ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ, УТВОРЕНИХ У РЕЗУЛЬТАТІ ПЕРЕТИНУ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ

Тема: ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ, УТВОРЕНИХ У РЕЗУЛЬТАТІ ПЕРЕТИНУ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ

Цілі:

навчальна: ознайомити учнів з доведенням властивостей кутів, утворених у результаті пере­тину паралельних прямих січною; формувати вмін­ня і навички застосовувати властивості кутів для розв'язування задач; ознайомити учнів з поняттям оберненої теореми, доведенням від супротивного;

розвивальна: розвивати логічне мислення; сприяти пізнавальному інтересу й інтересу до геометрії, її історії;

виховна: стимулю­вати мовленнєву активність.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання: мультимедійна система, презентація до уроку, креслярські інструменти, картки-конструктори.

ХІД УРОКУ

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП

Учитель. Розпочинаємо урок геометрії і, керуючись словами Миколи Івановича Лобачевського, що «все в природі має бути ви­міряне, все має бути пораховане», вирушимо дорогою знань.

Я пропоную сьогодні на цьому шляху зро­бити такі зупинки.

— Заперечень немає?.. Тоді в дорогу.

II. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

Зупинка «ПІДГОТОВЧА»

Учитель. На цій зупинці повторимо на­зви і розташування кутів, утворених у резуль­таті перетину двох прямих січною; пригадаємо ознаки паралельності прямих.

Що я тримаю в руках'? (Мікрофон) Кому я його запропоную, той має дати інтерв'ю.

1. Висловте свої думки з приводу кутів, зобра­жених на дошці. (Можна уточнювати, але не повторювати висловлювання товариша.)

2. Що ви можете сказати про прямі а, b, с.

Р озв'язування кросворду

1. Що збирає нас на урок?

2. Як називають прямі на площині, що не пе­ретинаються?

3. Що допоможе нам з'ясувати, чи паралельні дві прямі, чи ні?

4. Назва прямої, що перетинає паралельні прямі.

5. Кути, розташовані в різних півплощинах відносно січної.

6. Яку назву мають кути: 1 і 3, 8 і 6?

7. Яку назву мають кути: 4, 3, 5, 6?

8. Яку назву мають кути: 1, 2, 8, 7?

9. Яку назву мають кути: 2, 3, 6, 7?

10. Яким приладом вимірюють кути?

11. Який предмет вивчає паралельні прямі й кути?

— Молодці. Хто прочитає слово, яке утво­рилося по вертикалі? (Властивості)

Наша подальша робота буде пов'язана зі встановленням властивостей, а яких саме — зараз з'ясуємо.

III. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

Учитель. Що вам допомагало визначати паралельність прямих?

Можемо зробити висновок. Сфера викорис­тання ознак паралельності прямих — доведен­ня паралельності прямих або визначення пара­лельних прямих з множини пар прямих.

А якщо за умовою задачі відомо, що прямі паралельні? Причому їх перетинає січна і утво­рюються кути. Якщо ми знатимемо властивості цих кутів, то зможемо розв'язати багато різно­манітних задач і довести теореми. Отже, мета уроку — дізнатися, які властивості мають ку­ти, утворені в результаті перетину паралельних прямих січною. Ми повторили назви і розташу­вання кутів, утворених у результаті перетину двох прямих січною, пригадали ознаки пара­лельності прямих, визначили сферу їх засто­сування, визначили мету і тему уроку і готові перейти до наступної зупинки.

IV. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Зупинка «ДОСЛІДНИЦЬКА»

Учитель. На цій зупинці ми повинні про­вести практичне, теоретичне і перевірне дослі­дження для досягнення мети уроку — виявлен­ня властивостей кутів, утворених у результаті перетину паралельних прямих січною.

Дослід перший — практичний

Практична робота

1. Проведіть довільну пряму b.

2. Позначте точку А, що не належить цій прямій.

4. Через точку А за допомогою косинця та лінійки побудуйте пряму а, паралельну b.

5. Проведіть січну.

6. Позначте: внутрішні різносторонні кути цифрами 1 і 2; внутрішні односторонні — 1 і 3; відповідні — 4 і 3.

7. Виміряйте їх за допомогою транспортира.

8. Зробіть висновок для кожного випадку.

Учитель. Я роздаю вам завдання. Вам потрібно, чітко дотримуючись інструкції, по­будувати і провести дослідження кутів, утворе­них у результаті перетину паралельних прямих січною, і записати висновок згідно зі зразком. Час виконання — 1,5 хв. Можна радитися в ме­жах завдання одного кольору, щоб сформувати спільну думку.

Учитель. Група, у якої були зелені картки (досліджували внутрішні різносторонні кути), якого ви дійшли висновку? Як позначають рівні кути на рисунку? Скільки пар рівних внутріш­ніх різносторонніх кутів ви бачите? Позначте на своїх рисунках пару різносторонніх тупих кутів однією рисочкою, а пару гострих — дво­ма. Перевірте правильність позначок, звіривши свої записи із записами на дошці.

А тепер учні групи, у якої були жовті кар­тки (досліджували внутрішні односторонні ку­ти), сформулюють свої висновки щодо внутріш­ніх односторонніх кутів.

Група з червоними картками, що ви нам повідомите про відповідні кути?

П означте рисочками відповідні кути. Пе­ревірте правильність позначок, звіривши свої записи із записами на дошці. Допишіть ті ви­сновки, яких не вистачає у вашому зошиті.

Дослід другий — теоретичний

Учитель. Уважно розгляньте схему. Що вона вам нагадує? (Ознаки паралельності пря­мих)

Твердження про кути є умовою, а твер­дження, що прямі паралельні — висновком. Назвемо ці теореми прямими. Ми сьогодні до­сліджуємо кути. Як зробити, щоб твердження про кути було висновком теорем? (У прямих теоремах поміняти місцями умову і висновок.) Якщо в теоремі змінити розташування умови і висновку, дістанемо обернену теорему. Спро­буємо це зробити. З яких слів починатиметься теорема?

Завдяки теоретичному досліду ми дійшли такого висновку: «Якщо паралельні прямі пе­ретинає січна, то внутрішні різносторонні і від­повідні кути рівні, внутрішні односторонні ку­ти в сумі становлять 180°».

Порівняйте одержані твердження з висно­вками практичної роботи. Що ви можете ска­зати? (Вони однакові.)

Дослід третій — перевірний

Учитель. У кожного з вас є рисунок, на якому паралельні прямі перетинає січна, і на­бори відповідних кутів.

• Якого кольору внутрішні різносторонні ку­ти? Візьміть у руки одну з пар цих кутів. Як без допомоги транспортира переконати­ся, що вони рівні? Звірте свої дії зі зразком на дошці.

• Якого висновку ви дійшли?

• Перевірте, чи рівні відповідні кути.

• Якого висновку ви дійшли?

• Візьміть у руки внутрішні односторонні кути. Яку властивість, ми маємо переві­рити?

• Звірте свої дії зі зразком на дошці. Які ку­ти утворилися? Яку властивість суміжних кутів ви знаєте?

• Перевірте, чи кути у ваших руках у сумі становлять 180°? Звірте свої дії зі зразком на дошці.

• Що ви можете сказати про внутрішні одно­сторонні кути?

Отже, усі висновки, одержані практично і теоретично, правильні. Ми майже досягли мети уроку.

Ми відшукали і перевірили властивості ку­тів, утворених перетином паралельних прямих січною. Сформулюйте ці властивості.

Ми провели велику дослідницьку роботу і можемо рушати до наступної зупинки.

Зупинка «ІСТОРИЧНА»

Учитель. Запрошую учасника проекту «Колумби математики» ознайомити нас із ви­значною історичною особистістю.

Історична довідка

Якщо повернутися до III ст. до н. е. до Александрії, на територію сучасного Єгипту, ми потрапимо до Мусейону — наукового цен­тру, де працювали запрошені з усього світу найвидатніші вчені з різних галузей наук. За­початкував там свою школу і грецький математик Евклід. Для своїх учнів він вирішив ство­рити підручники, об'єднавши в них усі відомі на той час геометричні факти, установивши між ними логічні зв'язки, доповнивши свої­ми понад чотирма сотнями доведень і аксіом. Так з'явилися 13 книг — сувоїв, які він на­звав «Начала». У цієї праці дивна доля. Вона була настільки вдалою і відповідала потребам часу, що її слава затьмарила славу самого авто­ра. Ні місця народження, ні фактів із життя Евкліда ніхто не запам'ятав, а ось «Начала» були основним підручником з геометрії понад 2300 років. За ними вивчав геометрію весь світ. Італієць — Г. Галілей, поляк — М. Копернік, француз — Р. Декарт, росіянин — М. Ломо­носов, англієць — І. Ньютон і багато інших видатних учених. Геометрія, яку вивчають зараз у школі, є евклідовою, побудованою на аксіомах — реченнях, які приймають на віру, не потребують доведення і які допомагають до­водити інші твердження — теореми. Одна із таких аксіом носить ім'я свого творця аксіо­ма Евкліда: «Через точку, що не лежить на прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну поданій». Ця аксіома йшла до нас 23 сторіччя!

Учитель. Хто уважно слухав, дайте відпо­віді на запитання.

• Хто створив перший підручник з геоме­трії?

• Як він називався?

• Яке твердження називають аксіомою?

• Яке твердження називають теоремою?

• Як формулюють дуже потрібну для подаль­шої роботи аксіому?

— Давайте разом прочитаємо аксіому Ев­кліда і вирушимо на наступну зупинку.

Зупинка «ДОВЕДЕНЬ»

Учитель. Ми «відкрили» теореми про вла­стивості кутів, утворених перетином паралель­них прямих із січною, а теореми — речення, які потребують доведення. Зараз з вашою до­помогою ми доведемо одну з теорем. Перед складною роботою потрібно «нагострити» зір і увагу.

«Маленька зупинка — фізкультхвилинка»

Учні виконують вправи для очей, вправи на розвиток уваги.

Учитель. Ви готові до роботи? Почнемо доведення.

Т еорема. Якщо прямі паралельні, то в ре­зультаті перетину їх січною вони утворюють рівні внутрішні різносторонні кути.

Доведення

Припустимо, що

CAB ACD.

Проведемо АО так, щоб

CAО = ACD.

За ознакою паралельності прямих AO || CD, але за умовою АВ || CD.

Отже, маємо: через точку А проходять дві прямі, паралельні прямій CD, що суперечить аксіомі Евкліда.

Отже, припущення неправильне, тому

CAB = ACD,

що й потрібно було Довести.

Учитель. Оскільки теорему доводили спо­собом від супротивного, а ви з таким способом зустрічаєтеся лише вдруге, я повторю схему до­ведення.

Вдома в § 7 підручника ви ще раз прочи­таєте доведення теореми і виконаєте вправу № 200.

Щоб вам було легше виконати це завдання, у робочій папці запропонована схема доведен­ня від супротивного. Перший ряд доводить, що відповідні кути рівні, а другий — що сума вну­трішніх односторонніх дорівнює 180°. Я впев­нена, що ви впораєтеся з цим завданням.

Спільними зусиллями ми довели теорему і тепер маємо уявлення про метод доведення від супротивного.

Ми багато працювали, втомилися, і нам необхідно відновити сили... Тож на нас чекає «Спортивна» зупинка.

Зупинка «СПОРТИВНА»

Учні виконують вправи на механічну увагу.

Учитель. Відпочили? Готові до роботи?

V. ЗАКРІПЛЕННЯ ЗНАНЬ

1 . Поєднайте рисунки за змістом.

2. Дано: а||b, с — січна, l = 30^o (рис). Знайдіть решту кутів.

Знайдіть:

1. 8 + 3;

2. 4 - 5;

3. 2 : 1;

4. 7 - 2.

3. Дано: а || b, с — січна (рис). Знайдіть 1+ 2+ 5.

Задачі 3 і 4 учні розв'язують по групах.

4.

Розглянемо розв'язання задач, за пропоно­вані для роботи в групах.

Щоб відпочити від задач, пограємо в гру «Вірю — не вірю» і перевіримо, чи добре ви засвоїли властивості кутів.

«Вірю — не вірю»

1. Паралельні прямі на площині — це прямі, що не перетинаються.

2. Для доведення того, що дві прямі паралель­ні, використовують властивості кутів, утво­рених січною з паралельними прямими.

3. Через точку, яка не належить прямій, можна провести безліч паралельних їй пря­мих.

4. Якщо в результаті перетину паралельних прямих січною утворилися два кути по 80°, то ці кути можуть бути:

• відповідними;

• внутрішніми односторонніми;

• внутрішніми різносторонніми.

5. Для доведення того, що дві прямі паралель­ні, використовують ознаки паралельності прямих.

6. Якщо один із відповідних кутів гострий, то другий — тупий.

7. Якщо один із внутрішніх односторонніх кутів гострий, то другий — тупий.

8. Якщо сума внутрішніх різносторонніх ку­тів дорівнює 140°, то один із них становить 70°.

9. Якщо один із внутрішніх односторонніх ку­тів удвічі більший за другий, то їх градусна міра дорівнює 30° і 60°.

10. Якщо один із внутрішніх кутів прямий, то решта теж прямі.

Учитель. Молодці, ви добре впоралися із завданням, можна підбити підсумок уроку.

VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Зупинка «ПІДСУМКОВА»

Опрацювати п. 7 (с. 55, 56), виконати впра­ви № 198, 200, 216*.

1. (№ 198). Міра одного з кутів, утворених двома паралельними прямими і січною, дорівнює 35°. Знайдіть міри решти кутів.

2. (№ 200). Доведіть, що якщо пряма пере­тинає дві паралельні прямі, то:

а) відповідні кути рівні;

б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

3 (№ 216*). На рисунку

l = 70° 2 = 50° і AB || CD.

Знайдіть міри кутів 3, 4, 5.

1. Якою була мета нашого уроку і чи досягли ми мети?

2. Хто й на якій зупинці хотів би побувати на наступних уроках?

3. Порадьтеся, хто в парі краще працював, на яку оцінку заслуговує, чому.

— Я теж вважаю, що мети ми досягли, засвоїли властивості кутів, утворених у резуль­таті перетину паралельних прямих січною, зу­пинившись на всіх зупинках-хмаринках, і ба­чимо, що з'явилася нова зупинка, на яку ми вирушимо наступного уроку.