НМТ–2025. Основна сесія. Тест 6 (04.06.2025)

3 : 0,3 =

1. У кав’ярні пропонують 10 видів десертів і 12 видів кави. Відвідувач хоче замовити один десерт або одну чашку кави у цьому кафе. Скільки всього різних варіантів замовлення є у відвідувача?

1. На рисунку зображено чотирикутник ABCD. Знайдіть градусну міру невідомого кута C.

   

1. Розв’яжіть рівняння 3^х+1 = 81.

1. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть кількість прямих, що проходять через ребра куба, і є паралельними до прямої AB.

   

1. На рисунку зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку [–5; 5]. Укажіть ординату точки перетину цього графіка з віссю y.

   

1. У ромбі ABCD з вершини тупого кута проведено висота BM, яка ділить сторону AD навпіл (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?
   I. BM⊥BC
   II. Трикутник ABD є рівностороннім.
   III. ∠BAD удвічі менший від ∠ADC.

1. Спростіть вираз $p^2\cdot\left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4$.

1. Цукерки розфасовуються в коробки по 6 штук у кожній. Якому з наведених значень може дорівнювати загальна кількість цукерок, якщо всі вони були розфасовані в коробки без залишку?

1. У прямокутній системі координат у просторі задано точки C(–1; 3; –4) і D. Точка D є проєкцією точки C на вісь x. Знайдіть відстань між точками C і D.

1. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log₅x + 1 = log₅12.

1. У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Знайдіть довжину сторони AD паралелограма, якщо AC = 8 см, BD = 6 см, cos ∠AOD = -$\frac14$.

1. Укажіть первісну функції f(x) = 3cos x - x.

1. $\left(\frac25x+\frac13\right)\left(\frac13-\frac25x\right)=$

Розв’яжіть систему нерівностей

• У завданнях 16–18 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

• Відповідь запишіть у форматі 1А2Б3В без пробілів та інших символів. У іншому випадку відповідь не буде зарахованою!
  
  На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники ABC (AB = BC) і CMN (CM = MN), що лежать в одній площині. AN = 8 см, AB = 2$\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А–Д).

  

  1. Відрізок

     1 Відстань від B до сторони AC

     2 BM

     3 Відстань між серединами сторін AB і MN

  2. Довжина відрізка

     А 4 см.

     Б 6 см.

     В 7 см.

     Г 8 см.

     Д 10 см.

• У завданнях 16–18 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

• Відповідь запишіть у форматі 1А2Б3В без пробілів та інших символів. У іншому випадку відповідь не буде зарахованою!
  
  На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–4; 6]. Узгодьте проміжок (1–3) із функцією (А–Д), що описує графік функції y = f(x) на цьому проміжку.

  

  1. Проміжок

     1 [–4; 0]

     2 (0; 2]

     3 (2; 6]

  2. Функція

     А y = x³

     Б y = 12 - 2x

     В y = -$\sqrt{x}$

     Г y = 2^x

     Д y = $\sqrt{-x}$

• У завданнях 16–18 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

• Відповідь запишіть у форматі 1А2Б3В без пробілів та інших символів. У іншому випадку відповідь не буде зарахованою!
  
  Узгодьте вираз (1–3) й точку (А–Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де e ≈ 2,7 — основа натурального логарифма (число Ейлера).

  

  1. Вираз

     1 e • $\frac{1}{2e}$

     2 ln 2e - ln 2

     3 |1 - e| - e

  2. Точка

     А K

     Б L

     В M

     Г N

     Д P

Знайдіть усі значення a, за кожного з яких рівняння $\frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x_{}^2}{3x-a}$ має один корінь. Якщо таке значення a одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень a кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Графіком функції y = f(x) є парабола з вершиною в початку координат. Обчисліть f(2,5), якщо f'(1) = 4.

У групі з 20 учнів 11 класу провели опитування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин вони витрачають на підготовку до контрольної роботи. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див. рисунок). Визначте ймовірність того, що навмання обраний учень з цієї групи витратив на підготовку до контрольної роботи не менше двох годин.

Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює радіусу сфери. Площа сфери дорівнює 648π см². Знайдіть об’єм піраміди (у см³), якщо її апофема нахилена до площини основи під кутом 45°.