і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень».
Щотижня отримуйте приємні подарунки.
Взяти участь

Застосування подібності трикутників до розв'язування прикладних задач

Передплата на журнал
Оберіть документ з архіву для перегляду:
Бібліотека
матеріалів

Г. Дудар. Вчитель-методист ТЗОШ І-ІІІ ст., №19

Геометрія . 8 клас

Тема. Застосування подібності трикутників до розв’язування прикладних задач

Мета дидактична. Повторити і систематизувати матеріал із теми «Застосування властивостей подібності трикутників» шляхом розв’язування прикладних задач, показати важливість отриманих для подальшого навчання, а також для практичного застосування їх у повсякденному житті.

Мета виховна.

Бінарний урок.

Оснащення уроку. Мультимедійний проектор, мультимедійна презентація. Набір карток «Скарбничка мудрості». Заготовки для спільного навчального арт-проекту «Подібні трикутники у мистецтві». Аудіозапис музики для арт-проекту. Використано відео «Кандинский» Matemáticas Kandinsky - Video birografia.m4v

План уроку

Девіз уроку.

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо ступайте у воду, а якщо ви хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх!

Дьордь Пойа

Вступне слово вчителя

Видатний філософ і психолог Евальд Ільєнков сказав, що розв'язання задач – зовсім не привілей математики. Усе людське пізнання – це не що інше, як постійна постановка і розв’язування все нових питань, проблем. А «навчання мистецтву розв'язувати задач – це виховання волі». Ці слова належать Д. Пойа – угорському, швейцарському і американському математику.

1.Повідомлення теми уроку.

2. Постановка разом з учнями цілей і завдань уроку.

3.Актуалізація опорних знань, необхідних для розв’язування задач.

Усні вправи. «Шукай причину висновку»- кожна відповідь має бути обгрунтована.

Метод «Мікрофон». (Завдання проектуються на екран)

Формат «Кожному – своє».

Кожній з трьох груп – 4 свої запитання. На обдумування – 10 сек. Той з членів команди, хто дав правильну відповідь отримує картку із Скарбнички мудрості, на якій записано вислів про математику і кількість балів - 2, якщо дав відповідь на запитання своєї групи, і 1бал, якщо відповів на запитання іншої групи. Із своєї групи може відповідати лише один учасник на одне запитання.

І група

1.Чи подібні трикутники АВС і КРТ, якщо в них А=50°, В=60°, Р=60°, Т=70°?

2.Гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює 30°, а іншого 60°. Чи подібні ці трикутники?

3.Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають прямі кути?

4.Як провести пряму, яка б перетинала дві сторони трикутника паралельно до третьої сторони, щоб вона відтяла від даного трикутника подібний йому з коефіцієнтом ¾? Пояснити.

ІІ група

1 Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають рівні гострі кути?

2.Чи можна стверджувати, що два прямокутні трикутники подібні, якщо відповідно пропорційні катет і бісектриса кута, які виходять з однієї вершини?

3.Чи подібні два рівнобедрені трикутники, у яких відповідно пропорційні основа і бічна сторона?

4. Чи може пряма, не паралельна жодній стороні трикутника, відтинати від нього трикутник, подібний даному?( Так. Див. мал.1).

Мал.1.

ІІІ група

1.Чи подібні два рівнобедрені трикутники за основою і кутом при основі?

2.У прямокутному трикутнику побудовано проекції катетів на гіпотенузу. Скільки пар подібних трикутників утворилося?

3.За даним зображенням на рисунку знайдіть подібні трикутники та поясніть, чому вони подібні?

4.У

4.Розв'язування опорних задач

Вам відоме ім’я першого вченого геометра Фалеса Мілетського, який жив у Стародавній Греції. В молодості він багато подорожував, відвідував Єгипет і Вавилон. Фалес відкрив властивості кутів рівнобедреного трикутника, встановив, що діаметр поділяє коло на дві рівні частини. Він є автором теорем, які названі його ім’ям. Фалес відкрив цікавий спосіб визначення відстані від берега до видимого корабля. Деякі історики стверджують, що для цього він скористався ознаками подібності трикутників.

Наукова діяльність Фалеса була тісно пов’язана з практикою.

Задача Фалеса 1: визначте відстань від берега до корабля в морі, знаючи висоту щогли 20 м, довжину великого пальця - 4 см, відстань від очей до руки 60 см. Зробити математичну модель задачі.

Розв’язання:Нехай х – відстань до корабля.

Відповідь: відстань від берега до корабля становить 300 м.

Яку саме ознаку подібності трикутників використано в цій задачі? (ознака подібності прямокутних трикутників за двома катетами)

Задача Фалеса 2. Висота піраміди.

У 6 столітті нової ери Фалес Мілетський дав відповідь на запитання. яке хвилювало ще стародавніх єгиптян: як визначити висоту однієї з височенних пірамід?

«Коли тінь від цієї палки буде тієї самої довжини, що й сама палка, то тінь від піраміди буде такої самої довжини, як і висота піраміди», – сказав Фалес.

Припускають, що Фалес розв’язав цю задачу за допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45о, тобто, коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість ознайомитися з основами знань, відомим єгипетським жерцям.

Опишіть за малюнком, як розв’язав задачу Фалес.

«А тепер дивись, куди досягає тінь від піраміди (т. А2). Вимірюємо довжину цієї тіні від основи піраміди (С1А2), додаємо до неї половину цієї основи (С1С2) і дістаємо висоту. Зверни увагу, що основа – точний квадрат, а тінь якраз перпендикулярна до сторони цього квадрата, -відповів Фалес на запитання головного жерця храму Ізіди . Він вийняв з-під білого хітона тонку вірьовку. поділену вузлами на рівні частини. Відстань між кожною парою вузлів точно дорівнювала одному вавілонському ліктю. Фалес закріпив вірьовку біля кінця тіні і простягнув її до середини найближчої основи піраміди – вийшло 5 ліктів. Додавши потім до знайденої довжини 207 ліктів половину виміряної ще жерцями основи, він підійшов до жерця, який терпляче стежив за ним. – 263 лікті, сказав Фалес, витираючи полою хітона залите потом обличчя.– Точно таку висоту має піраміда.»

Яку ознаку подібності трикутників використав Фалес? (за катетом і гострим кутом).

Висновок.Усі рівнобедрені прямокутні трикутники подібні!

Задача 3. «Задача без вимог»:

Упрямокутному трикутникуАВС із катетом ВА= 5 см проведена висота з вершини прямого кута В, яка ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких АК=3 см.

Скласти запитання до цієї задачі і дати на них відповіді.

Можливі запитання (формулюють учні, вчитель записує на дошці):

1)Знайти на малюнку подібні трикутники і довести їх подібність (усно).

2)Знайти гіпотенузу АС.

3)Знайти висоту ВК.

4)Знайти КС

5)Знайти катет ВС.

6)Знайти периметр.

7)Знайти радіус описаного навколо цього трикутника кола.

8)Знайти площу трикутника. (Як? Доповнити до прямокутника)

9)Знайти медіану, проведену до гіпотенузи.

5. Розв'язування задач прикладного характеру

Уявіть собі, що ви вирушили у похід. Попереду – пригоди, першкоди, які потрібно буде вам подолати, щоб дістатися кінцевої точки вашого маршруту.

Задача 4.

Знайти відстань між двома об’єктами, до яких можна підійти, але між якими знаходиться перешкода.

Розв'язання.

Вибираємо точку С таким чином, щоб з неї було видно точки А і В і провішуємо прямі СА і СВ. Виимірюємо відрізки АС і АВ. Потім відкладаємо відрізки СМ і СN, зменшивши відрізки АС і СВ у одному і тому ж відношенні k, яке є коефіцієнтом подібності. Тоді , і з подібності трикутників АВС і МNС можна знайти на місцевості відрізок МN.

Запис на дошці:

k=.

Тоді k=. З цього маємо АВ=.

Задача 5

«Ширина річки».- Представник кожної з трьох груп обгрунтовує свій спосіб.

На малюнку показано, як можна різними способами визначити ширину АВ річки, побудувавши на місцевості подібні трикутники. Обгрунтуйте в кожному випадку виконані побудови, а також вкажіть усі величини, які потрібно виміряти.

І група – мал.а)

ІІ група –мал.б)

ІІІ група – мал в)

Задача 6

Нам точно відомо, що деякий об’єкт S знаходиться рівно посередині між пунктами А і В на дорозі, що веде до пункту С. Мандрівникам дісталась пошкоджена карта місцевості, на якій потрібно відновити дорогу до пункту С. Як би ви це зробили?

«Мозковий штурм»

Математична модель задачі.

Як провести медіану трикутника АВС з вершини С, якщо вершини А, В, С, недоступні. ( разом, коментуючи. виконуючи в зошитах і на дошці)

Розв’язання.

Творча задача 7.

Висота дерева.

Потрібно виміряти висоту дерева для встановлення сигнального прапорця. Під руками – лінійка, мотузка.

Хлопчик хоче виміряти висоту дерева. користуючись лінійкою завдовжки 15 см. На стовбурі він позначає точку, що знаходиться на відстані 1,5 м від землі. Відійшовши від дерева на 9м, хлопчик простягає перед собою руку з лінійкою так, щоб вона закривала собою дерево від верхівки до раніше вибраної точки на стовбурі. Потім він вимірює відстань АВ від ока до лінійки (наприклад за допомогою мотузки) та обчислює висоту дерева h за такою формулою: h=9 +1,5. Обгрунтуйте правильність цієї формули. В яких одиницях треба вимірювати відстань АВ? В яких одиницях тоді буде виміряно висоту дерева? Якою буде висота дерева. якщо АВ=20см?

«Несподіванка-1».

Процентомір

Прилад для механічного розв’язування трьох основних задач на проценти складається з прямокутної рамки, ліва ( вертикальна) планка якої поділена на 100 частин (процентів), а на наижній (горизонтальній0 планці відкладено одиниці ( до 200) з шпильками біля кожної поділки. До вертикальних планок прикріплена рухома гоизонтальна лінійка зтакими самими поділками як на нижній планці. ЇЇ можна вільно пересувати у вертикальному напрямі. У лівому верхньому кутку рамки в точці 0% закріплено досить довгий шнур з гирькою на кінці. Зачепимо шнур за шпильку за шпильку числа а, рухому ж лінійку поставимо проти р%

Натягнутий шнур перетне її в поділці в. З подібності утворених прямокутних трикутників маємо : а:в=100:р. На даному фото маємо 40% від числа 150 становлять 60.

.

«Несподіванка-2»

Вчитель. Я хочу вам зараз показати картини видатного російського художника, який народився в Москві. але отримав основну музичну і художню освіти в Україні – в Одесі. куди переїхала сім’я майбутнього художника у 1877 році. Мова йде про Васи́ля Васи́льовича Канді́нського — графіка і теоретика мистецтва, автора книг «Точка і лінія на площині», «Духовний світ мистецтва» та багатьох інших творів. Він жив та творив в Україні, Німеччині, Франції та Росії. Кандінський вважається першим абстракціоністом.  Якщо ви будете уважними то побачите в його надзвичайно світлих. життєстверджуючих картинах …математику, зокрема – подібні трикутники.

А зараз – релаксація: перед вами лист із нанесеними кольоровими точками. Пропоную вам створити малюнок. Відчуйте себе художниками. Причому його ми виконуватимемо разом - командою, ланцюжком. Перший учень шукає дві точки одного кольору і з’єднує їх відрізками разом із точкою центрального трикутника (вона позначена буквою). Потім передає наступному. Коли точки будуть з'єднані, починаємо таким же чином розмальовувати. Отож : точки і лінії – і матимемо наш «Бунт трикутників»!

По закінченню арт-проекту запитання до класу: ваші висновки, до яких ви прийшли виконуючи малюнок?

1) усі прямокутні трикутники із рівним гострим кутом подібні;

2) усі рівносторонні трикутники подібні;

3) усі рівнобедрені трикутники із рівним кутом при вершині подібні.

6. Підведення підсумків уроку, оцінювання учнів, рефлексія

Таким чином на сьогоднішньому уроці ми навчились: вимірювати відстані між недоступними об’єктами, і відстань від спостерігача до них. висоту предметів, застосовуючи ознаки подібності трикутників, а також знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника.

Чи переконались ви, що такі знання вам справді знадобляться?

Що вам сподобалось на уроці найбільше?

Що нового ви дізналися?

Які труднощі у вас виникли при розв’язуванні задач?

Які вміння та навички ви вдосконалили на уроці?

 Наприкінці уроку хочу прочитати такі слова:

«Музика може возвеличити або заспокоїти душу,

Живопис – радувати око,

Поезія – пробуджувати почуття,

Філософія – задовольняти потреби розуму,

Інженерна справа – удосконалювати матеріальну сторону життя людей,

А математика здатна досягти усіх цих цілей.»

Так сказав американський математик Моріс Клайн

Виставляються оцінки за підрахованими балами на карточках. Карточки з висловлюваннями закріпляються на дереві мудрості.

Д/з. Задача 1.Як виміряти висоту предмета, до якого не можна підійти з допомогою

А)дзеркала;

Б) тіні

Задача 2. Які завбільшки повинні бути букви на класній дошці, щоб учні, сидячи за партами, бачили їх так само виразно, як букви в своїх книжках (на відстані 25см від ока)? Відстань від парт до дошки взяти 5м, ширина букви в книжці дорівнює 1мм.

Додаток . Скарбничка мудрості

Добрий розум, робить легким будь-який спосіб життя.

Г. Сковорода

Бери вершину і матимеш середину.

Г. Сковорода

Більше думай і тоді вирі шуй.

Г. Сковорода

Як нерозумно випрошувати те, чого можеш сам досягти!

Г. Сковорода

Не досить, щоб сяяло світло денного сонця, коли світло голови твоєї затьмарене.

Г. Сковорода

З видимого пізнавай невидиме.

Г. Сковорода

Математика, медицина, фізика, механіка, музика зі своїми сестрами — чим глибше їх пізнаємо, тим сильніше палять серце наше голод і спрага. Г. Сковорода

Не розум від книг, а книги від розуму створились.

Г. Сковорода

Світло відкриває нам те, про що ми у темряві лише здогадувалися.

Г. Сковорода

Визначай сили не по шкаралупі. а по ядру.

Г. Сковорода

В усіх науках і мистецтвах плодом є вірна практика.

Г. Сковорода

І мудрий часто спотикається.

Г. Сковорода

Найкраща помилка та, яку допускають при навчанні.

Г. Сковорода

Не все те невірне, що тобі незрозуміле.

Г. Сковорода

Розум гострий у багатьох, але не всі навчилися мислити.

Г. Сковорода

Хто думає про науку, той любить її, а хто її любить, той ніколи не припиняє вчитися, хоча б зовні він здавався бездіяльний.

Г. Сковорода

Шануй мудрість , а не золото.

Мелетій Смотрицький

(1577-1633)

Чи може бути пастирем і вчителем той, котрий сам ніколи не вчився?

Мелетій Смотрицький

(1577-1633)

Краще вчасно братися за розум, ніж хапатися потім за голову.

Леонід Сухоруков, письменник, журналіст

Розширювати свої знання можна тільки тоді, коли дивишся прямо в очі власному незнанню.

К. Ушинський – педагог

(1824-1870)

Лінь – то мати усьому:що уміє, те забуде, а чого не вміє, того не навчається.

Володимир Мономах (1053-1125) –великий князь Київський

Чому би ти не навчався, ти навчаєшся для себе.

Петроній(27 рє н.е.-67 р. н.е)-римський сенатор

Учням, щоб досягти, потрібно доганяти тих. хто попереду, а не чекати тих. хто позаду

Арістотель

Між людиною освіченою і неосвіченою така ж різниця як між живим і мертвим.

Арістотель

Я знаю тільки те, що нічого не знаю.

Сенека

Якщо будеш допитливим, то будеш багато знаючим

Сократ

Той, хто вчиться, не мислячи, потрапляє в оману. Той, хто мислить. не бажаючи вчитися, потрапляє в складне становище.

Хун Цзичен

Хто вивчив науки. а до справи їх не застосував. ніби той. хто арик прорив, а поле не засіяв, та й врожаєм не скористався.

А. Навої

Практика без теорії цінніша, ніж теорія без практики.

Марк Фабій Квінтіліан

Ключем до всілякої науки є знак запитання

О.де Бальзак

Мільйони людей бачили, як падають яблука, але тільки Ньютон спитав чому.

Б. М. Барух

Вважай нещасним той день або ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового і нічого не додав до своєї освіти.

Я.А.Коменський

Математику не можна вивчати. дивлячись на те, як це робить сусід.

А. Нівен

Навчатись можна тільки весело…Щоб перетравити знання, потрібно поглинати їх з апетитом.

А. Франс

Геній складається з 1 % натхнення і 99% потіння.

Едісон Т

Бібліотека
матеріалів
Опис презентації окремими слайдами:
Слайд № 1

Геометрія-8 Тема уроку. Застосування ознак подібності трикутників до розв’язування прикладних задач

Слайд № 2

Мета. Повторити і систематизувати матеріал із теми «Застосування властивостей подібності трикутників» шляхом розв’язування прикладних задач, показати важливість отриманих для подальшого навчання, а також для практичного застосування їх у повсякденному житті.

Слайд № 3

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо ступайте у воду, а якщо ви хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх! Навчання мистецтву розв'язувати задачі – це виховання волі. Дьордь Пойа

Слайд № 4

Вправа. «Шукай причину висновку» «Мікрофон»

Слайд № 5

Запитання для першої групи 1.Чи подібні трикутники АВС і КРТ, якщо в них ∠А=50°, ∠В=60°, ∠Р=60°, ∠Т=70°? 2.Гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює 30°, а іншого 60°. Чи подібні ці трикутники? 3.Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають прямі кути? 4.Як провести пряму, яка б перетинала дві сторони трикутника паралельно до третьої сторони, щоб вона відтяла від даного трикутника подібний йому з коефіцієнтом ¾? Пояснити.

Слайд № 6

Розв’язання 4

Слайд № 7

Запитання для другої групи 1 Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають рівні гострі кути? 2.Чи можна стверджувати, що два прямокутні трикутники подібні, якщо відповідно пропорційні катет і бісектриса кута, які виходять з однієї вершини? 3.Чи подібні два рівнобедрені трикутники, у яких відповідно пропорційні основа і бічна сторона? 4. Чи може пряма, не паралельна жодній стороні трикутника, відтинати від нього трикутник, подібний даному?

Слайд № 8

Розв’язання 4

Слайд № 9

Запитання для ІІІ групи 1.Чи подібні два рівнобедрені трикутники за основою і кутом при основі? 2.У прямокутному трикутнику побудовано проекції катетів на гіпотенузу. Скільки пар подібних трикутників утворилося?

Слайд № 10

3.За даним зображенням на рисунку знайдіть подібні трикутники та поясніть, чому вони подібні

Слайд № 11

4.Сторони одного трикутника 10, 9, 8, а периметр подібного йому трикутника 54. Чому дорівнюють сторони другого трикутника?

Слайд № 12

Задача Фалеса 1. Відстань до корабля

Слайд № 13

Задача Фалеса 2. Висота піраміди «Коли тінь від цієї палки буде тієї самої довжини, що й сама палка, то тінь від піраміди буде такої самої довжини, як і висота піраміди», – сказав Фалес.

Слайд № 14

Опишіть за малюнком, як саме Фалес визначив висоту піраміди.

Слайд № 15

Задача 3.“Задача без вимог”

Слайд № 16

Видатний філософ і психолог Евальд Ільєнков сказав, що розв'язання задач – зовсім не привілей математики. Усе людське пізнання – це не що інше, як постійна постановка і розв’язування все нових питань, проблем.

Слайд № 17

Задача 4. Знайти відстань між двома об’єктами, до яких можна підійти, але між якими знаходиться перешкода.

Слайд № 18

Розв’язання

Слайд № 19

Задача 5. «Ширина річки»

Слайд № 20

Три розв’язання задачі про ширину річки

Слайд № 21

Задача 6 Нам точно відомо, що деякий об’єкт S знаходиться рівно посередині між пунктами А і В на дорозі, що веде до пункту С. Мандрівникам дісталась пошкоджена карта місцевості, на якій потрібно відновити дорогу від до пункту С. Як би ви це зробили? Математична модель задачі. Як провести медіану трикутника АВС з вершини С, якщо вершини А, В, С, недоступні.

Слайд № 22

Слайд № 23

Розв’язання 1

Слайд № 24

Розв’язання 2

Слайд № 25

Творча задача 7. Висота дерева. Потрібно виміряти висоту дерева для встановлення сигнального прапорця. Під руками – лінійка, мотузка. Хлопчик хоче виміряти висоту дерева. користуючись лінійкою завдовжки 15 см. На стовбурі він позначає точку, що знаходиться на відстані 1,5 м від землі. Відійшовши від дерева на 9м, хлопчик простягає перед собою руку з лінійкою так, щоб вона закривала собою дерево від верхівки до раніше вибраної точки на стовбурі. Потім він вимірює відстань АВ від ока до лінійки (наприклад за допомогою мотузки) та обчислює висоту дерева h за такою формулою: h=9∙(15/АВ) +1,5. Обгрунтуйте правильність цієї формули. В яких одиницях треба вимірювати відстань АВ? В яких одиницях тоді буде виміряно висоту дерева? Якою буде висота дерева. якщо АВ=20см?

Слайд № 26

Розв’язання

Слайд № 27

Як працює процентомір?

Слайд № 28

Слайд № 29

Прилад для механічного розв’язування трьох основних задач на проценти складається з прямокутної рамки, ліва ( вертикальна) планка якої поділена на 100 частин (процентів), а на наижній (горизонтальній0 планці відкладено одиниці ( до 200) з шпильками біля кожної поділки. До вертикальних планок прикріплена рухома гоизонтальна лінійка зтакими самими поділками як на нижній планці. ЇЇ можна вільно пересувати у вертикальному напрямі. У лівому верхньому кутку рамки в точці 0% закріплено досить довгий шнур з гирькою на кінці. Зачепимо шнур за шпильку за шпильку числа а, рухому ж лінійку поставимо проти р% Натягнутий шнур перетне її в поділці в. З подібності утворених прямокутних трикутників маємо : а:в=100:р. На даному фото маємо 40% від числа 150 становлять 60.

Слайд № 30

Геометричний світ Василя Кандінського Бунт трикутників Тиха гармонія. 1924

Слайд № 31

“Діагональ” 1930 Великі башти Києва .1924

Слайд № 32

Композиції VІІІ 1923

Слайд № 33

Тихий рожевий. 1924

Слайд № 34

Відчутний зв’язок. 1925 Чорний і фіолетовий. 1923

Слайд № 35

Домашнє завдання Задача 1.Як виміряти висоту предмета, до якого не можна підійти з допомогою А)дзеркала; Б) тіні Задача 2. Які завбільшки повинні бути букви на класній дошці, щоб учні, сидячи за партами, бачили їх так само виразно, як букви в своїх книжках (на відстані 25см від ока)? Відстань від парт до дошки взяти 5м, ширина букви в книжці дорівнює 1мм.

Слайд № 36

«Музика може возвеличити або заспокоїти душу, Живопис – радувати око, Поезія – пробуджувати почуття, Філософія – задовольняти потреби розуму, Інженерна справа – удосконалювати матеріальну сторону життя людей, А математика здатна досягти усіх цих цілей.» Так сказав американський математик Моріс Клайн

Слайд № 37

Молодці!

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Конспект нетрадиційного уроку із презентацією, арт-проектом.
  • Додано
    01.03.2018
  • Розділ
    Геометрія
  • Клас
    8 Клас
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    370
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    2
  • Номер материала
    AQ574481
Збірник методичних матеріалів проекту «Всеосвіта» I видання

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

Збірник методичних матеріалів проекту «Всеосвіта» I видання