і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Особливості вивчення англійської мови у 1 класі за методом асоціативних символів.
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Загадки простих чисел

Перегляд
матеріалу
Отримати код

В. Г. Серветник

Загадки простих чисел

( рівень конкурсних

і олімпіадних задач )

6 клас

Муровані Курилівці

2011

Блок 1

1. Жили-були дід і баба. Була в них курочка Ряба. Курочка несе кожне друге яєчко просте, а кожне третє – золоте. Чи може таке бути?

Розв’язання.

Ні. Шосте яєчко буде і другим, і третім, бо 6 ділиться і на 2, і на 3.

2. Песик Шарик помножив перших десять простих чисел і отримав число 6 469 693 250.

- Ти не правий, - сказав кіт Матроскін.

- Чому?

Розв’язання.

Тому, що отримане в Шарика число не ділиться на 3 або інший варіант - це число ділиться на 25 . Ні того, ні іншого бути не може.

3. В межах першої сотні знайдіть всі пари простих чисел, різниця між якими теж просте число.

Розв’язання.

Всі прості числа є непарними, крім числа 2. Різниця непарних чисел є число парне. Отже, умову задачі задовольняють пари простих чисел, різниця між якими 2. Таких чисел – близнят в першій сотні є 8 :

(3 ; 5), (5; 7), (11; 13), (17;19),(29; 31), (41; 43), (59; 61),(71; 73).

4. Якщо натуральне число не перевищує 100 і не ділиться на 2, 3, 5 і 7, то воно просте. Чи правильне це твердження?

Розв’язання.

Якщо число не ділиться на 2, 3, 5 і 7 , то кожний з його дільників, що не дорівнює одиниці, більший від 10. Отже, число має не більше, як один дільник, що не дорівнює одиниці, інакше воно було б більшим від 100. Тому це число просте.

5. В сім’ї шестеро дітей. П’ятеро з них відповідно на 2, 6, 8, 12 і 14 років старші за наймолодшу, причому вік кожної дитини – просте число. Скільки років наймолодшій дитині?

Відповідь

5 років. Далі маємо 7, 11, 13, 17 і 19 років.

6. Учні трьох шостих класів купили 737 зошитів. Кожний купив однакову кількість зошитів. Скільки було шестикласників і скільки зошитів закупив кожний з них?

Розв’язання.

737 = 67 ∙ 11 ( обоє ці числа прості ). Тому в класах 67 учнів, кожний з яких купив 11 зошитів.

7. Спробуйте розкласти всі 28 кісточок доміно на чотири купки так, щоб суми очок в купках були чотирма послідовними простими числами.

Розв’язання.

Сума всіх очок доміно дорівнює 168. В середньому на купках по 42 очка. Тепер неважко підібрати потрібні значення сум очок: 37, 41, 43, 47.

8. “Алло, Катя! Нам поставили телефон! Повідомляю номер. Він, як і в тебе, п’ятизначний. Перша цифра – просте число, наступні дві цифри – двозначне просте число, а останні дві цифри отримуються з попередньої пари перестановкою і утворюють точний квадрат. Який у мене номер телефону?”

Розв’язання.

Є всього 6 двозначних чисел, які є точними квадратами: 16, 25, 36, 49, 64 і 81, але тільки одне з них – 16 після перестановки цифр утворює просте число – 61. Отже, є чотири номери телефону, які задовольняють умові: 2-61-16, 3-61-16, 5-61-16, 7-61-16.

9. Одна цукерка коштує 10 копійок. У Петі грошей більше, ніж на дві цукерки, але не вистачає на три. У Колі грошей більше, ніж на одну цукерку, але не вистачає на дві. Коли вони додали свої гроші, то змогли купити 4 цукерки. Скільки грошей було в кожного, якщо кожний мав просте число копійок ?

Розв’язання.

Нехай Петя мав х коп., а Коля - у коп. Тоді 20 < х < 30, 10 < у < 20 , причому х + у = 40. Першій нерівності задовольняють числа 23 і 29, а другій – числа 11, 13, 17, 19. Враховуючи третю умову, маємо дві від-повіді: у Петі – 23 коп., у Колі – 17 коп або в Петі – 29 коп, у Колі -19 коп.

Блок 2

10. Знайти чотиризначне число, у якому перші дві цифри утворюють просте число , а дві останні цифри утворюють число, яке в 5 разів більше за перше двоцифрове число, причому цифри сотень і десятків однакові.

Розв’язання.

- шукане число.просте число, b –непарне, с = 5, звідси а = 1. 95=5∙19.

Відповідь: 1995. (Шкільна олімпіада 1995р.)

11. Яку цифру треба дописати справа до числа 250,щоб утворене чотири-значне мало два простих дільники, які закінчуються дописаною цифрою?

Розв’язання.

Прості числа, крім 2, можуть закінчуватися цифрами 1, 3, 7 або 9. Тоді Цій умові може відповідати тільки цифра 1. Прикидка дає прості числа 41 і 61. Відповідь: цифру 1.

12. Чотиризначне число є добутком трьох послідовних простих чисел і читається зліва направо так само, як справа наліво. Знайдіть це число.

Розв’язання.

Шукане число п виглядає так: , тобто

п = 1000а + 100b + 10b + a = 1001a + 11b = 11( 91a + 10b ).

Один простий множник числа n дорівнює 11. Число n дорівнює або

5 ∙ 7∙11=385 , або 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001, або 11 ∙ 13 ∙ 17 = 2431.

Але 385 і 2431 не задовольняють умові задачі, тому шукане число дорівнює 1001.

13. Два двозначні прості числа утворюються одне з одного перестановкою цифр, а їх різниця - повний квадрат. Які це числа ?

Розв’язання.

Легко зрозуміти, що цифри а і b, з яких складені ці числа, обоє непарні і жодне з них не дорівнює 5. Крім того, вони різні.

Нехай а > b , тоді різниця ( 10а + b ) – ( 10 b + а ) = 9( аb ) повинна бути точним квадратом. Це буде тільки при аb = 4. Звідси дістаємо, що

а = 7, b =3.

Відповідь: 73 і 37.

14. Деяке число піднесли до куба. Отримане тризначне число записали в оберненому порядку, отримали просте число. Знайдіть початкове число.

Відповідь: 53 = 125, 521 - просте число.

15. Чи можна з п’яти послідовних цифр, відмінних від нуля, взявши їх у деякому порядку, утворити п’ятизначне число, яке є квадратом простого числа ?

Розв’язання

Оскільки квадрат простого числа, більшого від 2, закінчується на одну з цифр 1, 9, 5, причому в останньому випадку його передостання цифра дорівнює 2, то з наборів цифр від 3 до 7 і від 4 до 8 не можна утворити точний квадрат.

Якщо число ділиться на 3, то його квадрат ділиться на 9, але сума цифр від 1 до 5 ділиться на 3 і не ділиться на 9.

Нарешті, квадрат числа, яке не ділиться на 3, дає при діленні на 3 остачу 1, а суми наборів від 2 до 6 і від 5 до 9 дають остачу 2.

Таким чином, із наборів п’яти послідовних цифр, відмінних від нуля, утворити точний квадрат не можна.

Блок 3

16. Чи можна натуральні числа від 1 до 95 розмістити послідовно так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була простим числом ?

Розв’язання

В послідовності

3; ; 2, 5, 6, 7, 4, 1 сума сусідніх чисел в групі між точками з комою дорівнює 103 або 101, а простота решти сум перевіряється безпосередньо.

17. Знайдіть найменше просте число, яке може бути подане у вигляді суми двох, трьох, чотирьох і п’яти простих доданків.

Розв’язання

Найменша сума п’яти простих доданків дорівнює, очевидно, 10, і тому шукане просте число а не менше 11.

Проте 11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 5 + 6 = 7 + 4 не може бути представлене у вигляді суми двох простих чисел і, тому, а 11.

З іншої сторони, 13 = 2 + 11= 3 + 3 + 7 = 2 + 2 + 2 + 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2+ 5 задовольняє умові задачі, і тому а = 13.

Якщо вважати, що всі доданки різні, то шукане число а повинно бути не менше, ніж 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39 (зауважимо, що числа 2 серед доданків не повинно бути, бо, за умовою, число а непарне), тому а ≥ 41. Але 41 не можна подати у вигляді суми, наприклад, двох простих доданків. Наступна за величиною сума п’яти простих доданків отримується, якщо замінити 13 - найбільше із доданків – на 17 (наступне просте число), і ця сума дорівнює 43. Підбором переконуємося, що

43 = 2 + 41 = 7 + 17 + 19 = 2 + 5 + 17 + 19 = 3 + 5 + 7 + 11 + 17.

Отже, шукане число а дорівнює 43.

18. Знайдіть всі тризначні числа, кожна цифра яких є простим дільником.

Розв’язання

Однозначні прості числа – 2, 3, 5, 7 .

Якщо шукане число починається з цифри 2, то воно повинно ділитися на 2, а, отже, і закінчується цифрою 2. На місце другої цифри підходить тільки цифра 2, оскільки 232 не ділиться на 3, 252 – на 5, 272 – на 7, то шуканим числом в цьому випадку є 222.

Аналогічно отримуємо, що якщо шукане число починається з цифри 5, то це число – 555.

Якщо шукане число починається з цифри 3, то дві останні цифри цього числа повинні утворювати число, яке ділиться на 3; цими цифрами можуть бути або 3 і 3, або 5 і 7. Перевірка показує, що умові задачі задовольняє тільки число 333.

Нарешті, якщо шукане число починається з цифри 7, то дві останні цифри цього числа повинні утворювати число, яке ділиться на 7. Перевірка показує, що умові задачі задовольняють числа 777 і 735.

Отже, шукані числа 222, 333, 555, 735, 777.

19. Чи існують три такі різні цифри, що всі тризначні числа, які складені з них без повторень, є простими?

Розв’язання

Зрозуміло, що серед трьох цифр, які задовольняють умові задачі, не повинно бути парних цифр і цифри 5. Перевіримо цифри 1, 3, 7, 9.

137, 173, 139, 193, 179, 197, 317, 319, 371 = 7 ∙ 53, 379, 391 = 17 ∙ 23, 397 , 713, 719, 739, 731, 791 = 7 ∙ 113, 793 = 13 ∙ 61. Шуканих наборів цифр не існує.

20. Чи можна розмістити цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по колу так, щоб з двох сусідніх цифр можна було б утворити просте двоцифрове число?

Розв’язання

Випишемо всі прості двоцифрові числа: 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 98, 97.

Треба побачити, що парні числа повинні стояти через одне, для того щоб використати всі цифри.

Візьмемо цифру 5. Немає простих двоцифрових чисел, які закінчувалися б цифрою 5. Отже, не можна так розмістити дані цифри.

(Районна олімпіада 1991 рік).

21. Якщо 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (п - 2) ∙ (п - 1) + 1 ділиться на п, то п – просте число. Доведіть це.

Доведення

Нехай п – складене число. Тоді воно має дільник р, причому 1 < p < n. Але це неможливо, бо перший доданок, який містить п – 1 множників, ділиться на р, а 1 – не ділиться на р. Тому і дана сума не ділиться на р.

Отже, п – просте число.

22. Чи можна знайти 1984 натуральних числа, які йдуть підряд одне за одним, таких, що серед них немає жодного простого числа ?

Відповідь: можна.

Вказівка. Розгляньте 1984 натуральних числа, які йдуть підряд за числом 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 1985 + 1.

23. При яких значеннях п сума натуральних чисел від 1 до п є простим числом ?

Блок 4

24. Два простих числа називаються близнятами, якщо вони є сусідами в ряді всіх непарних чисел. Доведіть, що будь-яке число, яке знаходиться між двома близнятами і більше за 4, ділиться на 6.

Доведення

Нехай p і q - близнята і 3 < p < n < q , тоді n - парне число, тобто ділиться на 2.

Числа p, n, q- три послідовні натуральні числа. Одне з них ділиться на 3, але ні p, ні q не ділиться на 3, тому n ділиться на 3.

Отже, n ділиться на 2 і на 3, а значить і на 6.

25. Доведіть, що сума двох простих чисел ділиться на 12, якщо їх різниця дорівнює 2, а менше число більше за 3.

Доведення

Просте число, яке більше, ніж 3, можна подати у вигляді 6k+1. Якщо менше з двох простих чисел було б 6k+1, то більше було б 6k+3=3(2k+1), тобто не було б простим. Тому менше число дорівнює 6k-1,а більше: 6k+1, їх сума 12k ділиться на 12.

Блок 5

26. При яких простих p число також просте?

Розв’язання

При діленні на 3 число дає завжди остачу 2. Якщо р≠3, то воно не ділиться на 3, а йо7го квадрат при діленні на 3 дає остачу 1, і таку ж остачу дає його четвертий степінь.

Тому при цих значеннях р дане число ділиться на 3.

При р = 3 воно дорівнює 149 і є простим.

27. Для яких простих чисел р числа 2р + 1 і 4р + 1 теж прості?

Відповідь: р = 3.

28. Знайти всі такі прості числа р, що теж просте.

29. Знайти всі числа х такі, що=7р + 1, де р – просте число.

30. Доведіть, що число 1983+ 4 - складене.

Доведення

1983= . Число 1983закінчується 1, отже, число теж закінчується 1. Значить, дане число закінчується п’ятіркою і ділиться на 5. ( Хмельницька обласна олімпіада )

Блок 6

31. Арифметичні ребуси:

а) - просте число.

Розв’язання

Г = 1, К = 9, А = 0 ( як вищі розряди ).

Щоб у двох колонках в сумі утворились однакові цифри, в розряді одиниць повинен бути перехід через десяток. Можливі випадки:

Л

С

Р

5

2

4

6

3

5

7

4

6

В будь-якому з цих випадків У = 8. Враховуючи до-даткову умову (- просте число), дістаємо Л = 6, С = 3, Р = 5.

Відповідь: КАРЛ = 9 065,

ГАУСС = 10 833.

б) Замість зірочок стоять прості числа.

Відповідь:

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Набір олімпіадних задач для учнів 6-8 класів
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Клас
    6 Клас, 7 Клас, 8 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    782
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    1
  • Номер матеріала
    DC457637
  • Вподобань
    0
Курс:«Методична діяльність в умовах децентралізації освіти в Україні»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
36 години
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь