Алгебра і початки аналізу. 11 клас. Самостійна робота: Первісна та визначений інтеграл в прикладних задачах

Роботизована рука на заводі рухається вздовж лінії, а її швидкість змінюється за функцією v(t) = 3t² - 4t. Інженер налаштовує програму для пошуку рівняння координати (функції відстані S(t)), яка є первісною для функції швидкості. Оберіть загальний вигляд функції відстані S(t).

Швидкість надходження прибутку стартапу (в умовних одиницях за місяць) описується функцією f(t) = 2t + 3, де t – час у місяцях від початку року. Обчисліть загальний накопичений прибуток компанії за проміжок часу від t = 1 до t = 3 місяця за допомогою визначеного інтеграла ∫₁³(2t + 3)dt.

У грі-симуляторі траєкторія польоту об'єкта задається первісною F(x) для функції f(x) = 4x - 1. Відомо, що графік цієї траєкторії обов'язково проходить через «контрольну точку» з координатами (2; 10). Знайдіть числове значення вільної константи C для цієї первісної. У поле відповіді запишіть тільки число.

Ландшафтний архітектор створює форму декоративного водоймища на плані-схемі. Межі озера з одного боку обмежені різними графіками функцій на відрізку від x = 0 до x = 2. Установіть відповідність між математичною формулою межі озера (А–В) та площею поверхні цього водоймища (1–3), розрахованою через визначений інтеграл.

Радіотелескоп приймає сигнал у вигляді синусоїдальної хвилі. Для аналізу енергії імпульсу інженери обчислюють інтеграл від функції напруги f(x) = 6sinx на інтервалі від x = 0 до x = π. Чому дорівнює значення цього визначеного інтеграла ∫₀^π6sinxdx? У поле відповіді запишіть тільки число.

Дизайнер створює емблему, елемент якої обмежений зверху параболою y = -x² + 4, а знизу – прямою лінією y = 0 (віссю Ox). Обчисліть площу цього елемента емблеми за допомогою визначеного інтеграла.

Датчики зафіксували, що сумарний рівень очищення повітря двома фільтрами задається інтегралом ∫₀²(3x² + 1)dx. Обчисліть числове значення цього показника.

Профіль треку атракціону описується функцією F(x), яка є первісною для f(x) = 6x - 12. Конструктори шукають найнижчу точку треку (точку мінімуму), де похідна функції F'(x) = f(x) дорівнює нулю. Знайдіть абсцису x цієї критичної точки конструкції. Запишіть тільки число.