Олімпіадний тренажер: математична кмітливість, 9 клас

Знайдіть найменше натуральне число n, для якого 2ⁿ > n³.

Яку остачу дає 3¹⁰⁰ при діленні на 13?

Скільки натуральних чисел від 1 до 100 включно є взаємно простими з 30?

Які з наведених виразів діляться на 6 для кожного цілого n?

a і b — непарні цілі числа. Яку остачу при діленні на 8 обов'язково має число a² + b²?

На площині проведено 6 прямих так, що жодні дві не паралельні, жодні три не проходять через одну точку. На скільки найбільше областей вони можуть розбити площину?

Скільки діагоналей має правильний восьмикутник?

У групі з 15 осіб кожна пара людей потиснула одна одній руки рівно один раз. Скільки всього було рукостискань?

Із чисел 1, 2, ..., 20 вибирають найбільшу можливу кількість чисел так, щоб жодні два вибрані числа не мали суму 21. Скільки чисел можна вибрати?

Скількома способами можна вибрати 3 вершини правильного шестикутника так, щоб жодні дві вибрані вершини не були сусідніми?

У квадратній сітці 4 × 4 потрібно пройти з лівого нижнього кута до правого верхнього, рухаючись лише вправо або вгору по лініях сітки. Скільки існує таких шляхів?

Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторень, якщо число має ділитися на 3?

Для ненульового дійсного x відомо, що x + 1/x = 3. Чому дорівнює x² + 1/x²?

Дійсні числа x і y задовольняють x + y = 10 та xy = 21. Знайдіть x³ + y³.

Для якого найменшого натурального n число n² + n + 41 є складеним?

Дійсні числа x і y задовольняють x² + y² = 50 та xy = 7. Які всі можливі значення x + y?

Дійсні числа x і y задовольняють x + y = 10 та xy = 21. Введіть значення x³ + y³.

Скільки цілих пар (x, y) задовольняють рівняння x² − y² = 45?

Скільки пар натуральних чисел (x, y) задовольняють рівняння xy = x + y?

1000 учнів по черзі змінюють стан 1000 лампочок: учень №1 перемикає кожну лампочку, учень №2 — кожну другу, учень №3 — кожну третю і так далі. Скільки лампочок залишаться увімкненими після всіх 1000 кроків, якщо спочатку всі були вимкнені?

Які остачі може мати 2ⁿ при діленні на 7, якщо n — натуральне число?

Шахівницю 8 × 8 намагаються замостити доміно 1 × 2. Чи можна повністю замостити її, якщо видалити дві протилежні кутові клітинки?

Із множини {1, 2, ..., 10} вибирають 6 різних чисел. Яке твердження обов'язково правильне?

Які з наведених виразів завжди є парними для будь-якого цілого n?

Скільки цілих чисел x задовольняють рівняння |x − 3| + |x + 1| = 10?

Нехай a, b, c — додатні цілі числа, a < b < c та a + b + c = 15. Якого найбільшого значення може набувати abc?

Які дві останні цифри має число 7²⁰²⁶?

Скільки пар натуральних чисел (x, y) без урахування порядку задовольняють рівняння 1/x + 1/y = 1/6?