10 клас. Алгебра. Урок 58. Точки екстремуму функції

Точки екстремуму функції

Інтервал $(a; b)$, який містить точку $x_0$, називають околом точки $x_0$.

Точку $x_0$ називають точкою максимуму функції $f$, якщо існує окіл точки $x_0$ такий, що для всіх $x$ з цього околу виконується нерівність $f\left(x_0\right)\ge f(x)$

Точку $x_0$ називають точкою мінімуму функції $f$, якщо існує окіл точки $x_0$ такий, що для всіх $x$ з цього околу виконується нерівність$f(x_0)\le f(x).$

Точки максимуму і мінімуму - це точки екстремуму функції.

Ознака точки максимуму функції:

Нехай функція$f$є диференційовною на інтервалі $(a; b)$ і $x_0$— деяка точка цього інтервалу.

Якщо для всіх $x\in(a;x_0]$ виконується нерівність$f^{\prime}(x)\ge0,$ а для всіх $x\in[x_0;b)$ виконується нерівність$f^{\prime}(x)\le0,$то точка $x_0$ є точкою максимуму функції $f$

Коротко: якщо при переході через точку $x_0$ похідна змінює знак з плюса на мінус, то $x_0$— точка максимуму.

Ознака точки мінімуму функції:

Нехай функція$f$є диференційовною на інтервалі $(a; b)$ і $x_0$— деяка точка цього інтервалу.

Якщо для всіх $x\in(a;x_0]$ виконується нерівність$f^{\prime}(x)\le0,$ а для всіх $x\in[x_0;b)$ виконується нерівність$f^{\prime}(x)\ge0,$то точка $x_0$ є точкою мінімуму функції $f$

Коротко: якщо при переході через точку $x_0$ похідна змінює знак з мінуса на плюс, то $x_0$— точка мінімуму.

Схема знаходження точок екстремуму функції $f$

1. Знайти $f^{\prime}(x)$.

2. Дослідити знак похідної в околах критичних точок.

3. Користуючись відповідними теоремами, стосовно кожної критичної точки з’ясувати, чи є вона точкою екстремуму.

№12.1

На рисунку зображено графік функції $y = f (x),$ визначеної на проміжку $[–10; 9].$Укажіть:

1. критичні точки функції;

2. точки мінімуму;

3. точки максимуму.

№12.6

Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції

1. $f\left(x\right)=\frac13x^3-x;$

2. $f\left(x\right)=4x-\frac13x^3;$

3. $f\left(x\right)=-x^2+4x-3;$

4. $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+3x^2-7x+4;$

5. $f\left(x\right)=2x^4-4x^3+2;$

6. $f\left(x\right)=2+x^2+2x^3-2x^4.$

№12.10

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1. $f\left(x\right)=\frac14x^4-2x^3+7;$

2. $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^3\left(x-2\right)^2;$

3. $f\left(x\right)=\frac16x^6+\frac45x^5+x^4+3.$

Домашнє завдання:

Вивчити п.12 (конспект), виконати № 12.2; 12.7; 12.11.

Конспект