Прямі і площини у просторі. ТЕОРІЯ

Прочитай, запиши, запамятай.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

Прочитай, запиши, запамятай.

ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

• Можливі три випадки взаємного розміщення прямої і площини:

1) пряма належить площині: аα (мал. );

2) пряма і площина мають одну спільну точку, тобто перетинаються: а ∩α= К (мал.  );

3) пряма і площина не мають спільних точок, тобто є паралельними: а II α (мал. ).

Важливою є ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

На малюнку  пряма b не належить площині α, а аα і а II b. Тоді b II α (за ознакою паралельності прямої і площини).

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

Взаємне розміщення двох площин

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

Паралельне проектування

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ

Для зображення просторових фігур на площині часто використовують паралельне про­ектування.

Розглянемо цей спосіб зображення фігури. Нехай α - деяка площина, а l - пряма, що її перетинає (мал.  ).

Треба зобразити на площині α фігуру F₀, що не належить цій площині.

Для цього проведемо через довільну точку А₀ фігури F₀ пряму, паралельну прямій l. Точка А перетину цієї прямої з площиною α буде зображенням точки А₀. Побудувавши запропоно­ваним способом зображення кожної точки фігури F₀, отримаємо фігуру F - зображення фігу­ри F₀ на площині α.

При цьому точку А називають паралельною проекцією точки А₀ на площину α, а фігу­ру F - паралельною проекцією фігури F₀ на площину α. Говорять, що фігуру F отримали з фігури F₀ за допомогою паралельного проектування. Пряму l називають проектуючою пря­мою, а площину α - площиною проекції.

Сформулюємо основні властивості паралельного проектування за умови, що відрізки та прямі, що проектуються, не паралельні проектуючій прямій l.

1) Проекцією прямої є пряма (мал. ).

2) Проекцією відрізка є відрізок (мал. ).

3) Проекції паралельних відрізків - паралельні відрізки (мал. ) або відрізки, що нале­жать одній прямій (мал. ).

4) Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються.

5) Відношення довжин відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається, тоб­то дорівнює відношенню довжин їх проекцій.

На малюнку  відрізки А₀С₀ і С₀В₀ - відрізки однієї прямої, АС і СВ - їх проекції. За властивістю маємо:          .

• На згаданих властивостях ґрунтується зображення плоских фігур (за умови, що площи­ни цих фігур не паралельні проектуючій прямій).

1) Зображенням кожного трикутника може бути довільний трикутник.

2) Медіана трикутника зображується медіаною, середня лінія трикутника — середньою лінією.

3) Зображенням кожного паралелограма може бути довільний паралелограм.

Зокрема, довільний паралелограм може бути зображенням прямокутника, ромба, квадрата.

4) Зображенням трапецїі є трапеція.

5) Зображенням кола є еліпс.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ

• Як і на площині:

дві прямі, які перетинаються під прямим кутом, називають взаємно перпендикулярни­ми прямими (на мал. а ┴ b).

 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

1) Пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині, та проходить через точку їх перетину (на мал.  а┴α).

2) Для розв’язування задач важливою є ознака перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, які проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна і до площини.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

Приклад. Завдання У трикутнику АВС АВ = 8 см, ВС = СА = 5 см. Точка О належить площині трикутника * АВС, ОМ - перпендикуляр до площини трикутника АВС. Знайдіть довжину відрізка ОМ, якшо МА = МВ = МС = 5 см.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА

• Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до цієї площини.

На малюнку   АС — перпендикуляр, проведений з точки А до площини α. Кінець цього перпендикуляра, що лежить у площині α, - точку С називають основою перпендикуляра.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини.

На малюнку   довжина відрізка АС - відстань від точки А до площини а.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

На малюнку  АВ — похила, проведена з точки А до площини а. Кінець цієї похилої, що лежить у площині а, - точку В - називають основою похилої. Відрізок ВС, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, називають проекцією похилої АВ на площину а.

Властивості перпендикуляра і похилої, які проведені до даної площини з даної точки, такі самі, як і властивості перпендикуляра і похилої, проведених до прямої на площині

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.

Прочитай, запиши, запамятай.ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ

• Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

На малюнку  АС ┴α, АВ - похила. Через основу похилої - точку В - проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а ┴СВ, то а ┴ АВ, і навпаки, якщо а ┴АВ, то а ┴ СВ.

Прочитав? Записав? Запамятав? Відповідь: так.