Знаходження похідної

Опис документу:
У цьому документі йде мова про знаходження похідної за допомогою інтерполяційних многочленів.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Знаходження похідної за допомогою

інтерполяційних многочленів

При розв’язуванні практичних задач часто потрібно знайти похідну вказаних порядків від функції , заданої таблично. Також можливо, що в силу складності аналітичного виразу функції неопосередковане диференціювання її викликає труднощі. В цих випадках звичайно звертаються до наближеного диференціювання.

Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію на потрібному відрізку інтерполяційної функцією (частіше всього поліномом), а потім покладають: (1) при .

Аналогічно роблять при знаходженні похідних вищих порядків функції .

Якщо для інтерполяційної функції відома похибка то похибка похідної виражається формулою

(2)

тобто похибка похідної інтерполяційної функції рівна похідній від похибки цієї функції. Це також вірно і для похідних вищих порядків.

Слід відмітити, що взагалі наближене диференціювання являє собою операцію менш точну, ніж інтерполювання. Дійсно близькість одна до одної ординат двох кривих і на відрізку ще не гарантує знаходження близько друг до другу їх похідних і , тобто малого розходження кутових коефіцієнтів дотичних до даних кривих при однакових значеннях аргументу (рис. 1).

рис. 1

Формули наближеного диференціювання, основані

на першій інтерполяційній формулі Ньютона

Нехай маємо функцію , задану в рівностоячих точках відрізка за допомогою значень . Для знаходження на похідних і т.д. функцію наближено замінимо інтерполяційним поліномом Ньютона, побудованим для системи вузлів .

Маємо:

(1)

де і

Перемноживши біноми, отримаємо: (1)

Так як , то

(2)

Аналогічно, так як то

.(3)

Таким же способом, якщо потрібно, можна визначити і похідні функції будь-якого порядку.

Помітимо, що при знаходженні похідних у фіксованій точці в якості слідує вибирати близьке табличне значення аргументу.

Іноді вимагається знаходити похідні функції в основних табличних точках . В цьому випадку формули чисельного диференціювання спрощуються. Так як кожне табличне значення можна вважати за початкове, то покладемо , ; тоді матимемо:

(4)

і

. (5)

Якщо – інтерполяційний поліном Ньютона, який має різниці і

відповідна похибка, то похибка в означенні похідної є

Як відомо,

де – деяке проміжне число між значеннями

Тому, припустивши, що , отримаємо:

Звідси при і, отже, при і враховуючи, що будемо мати:

(6)

Так як в багатьох випадках важко оцінити, то при малим наближено покладають:

і, отже,

(7)

Аналогічно може бути знайдена похибка для другої похідної

Формули наближеного диференціювання, основані

на інтерполяційній формулі Стірлінга

Виведені в попередньому пункті формули численного диференціювання для функції в точці володіють тим дефектом, що вони використовують лише односторонні значення функції при . Відносно велику точність мають симетричні формули диференціювання, враховуючи значення даної функції як при , так і при . Ці формули звичайно називаються центральними формулами диференціювання. Виведемо одну з них, взяв за основу інтерполяційну формулу Стірлінга.

Нехай – система рівностоячих точек з кроком і – відповідні значення даної функції Покладаючи і замінюючи наближено функцію інтерполяційним поліномом Стірлінга, будемо мати:

(1)

де для стислості введені позначення

і т. д.

Із формули (1), враховуючи, що отримуємо:

(2)

(2)

Зокрема, покладаючи , будемо мати:

(3)

і

(3)

Формули наближеного диференціювання, основані

на першій інтерполяційній формулі Гаусса

Формули наближеного диференціювання, основані

на другій інтерполяційній формулі Гаусса

Формули наближеного диференціювання, основані

на інтерполяційній формулі Бесселя

Приклад. Знайти значення першої та другої похідних даних функцій при: 1)

2)

3)

4)

0,8

2,857

2,4

6,503

1,2

3,946

2,8

7,010

1,6

4,938

3,2

7,288

2,0

5,801

3,6

7,301

Розв’язування. Складемо діагональну таблицю кінцевих різниць даної функції:

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

2,857

3,946

4,938

5,801

6,503

7,010

7,288

7,301

1,089

0,992

0,863

0,702

0,507

0,278

0,013

–0,097

–0,129

–0,161

–0,195

–0,229

–0,265

–0,032

–0,032

–0,034

–0,034

–0,036

1) Нехай тоді Скористаємося для розрахунків формулами

які отримані з першої інтерполяційної формули Ньютона.

Знаходимо

2) Нехай тоді Скористаємося для розрахунків формулами

які отримані із формули Бесселя.

Знаходимо

3) Нехай тоді Скористуємося формулами

Які отримують із формули Стірлінга.

Знаходимо

4) Нехай тоді Скористаємося формулами

які отримують із першої формули Гаусса.

Знаходимо

Завдання. За допомогою інтерполяційних формул Ньютона, Гаусса, Стірлінга, Бесселя знайти значення першої та другої похідних при даних значеннях аргумента для функції, заданої таблично.

Таблиця 1

2,4

3,526

3,6

4,222

2,6

3,782

3,8

4,331

2,8

3,945

4,0

4,507

3,0

4,043

4,2

4,775

3,2

4,104

4,4

5,159

3,4

4,155

4,6

5,683

1)

2)

3)

4)

Таблиця 2

1,5

10,517

4,5

8,442

2,0

10,193

5,0

8,482

2,5

9,807

5,5

8,862

3,0

9,387

6,0

9,701

3,5

8,977

6,5

11,132

4,0

8,637

7,0

13,302

1)

2)

3)

4)

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
2
дн.
0
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!