Олімпіада. Математика. 11 клас

Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть усі двозначні числа, які задовольняють умовами задачі.

Робочий день скоротився з 8 год. до 7 год. На скільки відсотків потрібно

підняти продуктивність праці, щоб при тих самих розцінках заробітна плата

зросла на 5%?

У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 4 рази більша за висоту, проведену з вершини прямого кута. Знайти гострі кути трикутника.

Знайдіть множину розв′язків нерівності 3⋅4^x-5⋅6^x+2⋅9^x≤0. У відповідь запишіть найбільше ціле число, що є розв′язком нерівності.

На рисунку зображено куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між парою прямих та їхнім взаємним розміщенням.

Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток на стадіон після зниження ціни?

Швидкість бігуна А в 3 рази більше швидкості бігуна Б, а один кілометр він пробігає на 10 хвилин швидше. Скільки кілометрів кожен з них пробігає за годину?

Знайдіть всі цілі значення а, при яких рівняння має цілий корінь.

Фабрика розфарбовує кубики в 6 кольорів (кожну грань у свій колір, набір кольорів фіксований). Скільки різновидів кубиків можна виготовити?

Що більше 5¹⁵ чи 3²³ ?

Розв'яжіть рівняння

AH і CP - висоти трикутника АВС. Якою може бути величина кута В, якщо відомо, що АС = 2НР?

Ірина позначила точки A, B, C, D і E, що лежать на одному колі, і побудувала дотичну до цього кола в точці A так, щоб усі кути, позначені буквою x, були рівними. Чому дорівнює величина кута ∠ ABD?

Дві висоти трикутника дорівнюють 10 см і 11 см відповідно. Якому із значень, що наведено у відповідях, не може дорівнювати довжина третьої висоти?

На кожну шальку терезів поставили по три гирі. Положення терезів зображено на малюнку. Маси гир 101, 102, 103, 104, 105, 106 грамів. 106-ти грамова гиря стоїть на лівій шальці. Чому дорівнює найбільша можлива маса гир на правій шальці?