right)$ – середина відрізка.

Координати точки $M$:

$x_{M}=\frac{x_1+x_2}{2};$ $y_{M}=\frac{y_1+y_2}{2};$ $z_{M}=\frac{z_1+z_2}{2}$

Вектори у просторі. Рівність векторів

Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Вектор - напрямлений відрізок.

Під направленим відрізком розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем.

Позначення: $\overline{AB};$ $\overrightarrow{AB;}$ $\overline{a;}$ $\overrightarrow{a}$

Вектор, у якого початок і кінець - одна й та сама точка, називають нульовим або нуль-вектором.

$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

Два ненульових вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Якщо ненульові вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$− колінеарні і промені AB і CD співнапрямлені, то і вектори називаються співнапрямленими. Якщо промені протилежні, то вектори називаються протилежно напрямленими.

$\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow b$$\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b}$

Два ненульових вектори називають рівними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Координати вектора дорівнюють різниці координат його кінця та початку.

Нехай

$A\left(x_1;y_1;z_1\right)$; $B\left(x_2;y_2;z_2\right)$ , тоді координати вектора $\overrightarrow{AB}\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\right)$

Рівні вектори мають рівні відповідні координати, і навпаки, якщо координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.

Модулем вектора або абсолютною величиною вектора $\overrightarrow{AB}$називають довжину відрізка $\overrightarrow{AB}$

Позначення: $\overrightarrow{\vert AB\vert}$ або $\left\vert\overrightarrow{a}\right\vert$

Модуль нульового вектора дорівнює нулю. $\vert\overrightarrow{0}\vert=0$

$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$ або

$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{a_{1^{}}^2+a_2^2+a_3^2}$, де $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $a_1=x_2-x_1,$ $a_2=y_2-y_1,$ $a_3=z_2-z_1.$

Додавання і віднімання векторів

Правило трикутника

Від кінця вектора відкладаємо вектор, рівний $\overrightarrow{b}$. З'єднуємо початок першого вектора і кінець іншого. Одержаний вектор, початок якого збігається з початком вектора $\overrightarrow{a}$, а кінець — з кінцем вектора $\overrightarrow{b}$, називається сумою цих векторів.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$

Для будь-яких трьох точок A, B i C виконується рівність $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Властивості додавання векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a,}$ $\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{c}$ виконуються рівності:

1. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a;}$

2. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (переставна властивість);

3. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$(сполучна властивість).

Для тетраедра DABC можна за писати: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$

Правило паралелограма

Відкладемо від довільної точки A вектор $\overrightarrow{AB}$, рівний вектору $\overrightarrow{a}$, і вектор $\overrightarrow{AD}$, рівний вектору $\overrightarrow{b}$. Побудуємо паралелограм ABCD. Тоді шукана сума $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$дорівнює вектору $\overrightarrow{AC}$.

Правило паралелепіпеда

Розглянемо вектори $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ і$\overrightarrow{OC}$, які не лежать в одній площині. Знайдемо суму цих векторів.

Побудуємо паралелепіпед так, щоб відрізки OA, OB і OC були його ребрами.

Відрізок OD є діагоналлю цього паралелепіпеда. Покажемо, що $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$.

Оскільки чотирикутник OBKA — паралелограм, то $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}$.

Маємо: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}$.

Оскільки чотирикутник OCDK — паралелограм, то $\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$

Сумою векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)$

Різницею векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають такий вектор $\overrightarrow{c}$, сума якого з вектором $\overrightarrow{b}$ дорівнює вектору $\overrightarrow{a}$

Записують: $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

Побудуємо вектор, що дорвінює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$

Від довільної точки O відкладемо вектори $\overrightarrow{OA}$ і $\overrightarrow{OB}$, відповідно рівні векторам $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Тоді $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$.

За означенням різниці двох векторів $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$, тобто $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$, отже, вектор $\overrightarrow{BA}$ дорівнює різниці векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Для будь-яких трьох точок O, A і B виконується рівність $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}.$

Різниця векторів $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2;b_3\right)$ називається вектор $\overrightarrow{c}\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)$

Множення вектора на число

Добутком ненульового вектора $\overrightarrow{a}$ і числа $k$, відмінного від нуля, називають такий вектор $\overrightarrow{b}$, що:

1. $\vert\overrightarrow{b}\vert=\vert k\vert\cdot\vert\overrightarrow{a}\vert;$

2. якщо $k > 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\uparrow\overrightarrow{a}$ якщо $k < 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\downarrow\overrightarrow{a}$.

   Записують: $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

   Якщо $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ або $k = 0$, то вважають, що $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{O_1C_1}$; $\overrightarrow{B_1O_1}=-\frac12\overrightarrow{DB}$; $\overrightarrow{A_1C_1}=-2\overrightarrow{OA}$.

Зауваження. $1\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

Теорема. Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ виконується рівність$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-1\right)\cdot\overrightarrow{b}.$

Добуток $−1\cdot\overrightarrow{a}$ позначають $−\overrightarrow{a}$ і називають вектором, протилежним вектору $\overrightarrow{a}$.

Теорема. Якщо вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ колінеарні й $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$, то існує таке число $k$, що $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Теорема. Якщо координати вектора $\overrightarrow{a}$дорівнюють $(a_1;a_2;a_3)$, то координати вектора $\overrightarrow{ka}$ дорівнюють $(ka_1;ka_2;ka_3)$.

Властивості:

Для будь-яких чисел $k$, $m$ і для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ виконуються рівності:

1. $\left(\operatorname{km}\right)\overrightarrow{a}=k\left(m\overrightarrow{a}\right)$(сполучна властивість);

2. $\left(k+m\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}$ (перша розподільна властивість);

3. $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (друга розподільна властивість).

Кут між векторами. Скалярний добуток векторів

Величину кута AOB називатимемо кутом між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.

Кут між векторами a і b позначають так: $\angle\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$, .

Коли $\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b},$ то $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180\degree$

Якщо $\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b},$то вважають, що$\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$ або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то також вважають, що $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0\degree.$

Вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Записують: $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}.$

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ позначають так: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Якщо хоча б один із векторів $\overrightarrow{a}$або $\overrightarrow{b}$ нульовий, то очевидно, що $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

Скалярний добуток $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}$ називають скалярним квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ і позначають $\overrightarrow{a^2}^{}$.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, тобто $\overrightarrow{a^2}^{}=\vert\overrightarrow{a}\vert^2.$

Теорема. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Теорема. Скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Теорема. Косинус кута між ненульовими векторами $\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)$ і $\overrightarrow{b}(b_1;b_2;b_3)$ можна обчислити за формулою

$\cos\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

Властивості скалярного добутку векторів

Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ і будь-якого числа $k$ є справедливими рівності:

1. $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a};$

2. $(\overrightarrow{ka})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b});$

3. $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$

№1

№2

№3

№4

№5