10 клас. Алгебра. Урок 42. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних

Тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших

за допомогою введення нової змінної

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння $2\sin^2x+\sin x-1=0$

Зробимо заміну $\sin x=t$, тоді $2t^2+t-1=0$, $D=1-4\cdot2\cdot\left(-1\right)=9,$ $t_1=\frac12;$ $t_2=-1$.

Отже,$\sin x=\frac12$; $x=\left(-1\right)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,$ $n\in Z$

$\sin x=-1,$ $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$ $n\in Z$

Відповідь: $\left(-1\right)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$$ $$$ n\in Z $$$

Однорідні тригонометричні рівняння

Рівняння виду $a\sin x+b\cos x=0$, де $a$ i $b$ одночасно не дорівнюють нулю, називають однорідним тригонометричний рівнянням першого степеня.

Рівняння виду $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ , де $a,$ $b$ i $c$ одночасно не дорівнюють нулю, називають однорідним тригонометричний рівнянням другого степеня.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння$\sin x-\cos x=0$

Якщо $\cos x=0,$ то з даного рівняння випливає, що $\sin x=0.$ Але $\sin x$ i $\cos x$ не можуть одночасно бути рівними нулю, оскільки має місце рівність $\sin^2x+\cos^2x=1.$

Отже, множина коренів даного рівняння складається з таких чисел $x,$ при яких $\cos x\ne0$

Поділимо обидві частини даного рівняння на $\cos x$, отримаємо $\tg x-1=0;$ $\tg x=1;$ $x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$

Відповідь: $\frac{\pi}{4}+\pi n,$ $n\in Z$

№831

Розв'яжіть рівняння:

1. $2\sin^2x+\sin x-1=0;$

2. $2\cos^2x-5\cos x-3=0;$

3. $\sin^23x+2\sin x-3=0;$

4. $\tg^2x-2\tg x-3=0;$

5. $3\ctg^22x+\ctg2x-4=0;$

6. $3\cos^2\frac{x}{4}+5\cos\frac{x}{4}-2=0.$

№833

Розв'яжіть рівняння:

1. $\sin x-\cos x=0;$

2. $\sqrt3\sin x+\cos x=0;$

3. $3\sin x=2\cos x;$

4. $4\cos2x-\sin2x=0;$

5. $\sin\frac{x}{3}+5\cos\frac{x}{3}=0;$

6. $\sin^2x-5\sin x\cos x+4\cos^2x=0;$

7. $\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}=0;$

8. $3\sin^2x-2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x=0.$

№835

Розв'яжіть рівняння:

1. $6\cos^2x+5\sin x-7=0;$

2. $2\sin^2x+7\cos x+2=0;$

3. $\cos2x=1+4\cos x;$

4. $2\cos x-\cos2x-\cos^2x=0;$

5. $\cos2x+\sin x=0;$

6. $\cos\frac{2x}{3}-5\cos\frac{x}{3}-2=0;$

7. $\cos2x-\cos^2x-\sqrt2\sin x=0;$

8. $\cos\frac{x}{2}+\cos x=0;$

9. $\tg x+\ctg x=-2;$

10. $8\sin^23x+4\sin^26x=5;$

11. $4\tg5x+3\ctg5x=7;$

12. $\frac{1}{\sin^2x}=\ctg x+3;$

13. $2\tg^2x+4\cos^2x=7;$

14. $\cos2x-4\sqrt2\cos x+4=0.$

№837

Розв'яжіть рівняння:

1. $\sin^2x+0,5\sin2x-2\cos^2x=0;$

2. $\cos^25x+7\sin^25x=4\sin10x;$

3. $\left(\cos x+\sin x\right)^2=1-\cos2x;$

4. $3\sin^2x-7\sin x\cos x+14\cos^2-2=0;$

5. $5\cos^2x-3\sin^2x-\sin2x=2;$

6. $3\sin^2x+\sin x\cos x+4\cos^2x=3;$

7. $3\sin x\cos x+\cos^2x=1;$

8. $\frac{2\cos x+\sin x}{7\sin x-\cos x}=\frac12.$

Домашнє завдання:

Опрацювати п.35, виконати № 832, 834 (1, 4, 5), 836 (1,3, 9), 838 (2)