і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Збіжність методу Ейлера

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Збіжність методу Ейлера

Нехай функція f(x,y) з рівняння (1) задовольняє умови теореми Пікара і, крім того, нерівність

. (17)

Якщо у(хк) і ук відповідно точний і наближений розв’язки задачі (1)-(2) в точці хк, то різницю

(18)

називають похибкою наближеного значення ук в точці хк, або похибкою чисельного методу.

Оскільки значення точного розв’язку у(хк) задачі (1)-(2) в точці хк невідоме, то й похибку наближеного розв’язку ук в цій точці обчислити не можна. Проте оцінити зверху модуль цієї похибки можна. З цієї оцінки можна зробити висновок про збіжність методу Ейлера в кожній точці хк: ук→ у(хк), якщо h→0.

Для цього від рівності (7) віднімають почленно рівність (5). Врахувавши (18), знаходимо

, або після тотожного перетворення,

. (19)

Інтеграл цієї рівності про інтегруємо частинами. Матимемо

Підставивши значення інтеграла в (19), дістанемо

.

Звідси, використавши умову Ліпшиця (3) і нерівність (17), послідовно знаходимо

.

Але ,

тому з попередньої нерівності дістаємо

або (k=0,1,2,,…,n-1). (20)

Отже, якщо значення величини модуля похибки наближеного розв’язку yk в точці xk відоме, тобто відоме (a ), то нерівність (20) дає змогу оцінити зверху величину модуля похибки наближеного розв’язку yk+1 в точці xk+1.

Проте з нерівності (20), яка дає рекурентну оцінку похибки, можна дістати й незалежну оцінку величини модуля похибки наближеного розв’язку задачі (1)-(2) методом Ейлера в будь-якій точці xk. Щоб упевнитись у цьому, введемо позначення

(21)

і подамо нерівність (20) в такому вигляді

(k=0,1,2,…,n-1). (22)

Звідси дістанемо

Припустимо, що справедлива нерівність:

і доведемо, що

Справді, за нерівністю (22) маємо:

Оскільки, a=1+hK1, то 1+a+a2+…+ak-1=

(k=0,1,2,…,n).

Підставивши в цю формулу значення a i b з (21), знайдемо незалежну оцінку похибки в точці xk: (k=0,1,2,…,n).

Скориставшись нерівностями і , незалежну оцінку для величини модуля похибки наближеного розв’язку в точці xk (k=0,1,2,…,n) можна записати остаточно в такому вигляді

(k=0,1,2,…,n). (23)

Права частина цієї нерівності пропорційна кроку інтегрування h і тому на будь-якому скінченному відрізку похибка наближеного розв’язку прямуватиме до нуля, коли h0, тобто метод Ейлера збігається.

Слід зазначити, що в практичних обчисленнях похибки наближеного розв’язку задачі (1)-(2) за допомогою формули (23) оцінювати часто незручно й недоцільно. Незручно тому, що треба спочатку обчислити сталі K i N1, а недоцільно, бо ця оцінка значно завищена. З розвитком і використанням сучасних ЕОМ для оцінки похибки наближеного розв’язку задачі (1)-(2) здебільшого вдаються до подвійного перерахунку і правила Рунне. Аналогічними міркуваннями, хоча і дещо складнішими, можна оцінити величини похибки наближеного розв’язку задачі (1)-(2) удосконаленими методами Ейлера і Ейлера-Коші. З цих оцінок випливатиме збіжність згаданих методів.

Справедливі такі твердження.

Теорема 1. Якщо права частина рівняння (1) задовольняє умови теореми Пікара і нерівності ,

то для похибки наближеного значення yk удосконаленого методу Ейлера справедлива оцінка (k=1,2,…,n).

З цієї нерівності випливає, що , коли h0, тобто удосконалений метод Ейлера збігається, якщо h0, причому порядок збіжності дорівнює двом.

Теорема 2. Якщо права частина рівняння (1) задовольняє умови теореми Пікара і, крім того, нерівності ,

а крок інтегрування h задовольняє нерівність , то для похибки наближеного розв’язку yk в точці xk удосконаленого методу Ейлера-Коші справедлива оцінка ,

з якої випливає збіжність методу, причому порядок збіжності дорівнює двом.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про збіжність методу Ейлера та використання теорем Пікара.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Розвиток цифрового інтелекту учителя: путівник по цифрових інструментах в ефективній організації і проведенні освітнього процесу»
Ілляхова Марина Володимирівна
36 годин
590 грн
295 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти