Зустрічаємо 2018 рік

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до математичних конкурсів та олімпіад

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Мурованокуриловецький НВК

«СЗШ І-ІІІ ступенів №1-гімназія»

Василь Серветник

Зустрічаємо 2018 рік

Автор: Серветник В. Г. - вчитель вищої категорії, вчитель-методист

Мурованокуриловецького НВК «СЗШ І-ІІІ ст. №1-гімназія»

Розглянуто і затверджено на засіданні методичної ради НВК «СЗШ І-ІІІ ст. №1-гімназія», смт. Муровані Курилівці, протокол №_____ від ___ травня 2017 року.

Розглянуто і затверджено на засіданні методичної ради комунальної установи «Мурованокуриловецький районний методичний кабінет», протокол №__ від ___ ________ 2017 року.

Рецензенти: Чемериський Р. В. - директор комунальної установи «Мурованокуриловецький районний методичний кабінет»

Цимбалішина Н. І. - методист комунальної установи «Мурованокуриловецький районний методичний кабінет»

Навчально-методичний посібник розроблено для підготовки учнів до математичних конкурсів, олімпіад, турнірів, зокрема до конкурсів «Золотий ключик», «Кенгуру». Ця розробка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати задачі олімпіадної математики та навчити цього своїх учнів. Вона написана на основі багаторічного досвіду підготовки учнів до участі в районних і обласних математичних олімпіадах та конкурсах і здобуття ними перемог.

Мета цієї розробки – надати вчителям, учням конкретну допомогу в розвитку вміння розв’язувати задачі даного напрямку. До більшості задач дано відповіді та повні їх розв’язання. Однак хочу попередити Вас, що читання розв’язань принесе малу користь, якщо перед цим Ви не витратите достатньо свого часу, спробувавши розв’язати задачу самостійно.

В посібнику пропонуються нестандартні завдання з новорічного балу, які, на думку автора, поліпшують якість знань, розвивають пізнавальну діяльність та творчу ініціативу дітей. Це свого роду бенефіс числа 2018, де в кожній задачі воно виступає головною дійовою особою. Використання таких вправ сприятиме вихованню в учнів інтересу до вивчення математики, розвитку інтелектуальних здібностей та відкриттю творчого потенціалу школярів.

Традиційно в задачах учнівських олімпіад різного рівня деяким чином фігурує рік її проведення. Сподіваюся, що автори олімпіадних задач 2018 року також дотримуватимуться цієї тенденції. Тому даний збірник задач буде корисним учням та вчителям для підготовки до чергової олімпіади з математики.

Крім даних, можна створити набори задач, використовуючи задачні матеріали, що висвітлюються в інтернеті, із Всеукраїнських та зарубіжних олімпіад, різних турнірів, чемпіонатів та конкурсів. Творче використання вчителем даних рекомендацій сприятиме розвитку олімпіадного руху серед учнів, розповсюдженню та популяризації математичних знань.

Буду вдячний всім, хто запропонує свої зауваження щодо створення даної розробки.

Передмова

Юний друже!

Розвиток логічного мислення – одне з основних завдань вивчення математики. Яку б професію в майбутньому ти не обрав би, тобі потрібно з шкільної парти навчитися правильно і швидко міркувати, аргументувати розв’язання задач та отриманий результат, формулювати задачі і творчо підходити до їх вирішення, самостійно поповнювати багаж знань.

Для того щоб спортсмен досяг високих результатів, йому потрібні систематичні тренування. А для того щоб ти навчився розв’язувати задачі – тобі теж потрібні систематичні тренування у розв’язуванні різних типів задач.

Запропоновані задачі є доповненням до окремих тем шкільного курсу. Розв’язування цих задач підвищить твій інтерес до вивчення математики, сприятиме розвитку твоїх математичних здібностей.

Шановний колего!

Як відомо, інтерес до математики і математичні здібності виявляються в ранньому віці. Значну роль у їх розвитку відіграє систематичне розв’язування задач, які можуть захопити юних математиків і породжувати прагнення до самостійних досліджень. Саме такі задачі й пропонують на математичних олімпіадах. Серед них часто зустрічаються «новорічні» задачі, умова яких часто зрозуміла навіть учням молодших класів, проте розв’язування потребує кмітливості та винахідливості.

Метою написання даної розробки є надання допомоги учню загальноосвітньої школи самостійно підготуватися до успішного виступу на шкільній, районній чи обласній олімпіаді. При доборі задач автор виходив з досвіду проведення занять математичного гуртка в Мурованокуриловецькому НВК «СЗШ І-ІІІ ст. №1-гімназія».

Ця добірка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати нестандартні математичні задачі. Вона написана на основі багаторічного досвіду підготовки школярів до участі в математичних олімпіадах різних рангів і здобуття ними перемог.

Кожен блок складається із задач та розв’язків, вказівок та відповідей до них. Це дає можливість використовувати добірку й тим, хто навчатиметься цьому самостійно.

Сподіваюся, що матеріали збірки Ви, шановні колеги, будете використовувати не тільки на шкільних олімпіадах, але й на щоденних уроках математики. Адже, як казав великий А. Ейнштейн, «вміє вчити той, хто вчить цікаво».

Бажаю всім в новому році щастя, здоров’я і щоб всі задачі розв’язувались красиво і легко!

З повагою Василь Серветник

Властивості числа 2018

1) Число 2018 – складене. Його дільники: 2 і 1009.

2) Число 2018 є парним числом.

3) Сума цифр числа 2018: 2 + 0 + 1 + 8 = 11

4) Добуток цифр числа 2018: 2 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 8 = 0

5) Сума дільників числа 2018: 1+2+1009+2018=3030.

6) Косинус числа 2018: 0.4558,

синус числа 2018: 0.8901,

тангенс числа 2018: 1.9527.

7) У вигляді суми трьох квадратів його можна єдиним способом подати так:

2018 = 22 +162 + 412.

Вони можуть стати в нагоді під час підготовки до олімпіад чи конкурсів з математики.

3 клас

3.1. Скількома способами можна отримати число 2018, рухаючись вздовж стрілок на рисунку?

А: 12 Б: 11 В: 10 Г: 8 Д: 6.

Відповідь. Г. 8.

3.2. Скільки разів за добу між 00.00 і 23.59 електронний годинник показує всі чотири цифри 2, 0, 1, 8 у будь-якій послідовності (цифри не можуть повторюватися)?

А: 9 Б: 10 В: 11 Г: 12 Д: 13.

Розв’язання.

Можливі випадки: 01.28; 02.18; 08.12; 08.21; 10.28; 12.08; 18.02; 18.20; 20.18; 21.08.

Відповідь. Б. 10 разів.

3.3. Вибери правильну відповідь: 20 · (1 + 8) – 20 · 1 + 8 = …

А. 0; Б. 18; В. 168; Г. 103; Д. 283.

Відповідь. В. 168.

3.4. Електронний екран використовує 7 лампочок для того, щоб відобразити цифру від 0 до 9 (див. мал.).

На екрані послідовно відобразили 2, 0, 1, 8. Яка з лампочок горіла найбільшу кількість разів?

Відповідь. А.

3.5. Якщо до числа праворуч дописати @, то воно збільшиться на 1, якщо ліворуч, то зменшиться на 1. Наприклад 3@ = 4, @3 = 2. Обчисліть @2 + 0@ +@1 + 8@.

А. 8; Б. 9; В. 10; Г. 11; Д. 12.

Відповідь. Г. 11.

3.6. Катя склала п’ять прикладів на додавання. Яка сума є найбільшою?

А. 2+0+1+8; Б. 2+0+18; В. 20+18; Г. 20+1+8; Д. 201+8.

Відповідь. Д. 209.

3.7. Який з виразів має найменше числове значення?

А. 2+0+1+8; Б. 2+0:1+8; В. 2·0·18; Г. 20+1-8; Д. 20:1+8.

Відповідь. В. 2·0·18.

3.8. Зараз на годиннику 20:18. Котра година буде через 137 хвилин?

А. 22:18; Б. 23:15; В. 21:25; Г. 20:37; Д. 22:35.

Відповідь. Д. 22:35.

3.9. Електронний годинник показує час 20:18. Скільки хвилин пройде перш, ніж годинник вперше покаже той самий набір цифр 0, 1, 2 і 8 в деякому іншому порядку?

А. 49; Б. 50; В. 59; Г. 60; Д. 120.

Відповідь. Б. 50.

3.10. 20 + 1 + 8 = 10 + *. Тоді * це…

А. 6; Б. 8; В. 10; Г. 18; Д. 20.

Відповідь. Г. 18.

3.11. 2 + 0 + 1 + 8 + 20 – 0 – 1 – 8 = …

А. 40; Б. 8; В. 20; Г. 18; Д. 22.

Відповідь. Д. 22.

3.12. На екрані маленькі квадратні лампочки висвітлили число 2018. Скільки лампочок ввімкнули?

А. 40; Б. 8; В. 20; Г. 18; Д. 41.

Відповідь. Д. 41.

3.13. Сума цифр числа 218 +201 – 8 дорівнює: А. 4; Б. 5; В. 8; Г. 18; Д. 40.

Відповідь. Б. 5.

3.14. Кожну зірочку в рівності 2 * 0 * 1 * 8 * 2 * 0 * 1 * 8 * 2 * 0 * 1 * 8 = 0 треба замінити або на «+», або на «·» так, щоб рівність була правильною. Яку найменшу кількість зірочок можна замінити на «·» ?

А. 11; Б. 10; В. 9; Г. 8; Д. 7.

Відповідь. В. 9.

3.15. Скільки треба цифрових знаків, щоб пронумерувати зошит у 18 сторінок?

Відповідь.27 цифр (1-9 сторінки – 9 цифр і 10-18 сторінки – 18 цифр)

3.16. Знайти найменше натуральне число, яке закінчується на 18, ділиться на 18 і має суму цифр, що дорівнює 18.

Відповідь. 918.

3.17. Знайти найменше натуральне число, яке має суму цифр, що дорівнює 18, і ділиться на 18.

Розв’язання. Серед двоцифрових чисел суму цифр, що дорівнює 18, має число 99. Серед трицифрових чисел, які менші від 200, із сумою цифр, що дорівнює 18, є такі числа: 189, 198. Із них тільки число 198 ділиться на 18.

Відповідь. 198.

3.18. Дідусь Тарасика у 2018 році 15-й раз святкуватиме день свого народження. Коли народився дідусь Тарасика?

Відповідь. 29 лютого 1958 року (4 · 15 = 60 і 2018 – 60 = 1958).

3.19. Як з дев’яти сірників зробити 18, не ламаючи їх?

Відповідь.

3.20. Скільки існує двоцифрових чисел, у запису яких використано тільки цифри 2, 0, 1, 8 (цифри можуть повторюватися)?

Розв’язання. Умові задачі задовольняють числа: 10, 11, 12, 18, 20, 21, 22, 28, 80, 81, 82, 88.

Відповідь. 12 чисел.

3.21. Записати всі трицифрові числа, для запису яких використовуються тільки цифри 2, 0, 1, 8 (цифри не можуть повторюватися).

Відповідь. 18 чисел: 102, 108, 120, 128, 180, 182, 201, 208, 210, 218, 280, 281, 801, 802,

812, 820, 821.

3.22. Записати всі можливі натуральні числа за допомогою цифр 2, 0, 1 і 8 в заданому порядку та знаків арифметичних дій і дужок.

Відповідь.

2 + 0 · 18 = 2, 20 – 18 = 2, 2 · 0 · 1 + 8 = 8,

2 · 0 + 1 + 8 = 9, 2 + 0 - 1 + 8 = 9, 2 + 0 · 1 + 8 = 10,

20 – 1 – 8 = 11, 2 + 0 + 1 + 8 = 11, 2 - 0 + 1 + 8 = 11,

20 + 1 – 8 = 13, 2 · 0 + 18 = 18, 2 + 0 + 18 = 20,

20 – 1 + 8 = 27, 20 + 1 + 8 = 29, (2 + 0) · 18 = 36,

20 + 18 = 38, (20 – 1) · 8 = 152, 20 · 1 · 8 = 160,

(20 + 1) · 8 = 168, 201 – 8 = 193, 201 + 8 = 209,

20 · 18 = 360, 201 · 8 = 1608.

3.23. Сума трьох парних чисел дорівнює 18. Записати ці числа в порядку зростання, якщо відомо, що доданки не рівні між собою.

Відповідь. 2 + 4 + 12 = 18; 2 + 6 + 10 =18; 4 + 6 + 8 = 18.

3.24. Знайти всі двоцифрові числа, які зменшуються у 18 разів після закреслення останньої цифри.

Відповідь. 18.

3.25. Замінити зірочки цифрами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх чисел дорівнювала 18.

1

*

*

*

*

*

*

*

8

Відповідь.

1

9

8

1

9

8

1

9

8

3.26. Коник-стрибунець стрибає по прямій великими і малими стрибками. Великий стрибок становить 20см, а малий – 18см. Як йому попасти з точки О в точку А, що знаходиться від неї на відстані 17см? Обґрунтувати свою відповідь.

Розв’язання. Оскільки число 17 непарне, то коник не зможе попасти в точку А.

3.27. Є три посудини 20-літрова, яка наповнена квасом, і дві порожні – 5-літрова та 8-літрова. Як, користуючись цими посудинами, відміряти 18 літрів квасу за найменшу кількість переливань?

Розв’язання.

Кроки

20 л

5 л

8 л

5 л →

1

15

5

0

5 л →

2

15

0

5

5 л →

3

10

5

5

3 →

4

10

2

8

в 20 л

5

18

2

0

3.28. Чи можна число 18 записати у вигляді суми декількох натуральних чисел, добуток яких теж дорівнює 18?

Розв’язання. Так, бо 18 = 2 + 9 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 і 18 = 2 · 9 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1.

4 клас

4.1. Обчислити: 2018 – 201 + 20 – 2.

А: 1795 Б: 1808 В: 1828 Г: 1835 Д: 2241.

Відповідь. Г. 1835.

4.2. Яке з наведених чисел непарне?

А: 2018 Б: 2 + 0 + 1 + 8 В: 201 – 8 Г: 20 х 18 Д: 20 + 18.

Відповідь. В. 201 - 8.

4.3. Петрик пронумерував картки підряд числами від 1 до 2018. Потім викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Після цього Петрик перенумерував числами від 1 ті, що залишилися, і знову викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Скільки карток залишилось?

А: 102 Б: 201 В: 1629 Г: 1810 Д: 2011

Розв’язання. Порахуємо, скільки чисел від 1 до 2018 закінчуються нулем. Серед одноцифрових таких чисел немає. Серед двоцифрових чисел – 9. Серед трицифрових чисел – 90. Серед чисел від 1000 до 2011 – 102 числа.

Разом 9 + 90 + 102 = 201 число. Відкинувши 201 картку і пронумерувавши їх ще раз від 1 до 1810 (2018 – 201 = 1817) Петрик відкинув ще 181 картку, після чого у хлопця залишилось 1636 карток.

Відповідь. 1636 карток.

4.4. 2 · 0 · 18 + 20 · 18 + 201 · 8 = ?

А. 0; Б. 208; В. 1800; Г. 1968; Д. 2018.

Відповідь. Г. 1968.

4.5. З натуральним числом дозволяється виконувати дії:

1) дописати в кінці цифру 4;

2) поділити на 2 (якщо число парне).

Чи можна за допомогою цього ігрового автомата із числа 6 отримати число 2018?

Розв’язання. Для того щоб із числа 2 отримати число 2018, спробуємо отримати з числа 2018 число 2 за допомогою зворотних операцій:

А) закреслення цифри 4 в кінці; Б) множення числа на 2.

2018 → 4036 → 8072 → 16144 → 1614 → 161 → 322 → 644 → 64 → 6 → 12 → 24 → 2.

Прочитавши цю послідовність чисел від кінця до початку, робимо висновок, що можна.

Відповідь. Можна.

4.6. Як із 18 сірників скласти прямокутник найбільшої площі?

Відповідь. Це прямокутник із сторонами 8 см і 2 см.

4.7. Використовуючи 20 сірників викласти число 2018 (в арабському записі)?

Відповідь.

4.8. Чи вистачить 40 плиточок шоколаду, щоб викласти число 2018 ?

Відповідь. Ні. Потрібно 41 плиточку.

4.9. Із плиток шоколаду викладено число 2018. Чи можна його спакувати в два квадрати 5х5 і 4х4?

Відповідь. Так. Дані плитки шоколаду містять 25 і 16 квадратиків 1х1, тобто разом їх є 41. Для викладання числа 2018 потрібно саме 41 квадратик 1х1. Отже, це можна зробити.

4.10. Чи можна із двох квадратних плиток шоколаду 5х5 і 4х4 утворити число 2018, ламаючи шоколад на квадратики 1х1?

Розв’язання. Дані плитки шоколаду містять 25 і 16 квадратиків 1х1, тобто разом їх є 41. Для викладання числа 2018 потрібно саме 41 квадратик 1х1. Отже, це можна зробити.

Відповідь. Так.

4.11. Яким буде перше після 2018 натуральне число з тією самою сумою цифр?

Розв’язання. Можливі випадки: 2 + 0 + 1 + 8 = 11 і 2 + 0 + 2 + 7 = 11.

Відповідь. 2027.

4.12. Яку максимальну кількість чотирицифрових чисел можна записати, використовуючи лише цифри 2, 0, 1, 8? (Цифра нуль першою бути не може. Можна використовувати лише ці чотири цифри.).

Відповідь. 16 чисел (1028, 1082, 1208, 1280, 1802, 1820, 2018, 2081, 2108, 2180, 2801, 2810, 8012, 8021, 8102, 8120, 8201, 8210).

4.13. Чи може добуток цифр натурального числа дорівнювати 2018?

Відповідь. Ні, бо 2018 = 2 · 1009, а число 1009 не ділиться на 2, 3, 4, … , 9.

4.14. Через скільки років після 2018 року вперше настане рік з тією самою сумою цифр, але з іншим їх добутком?

Розв’язання. Число 2117 має суму цифр, що дорівнює 11, але їх добуток не дорівнює нулю. Добуток чисел 2, 0, 1 і 8 дорівнює нулю.

Відповідь. Через 99 років.

4.15. Частка від ділення 20182018 на 2018 дорівнює :

А: 11 Б: 101 В: 1001 Г: 10001 Д: числу, відмінному від запропонованих.

Розв’язання. 20182018 : 2018 = 10001.

Відповідь. 10001.

4.16. Про число 2018 п’ятеро хлопців сказали: Андрій: «Цифра десятків більша, ніж цифра тисяч»; Борис: «Цифра десятків більша, ніж цифра одиниць»; Роман: «Сума цифр числа дорівнює 10»; Михайло: «Цифра одиниць більша, ніж цифра десятків»; Олег: «Цифра сотень більша, ніж цифра тисяч». Хто з хлопців не помилився?

А. Андрій; Б. Борис; В. Роман; Г. Михайло; Д. Олег.

Відповідь. Г. Михайло.

4.17. Запиши найменше шестизначне число, в запису якого беруть участь тільки цифри 2, 0, 1 і 8 (Кожна цифра записується не менше одного разу).

Відповідь. 100 028.

4.18. У виразі 2018 – 201 · 8 + 20 · 18 розставити дужки так, щоб значення виразу виявилось: а) найбільшим; б) найменшим.

Відповідь. а) ((2018 – 201) · 8 + 20) · 18 = 262008; б) 2018 – (201 · 8 + 20 · 18) = 50.

4.19. В прикладі на додавання двох чисел перший доданок менший за суму на 2000, а сума більша за другий доданок на 18. Відновити приклад.

Відповідь. 13 + 2000 = 2018.

4.20. Парне чи непарне число: 1 + 2 + 3 + … + 2018 ?

Відповідь. Парне, бо (1 + 2018) + (2 + 2017) + … + (1009 + 1010) = 2019 · 1009 - парне число (добуток непарного числа і парного числа є парним числом).

4.21. В числі 20182018 закреслити три цифри так, щоб число, яке утворене рештою цифр в тому самому порядку, було: а) найбільшим; б) найменшим.

Відповідь. 82018 – найбільше число, 12018 – найменше число.

4.22. Сьогодні 07.12.2017. Дівчинка помітила, що в записі цієї дати сума перших чотирьох цифр дорівнює сумі останніх чотирьох. Коли в наступному році таке співпадання відбудеться вперше?

Розв’язання. Помічаємо, що до нового року такого спів падання більше не повториться. В січні 2018 року співпадання відбудеться 19 січня: 19.01.2018.

Відповідь. 19 січня 2018.

4.23. Петя помітив, що дата 28.01.2018, яка записана цифрами, має цікаву властивість: переставивши перші чотири цифри, можна отримати номер року. А які ще дати в 2018 році мають таку ж властивість?

Розв’язання. В записі 2018 року є нуль, одиниця, двійка і вісімка. Тому для запису числа і місяця можна скористатися тільки цими цифрами. За допомогою цих цифр можна записати тільки такі номери місяців: 01, 02, 08, 10, 12.

Якщо витратити 0 і 1 на запис січня (01), то в нашому розпорядженні залишаться цифри 2 і 8. З них можна скласти лише число 28. В результаті вийде дата 28.01.2018, на яку звернув увагу Петя. Якщо витратити 0 і 2 на запис лютого (02), то з решти цифр 1 і 8 можна утворити дату 18. Аналогічно знаходимо дати 12 серпня і 21 серпня, а також дати 28 жовтня і 08 грудня.

Відповідь. 18.02.2018, 12.08.2018, 21.08.2013, 28.10.2018, 08.12.2018.

4.24. Назвати дату, коли до настання 2018 року залишиться 2018 годин?

Розв’язання. 2018 : 24 = 84 (остача 2). Тому 2018 годин = 84 дні + 2 години.

Від 0 годин 1 січня 2018 року віднімаємо 84 дні (грудень має 31 день, листопад має 30 днів і в жовтні віднімаємо 23 дні). Виходить 0 годин 10 жовтня 2017 року. Враховуючи остачу 2 год., отримуємо відповідь.

Відповідь. 9 жовтня 2017 року.

4.25. Розгадати ребус:

Розв’язання. 1111 · А – 111 · А + 11 · В + С = 2018;

1000 А + 11 В + С = 2018.

Звідси А = 2, В = 1, С = 7.

Відповідь. 2222 – 222 + 11 + 7 = 2018.

4.26. Через скільки років наступить рік, що записується тими самими цифрами, що й 2018-й рік?

Розв’язання. 2081 – 2018 = 63.

Відповідь. Через 63 роки.

4.27. Скільки років мине після 1 січня 2018 року, коли вперше добуток цифр у записі року стане більшим, ніж сума цих цифр?

Розв’язання. 2117-й рік. Маємо 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 7 = 14 і 2 + 1 + 1 + 8 = 12, 14 > 12.

2117 – 2018 = 99.

Відповідь. 99 років.

4.28. Сума чотирьох послідовних натуральних чисел дорівнює 2018. Знайти найменше з цих чисел.

Розв’язання. Нехай х – найменше число.

Тоді х + (х + 1) + (х + 2) + (х + 3) = 2018;

4х + 6 = 2018;

х = 503.

Відповідь. 503.

4.29. До числа 2018 дописати справа дві різні цифри, які не входять в дане число, і закреслити дві цифри так, щоб отримати найбільше число. Яке отримали число?

Розв’язання. 2 0 1 8 9 7.

Відповідь. 2897.

4.30. Натуральні числа х, у та z більші за 1 і задовольняють умови х у = 20 і у z = 18. Чому дорівнює х z ?

Розв’язання. 18 = 2 ∙ 9. Якщо у = 2, то х у = 20, звідки х = 10. Тоді z = 9. Якщо у = 9, то х – дробове число, що не задовольняє умові. Отже, х z = 10 ∙ 9 = 90.

Відповідь. 90.

5 клас

5.1. Обчислити: 201820182018 · 2017 – 201720172017 · 2018.

А: 0 Б: 1 В: 2 Г: 3 Д: 4

Розв’язання.

201820182018 · 2017 – 201720172017 · 2018 = 2018 · 2017 (100010001 - 100010001) = 0.

Відповідь. А. 0.

5.2. Яка перша цифра у найменшому натуральному числі, в якому сума цифр дорівнює 2018?

А: 1 Б: 2 В: 3 Г: 4 Д: 5

Розв’язання. У найменшому натуральному числі із сумою цифр 2018 повинно бути використано найменшу можливу кількість цифр. Ця кількість дорівнює

224 + 2 = 226 цифр, бо 2018 : 9 = 224 (2 остача).

Отже, шукане число складається із 224-х дев’яток і однієї двійки. Серед таких чисел найменшим є число, перша цифра якого дорівнює 2.

Відповідь. Б. 2.

5.3. Олесь пронумерував картки підряд числами від 1 до 2018. Потім викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Після цього Павло перенумерував числами від 1 ті, що залишилися, і знову викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Скільки карток залишилось?

А: 102 Б: 201 В: 1629 Г: 1810 Д: 2012

Розв’язання. Порахуємо, скільки чисел від 1 до 2018 закінчуються нулем. Серед одноцифрових таких чисел немає. Серед двоцифрових чисел – 9. Серед трицифрових чисел – 90. Серед чисел від 1000 до 2018 – 102 числа.

Разом 9 + 90 + 102 = 201 число. Відкинувши 201 картку і пронумерувавши їх ще раз від 1 до 1817 (2018 – 201 = 1817) Олесь відкинув ще 181 картку, після чого у хлопця залишилось 1629 карток.

Відповідь. В; 1629 карток.

5.4. Один хлопчик сказав, що 1 січня 2018 року різниця між числами прожитих ним місяців і прожитих ним повних років дорівнює 111. Коли народився цей хлопчик?

Розв’язання. Нехай хлопчик прожив х років та у місяців. Тоді він прожив 12 х + у місяців, і тому 12 х + у – х = 111, тобто 11 х + у = 11 · 10 + 1.

Оскільки у < 12, то у = 1, х = 10. Отже, хлопчик народився 1 грудня 2007 року.

Відповідь. 1 грудня 2007 року.

5.5. Розглянемо число 20182018…, що складається з 2018 цифр. Трьома останніми цифрами цього числа є …

Розв’язання. У числі 20182018… можна виділити групи по 4 цифри 2018, що повторюються одна за одною. Оскільки число 2016 ділиться на 4, то на 2016-му місці буде стояти остання цифра з вказаної четвірки, тобто цифра 8, на 2017-му місці – перша цифра з цієї четвірки, тобто 2, а на 2018-му місці – цифра 0.

Відповідь. 820.

5.6. Всі натуральні числа від 1 до 1000000 записані підряд. Яка цифра стоїть на 2018-му місці?

Розв’язання. Одноцифрові числа займають 9 місць, двоцифрові – 90 · 2 = 180 місць, а всього разом вони займають 189 місць. Решту 2018 – 189 = 1829 місць займають цифри трицифрових чисел. Оскільки 1829 = 609 · 3 + 2, то 1829 місць займають цифри перших 609-и трицифрових чисел і друга цифра 610-го трицифрового числа. Але 610-е трицифрове число є 709 (610 + 99 = 709). Отже, шукана цифра дорівнює 0.

Відповідь. 0.

5.7. 20 аркушів паперу розрізали на 18 частин, потім деякі аркуші із загальної купи знову розрізали на 18 частин і т. д. Коли підрахували, то вийшло 2018 аркушів паперу. Чи правильно зроблено підрахунок ?

Відповідь. Ні, неправильно. Кожне розрізання збільшує кількість аркушів паперу на 17. Тому після п розрізань ми повинні одержати 20 + 17 п = 2018. Звідки слідує, що число п не є цілим, що суперечить умові.

5.8. Чи можна прямокутник 20х18 розрізати на прямокутники 6х1?

Розв’язання

Оскільки 20 · 18 = 360, 1 · 6 = 6 і 360 : 6, то можна.

Відповідь. Можна.

5.9. Прямокутник з розмірами 20 см х 18 см розрізати на дві частини так, щоб з них можна було скласти новий прямокутник із сторонами 30 см і 12 см.

Розв’язання

5.10. Якою цифрою закінчується добуток 2016 · 2017 · 2018.

Відповідь. Цифрою 6.

5.11. В посудині лежать 2017 білих і 2018 чорних куль. Крім того, є необмежений запас білих куль. Два гравці грають таку гру: перший гравець бере з посудини кулю, після чого другий гравець бере з посудини будь-яку з решти куль. Якщо кулі, взяті гравцями, різних кольорів, то білу кулю відкладають в сторону, а чорну повертають в посудину. В іншому випадку обидві взяті кулі відкладають в сторону, а в посудину кладуть білу кулю із запасу.

Гру закінчують тоді, коли після чергового ходу, в посудині залишиться одна куля. Якщо ця куля біла, то виграє перший гравець, якщо чорна – то другий.

Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання. Парність кількості чорних куль в посудині після кожного ходу не змінюється. Тому остання куля завжди буде білою.

Відповідь. Виграє перший гравець.

5.12. Добуток двох різних натуральних чисел дорівнює 2018. Чому дорівнює сума цих чисел?

Розв’язання. 2 · 1009 = 2018, 2 + 1009 = 1011

або 2018 · 1 = 2018, 2018 + 1 = 2019.

Відповідь. 1011, 2019.

5.13. Михайлик записує цілі числа від 1 до 2018. Скільки разів він запише цифру 0 ?

Відповідь. 1249 разів.

5.14. У вершинах трикутника записані три числа. Відомо, що суми сусідніх чисел дорівнюють 2017, 2018, 2019. Знайти ці числа.

Відповідь. 1008, 1009, 1010.

5.15. На дошці записують числа за таким правилом: в першій стрічці число 1, в другій стрічці два числа 2 і 3, в третій стрічці три числа 3, 4 і 5 і т. д. (в стрічці з номером х стоять х послідовних натуральних чисел, починаючи з х). Скільки разів на дошці буде записано число 2018?

Розв’язання. Маємо: 1

2 3

3 4 5

4 5 6 7

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12 13

8 9 …

Помічаємо таку закономірність: одиниця і двійка записані 1 раз, трійка і четвірка записані 2 рази, п’ятірка і шістка записані 3 рази і т.д.

Отже, числа 2018 і 2019 будуть записані 2018 : 2 = 1009 разів.

Відповідь. 1009 разів.

5.16. Яке найменше натуральне число при діленні і на 18, і на 2018 дає остачу 1?

Розв’язання. 18 · 2018 + 1 = 36324 + 1 = 36325.

Відповідь. 36325.

5.17. Миколка лічить пальці на руці від великого до мізинця і назад. Який палець виявиться 2018-им?

Розв’язання.

Великий

Вказівний

Середній

Безіменний

Мізинець

1

2

3

4

5

9

8

7

6

10

11

12

13

17

16

15

14

18

19

20

21

25

24

23

22

26

27

28

29

...

8п+1

8п

8п-1

8п-2

8п+2

8п+3

8п+4

8п+5

Оскільки 2018 : 8 = 252 (ост. 2), то 2018-й палець є вказівним.

Відповідь. Вказівний.

5.18. Петро та Іван грають в гру. За першим ходом Петро називає число, що не перевищує 6, а Іван додає до нього деяке число, що також не перевищує 6, і називає суму. Далі Петро до названої суми додає число не більше 6 і називає нову суму і т.д. Виграє той, хто першим назве число 2018. Хто може забезпечити собі виграш?

Розв’язання. Має місце рівність 2018 = 288 · 7 + 2. Виграє Петро, якщо він першим ходом назве число 2. Якщо потім Іван назве число , то Петро назве , бо і т.д.

5.19. В числі 20172018 закреслити п’ять цифр так, щоб число, яке утворене рештою цифр в тому самому порядку, було найбільшим; б) найменшим.

Відповідь. 728; 101.

5.20. Один хлопчик сказав, що 1 січня 2018 року різниця між числами прожитих ним місяців і повних років дорівнює 118. Коли народився цей хлопчик?

Розв’язання. Нехай хлопчик прожив х років та у місяців. Тоді він прожив 12х + у місяців. За умовою (12х + у) – х = 118, тобто 11х + у = 118. Оскільки у ≤ 12, то х = 10, у = 8, тобто хлопчик прожив 10 років і 8 місяців.

Отже, хлопчик народився 1 травня 2007 року.

Відповідь. 1 травня 2007 року.

5.21. Знайти суму кубів цифр числа 2018.

Розв’язання. 23 +03 +13 + 83 = 8 + 0 + 1 + 512 = 521.

Відповідь. 521.

5.22. Є число 20182018…, яке складається з 2018 цифр. Знайти останню цифру цього числа.

Розв’язання. У числі 20182018… можна виділити групи по 4 цифри 2, 0, 1, 8, які повторюються одна за одною.

Оскільки 2018 : 4 = 504 (2 ост.), то на 2016-му місці стоїть остання цифра з вказаної четвірки, тобто цифра 8.тому на 2017-му місці стоїть цифра 2 (перша цифра наступної четвірки), а на 2018-му місці – цифра 0.

Відповідь. 0.

5.23. Число закінчується цифрою 2. Якщо цю цифру відкинути і від першого числа відняти отримане число, то дістанемо 2018. Знайти початкове число.

Розв’язання. Нехай отримане число (від’ємник) дорівнює х, тоді початкове число 10х + 2. Маємо рівняння: 10х + 2 – х = 2018; 9х = 2016; х = 224.

Відповідь. 2242.

5.24. Переставляючи цифри числа 2018, отримали всі можливі чотирицифрові числа, які розмістили у порядку зростання. Чому дорівнює найбільша різниця між двома сусідніми числами у цьому розміщенні?

Розв’язання. Маємо послідовність таких чисел: 1028, 1082, 2018, 2081, 2108, 2180, 2801, 2810, 8012, 8021, 8102, 8120, 8201, 8210. Найбільшу різницю дають числа 8012 і 2810, що дорівнює 5202.

Відповідь. 5202.

5.25. Яким буде перше після 2018 ціле число з тією самою сумою цифр?

Розв’язання. Сума цифр числа 2018 дорівнює 11. З такою сумою цифр є числа 2027, 2036, 2045, 2054 і т. д. Найменше з них є 2027.

Відповідь. 2027.

5.26. Дідусь Тарасика у 2018 році 18-й раз святкуватиме день свого народження. Коли народився дідусь Тарасика?

Розв’язання. 4 ∙ 18 = 72 і 2018 – 72 = 1946.

Відповідь. 29 лютого 1946 року.

5.27. Сума 2018 натуральних чисел є непарною. Довести, що добуток цих чисел є парним числом.

Доведення. Якби всі 2018 натуральних чисел були непарними, то їх сума була б парним числом, оскільки доданків є парна кількість. Але за умовою їх сума непарна.

Отже, серед доданків є хоча б один парний. Але тоді добуток цих чисел – теж парне число.

5.28. Наташа задумала число. Петя сказав, що воно не менше 2018, Вася сказав, що воно не більше 2018, а Толя сказав, що воно дорівнює 2018. Довести, що серед цих висловлювань непарне число істинних.

Розв’язання. Якщо це число 2016, то істинні всі три висловлювання, а якщо ні – рівно одне з них.

5.29. Знайти найменше шестицифрове число, яке ділиться на 2018 без остачі.

Розв’язання. Найменше шестицифрове число 100000 при діленні на 2018 дає остачу 1118. Тоді число, яке на 900 більше за 100000, дає шукану відповідь. Перевіримо: 100900 : 2018 = 50.

Відповідь. 100900.

5.30. В прикладі на додавання двох чисел перший доданок менший за суму на 2000, а сума більша за другий доданок на 18. Відновити приклад.

Розв’язання. Нехай а і b – невідомі доданки і с – їх сума. Тоді с – а = 2000 і с – b = 18. Звідси с = а + 2000 і с = b + 18. Далі маємо 2с = а + b + 2018.

Відповідь. 18 + 2000 = 2018.

5.31. Олег має 2018 однакових квадратиків. Складаючи їх сторона до сторони, він утворює суцільний прямокутник. Скільки різних прямокутників можна утворити таким чином?

Розв’язання. 2018 = 1 · 2018 = 2 · 1009, тому з 2018 кубиків ми можемо утворити два прямокутники розмірами 1х2018 або 2х1009.

Відповідь. Два.

5.32. Натуральні числа х, у та z задовольняють умови х у = 20 і у z = 18. Чому дорівнює х z?

Розв’язання. Число 18 = 1 ∙ 18 = 2 · 9 = 3 · 6, число 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5. Звідки х = 20, у = 1, z = 18 або х = 10, у = 2, z = 9. Тоді х z = 20 ∙ 18 = 360 або х z = 10 ∙ 9 = 90.

Відповідь. 90 або 360.

5.33. Онук запитав дідуся, скільки йому років. Дідусь відповів: «Якщо до половини моїх років додати 18, то дізнаєшся мій вік 20 років тому». Скільки років дідусеві?

Розв’язання. Нехай дідусеві зараз х років. Маємо рівняння: 0,5х + 18 = х – 20. Звідки х = 76.

Відповідь. 76 років.

5.34. Яке з чисел, запропонованих у відповідях, найменше відрізняється від 2,018 · 810,2?

А: 0,1 Б: 1 В: 10 Г: 100 Д: 1000.

Розв’язання. 2,018 · 810,2 = 1634,9836.

Відповідь. Д; 1000.

5.35. Значення виразу дорівнює…

А: 0,01 Б: 0,1 В: 1 Г: 10 Д: 100.

Відповідь. В; 1.

5.36. Сума 2017 натуральних чисел дорівнює 2018. Чому дорівнює їх добуток?

Відповідь. 2.

5.37. У записі 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 (десять дев’яток) поставити між деякими цифрами знаки додавання і ділення, щоб сума дорівнювала числу 2018.

Відповідь. 999 + 999 + 99 : 9 + 9 = 1998 + 11 + 9 = 2018..

5.38. Розставити в записі 110092 знаки арифметичних дій так, щоб отриманий вираз дорівнював 2018.

Відповідь. 1 · 1009 · 2 = 2018.

5.39. Використовуючи тільки цифри 2, 0, 1 і 8 по одному разу та знаки арифметичних дій і дужки, записати всі числа від 0 до 18. (Порядок цифр можна змінювати).

Розв’язання. 0 = 10 – (2 + 8); 1 = 10 : (2 + 8);

2 = 20 – 18; 3 = 8 : 2 + 0 – 1;

4 = 12 – 8 + 0 = 10 – 8 + 2; 5 = 8 – 1 – 2 + 0;

6 = 10 – 8 : 2; 7 = 8 – 1 + 2 · 0;

8 = 8 + 1 · 2 · 0; 9 = 18 : 2 + 0;

10 = 8 + 2 + 1 · 0; 11 = 8 + 2 + 1 + 0;

12 = 20 – 8 · 1; 13 = 21 – 8 + 0 = 20 + 1 – 8;

14 = 10 + 8 : 2; 15 = 120 : 8;

16 = 10 + 8 – 2; 17 = 8 · 2 + 1 + 0;

18 = 28 – 10.

5.40. Лікар Айболить роздав чотирьом хворим тваринам 2018 чародійних таблеток. Носоріг отримав на одну більше, ніж крокодил, бегемот – на одну більше, ніж носоріг, а слон – на одну більше, ніж бегемот. Скільки таблеток доведеться з’їсти слонові?

Розв’язання. (2018 – (1 + 2 + 3)) : 4 = 2012 : 4 = 503 таблетки отримав крокодил. Отже, слонові доведеться з’їсти 503 + 3 = 506 таблеток.

Відповідь. 506 таблеток.

5.41. Чи існують два таких числа-паліндроми, сума яких дорівнює 2018?

Відповідь. Так, існують. Наприклад, 797 + 1221 = 2018.

5.42. Знайти спосіб подати число 2018 у вигляді різниці двох чисел-паліндромів.

Відповідь. 2442 – 424 = 2018.

5.43. Сума 2018 натуральних чисел – непарне число. Яким числом (парним або непарним) є добуток цих чисел?

Розв’язання. Якби всі числа були непарними, то їх сума була б парною. Отже, серед цих чисел є парне число. Тоді добуток – парний.

Відповідь. Парним.

5.44. Якою цифрою закінчується добуток 2011 · 2012 · … · 2018?

Відповідь. Цифрою 0, бо серед даних множників є такі, що закінчуються парною цифрою і п’ятіркою.

5.45. Деяке натуральне число подвоїли, потім додали одиницю. Знов отримане число подвоїли і додали одиницю. Описану операцію повторили сто разів. Чи може одержане число ділитися на 2018?

Розв’язання. Помічаємо, що в результаті кожної операції подвоєння і збільшення на одиницю ми отримуємо непарне число. Ця властивість весь час зберігається, тобто інваріантом при даній операції є непарність результату операції. Отже, отримати парне число, яке ділилося б на 2018, в результаті виконання даної операції не можна.

Відповідь. Не може.

5.46. В саду у Тані і Віті росло 2018 кущів троянд. Вітя полив половину всіх кущів, і Таня полила половину всіх кущів. При цьому виявилося, що рівно три найкращі кущі полили і Таня, і Вітя. Скільки кущів троянд залишилися не политими?

Розв’язання. Вітя полив 1009 кущів, із них 1006 він поливав сам, а три разом з Танею. Так само Таня полила 1009 кущів, з них 1006 вона поливала сама, а три разом з Вітею. Тому разом вони полили 1006 + 1006 + 3 = 2015 кущів. Отже, залишилися не политими 2018 – 2015 = 3 кущі троянд.

Відповідь. 3 кущі.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
8
дн.
0
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!