Тест "Розміщення прямих та площин у просторі. Перерізи многогранників"

Укажіть усі правильні твердження.
а) Через точку A, що не належить площині α, можна провести
лише одну пряму, паралельну площині α.
б) Через точку A, що не належить площині α, можна провести
лише одну площину, паралельну площині α.
в) Через точку A, що не належить площині α, можна провести
лише одну пряму, перпендикулярну до площини α.
г) Через точку A, що не належить площині α, можна провести
лише одну площину, перпендикулярну до площини α.

Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть серед поданих пряму, що утворює з CD₁ пару мимобіжних прямих.

Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. З поданих, виберіть фігуру, яка є перерізом куба площиною, що проходить через точки A, C, C₁.

Через вершину прямого кута C рівнобедреного прямокутного трикутника ABC проведено пряму CK, перпендикулярну до його площини. Знайдіть відстань від точки K до прямої AB,
якщо AC = 4 см, а CK = 2√7 см.

На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. До кожного початку речення (1 – 3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є рівнобічна трапеція ABCD. Основа AD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу BC. Через бічне ребро CC₁ призми проведено площину, паралельно ребру AB. Знайдіть площу утвореного перерізу (y см²), якщо об’єм призми дорівнює 756 см³, а її висота — 9 см.

Точки M, N, Q, i P — середини відрізків DB, DC, AC i AB (див. рис.). Знайдіть периметр чотирикутника MNQP, якщо AD = 14 см, BC = 18 см.

Відомо, що прямі AB і CD мимобіжні. Яке взаємне розміщення прямих AD і BC?

Паралельні відрізки А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂ знаходяться між паралельними площинами α і β (див. рис.). Який вигляд має чотирикутник A₁B₁B₂A₂?

Дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Яке взаємне розміщення прямих AC і A₁C₁?

У паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ побудований переріз площиною, яка проходить через точки B₁, D₁ і середину ребра CD. Якою фігурою є утворений переріз?

У трикутнику ABC ∠С = 90°, AC = 6 см, CB = 8 см, CM — медіана. Через вершину C проведено відрізок СЕ, перпендикулярний до площини трикутника, CE =12 см. Знайдіть довжину відрізка EM.

Пряма АЕ перпендикулярна до площини ромба ABCD. Точка N — точка перетину діагоналей AC і BD. Яке взаємне розміщення прямих BD і AE?

З точки E, яка не належить площині α, до неї проведені перпендикуляр EO і дві похилі EB, EC. Відомо, що ∠ОЕВ = ∠ОЕС = 60°, EO = 3 см. ∠ВОС = 120°. Знайдіть довжину відрізка BC.

Відстань від точки E до кожної з вершин рівностороннього трикутника ABC дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки E до площини трикутника ABC, якщо його сторона дорівнює
3√3 см.

Відстань від точки M до кожної зі сторін правильного трикутника ABC дорівнює 3 см. Знайдіть відстань від точки M до площини трикутника ABC, якщо його сторона дорівнює 4√3 см.

Квадрат ABCD і прямокутник ADEM мають спільну сторону. Двогранний кут між їх площинами дорівнює 90°. Знайдіть сторону квадрата, якщо AM = 6 см, MC =10 см.

Точка A належить площині α, а точка B віддалена від цієї площини на відстань 10 см. Точка E ділить відрізок AB у відношенні 2 : 3, рахуючи від точки B. Знайдіть відстань від точки E до площини α.

Прямі a і b паралельні. Точки A і B лежать на прямій a, а точки C і D — на прямій b. Яке взаємне розміщення прямих AC і BD?

Точка M не належить площині різностороннього трикутника ABC. З точки M до площини трикутника проведено перпендикуляр MO, точка M рівновіддалена від сторін трикутника.
Де знаходиться точка O?

До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр AE. Точка K ∈ ВЕ. Чому дорівнює величина кута між BC і EK?

Через вершину A прямокутника ABCD проведено пряму AE, перпендикулярну до площини прямокутника. Відомо, що ED = 6 см, EB = 9 см, AB = 7 см. Знайдіть відстань між прямими AE і CD.

Дано прямий паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основі якого лежить ромб. Через діагональ основи AC проведено переріз, паралельно діагоналі BD₁. Якою фігурою є цей переріз?

Прямі a і b паралельні. Через точку E прямої a проведено пряму EF , яка не збігається з прямою a, і не перетинає пряму b. Яке взаємне розміщення прямих EF і b?

На ребрах DA, DB і DC тетраедра DABC позначені точки M, N, P відповідно, так, що
DM : MA = DN : NB = DP : PC. Знайдіть площу трикутника MNP, якщо площа трикутника
ABC дорівнює 10 см², а DA : MA = 2 : 1.

Кінці відрізка AB знаходяться від площини α на відстані 2 см і 6 см, точка E — середина AB. Знайдіть відстань від точки E до площини α.

До площини α під кутом φ проведено похилу. Знайдіть величину кута φ, якщо довжина проекції похилої на площину α вдвічі менша від довжини похилої.

Гіпотенуза прямокутного рівнобедреного трикутника ABC лежить у площині α, а катет нахилений до цієї площини під кутом 30°. Знайдіть величину кута між площиною α і площиною трикутника ABC.

Установіть відповідність між означеннями (1 – 3) та поняттями (А - Д), які визначаються.

Установіть відповідність між початком твердження (1 – 3) та його закінченням (А – Д).

Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
II. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
III. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через дві прямі, які перетинаються, можна провести тільки одну площину.
II. Через точку, яка не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні.

На рисунку зображено чотирикутну піраміду SABCD. Серед наведених пар прямих укажіть пару мимобіжних прямих.

Площини α і β перпендикулярні, а пряма a перпендикулярна до площини β. Укажіть УСІ ПРАВИЛЬНІ твердження.
І. Пряма a обов’язково належить площині α.
ІІ. Пряма a може бути паралельною площині α.
ІІІ. Будь-яка площина, яка містить пряму a, перпендикулярна до площини α.

Із точки A до площини a проведено похилу AB, яка утворює з цією площиною кут 60°. Знайдіть довжину похилої AB, якщо її проекція на площину α дорівнює 3 см.