Вивід формули Ньютона для нерівних проміжків

Опис документу:
У цьому документі йде мова про формулу Ньютона для нерівних проміжків та її вивід.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Вивід формули Ньютона для нерівних проміжків

Перейдемо тепер до виведення формули Ньютона. Нехай х0, x1,..., хn-вузли інтерполяції й Lk(x) — інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції по вузлах х0, х1, , xk. Тоді

Ln(х)=L0(х) + [L1 (х) – L0 (х)] +L2(x) L1(x)] + ...+ [Ln (х) – Ln-1 (х)] (5)

Розглянемо окрему різницю, що міститься в правій частині,

Lk(x)-Lk-1(x). Це буде багаточлен ступеня к. Він перетворюється в нуль у точках х0, х1, ...,xk-1. Тому Lk(x)-Lk-1(x) = A(x-x0)- х1) ... - хк-1),— постійна). Для визначення величини А покладемо х = xk. При цьому одержимо

F(xk)-Lk-1(xk)=A (xk-x0)k - х1) ... k - хк-1)

Отже,

Звідси

(6)

Ця форма запису інтерполяційного багаточлена Лагранжа й зветься інтерполяційного багаточлена Ньютона для нерівних проміжків. Вона більше зручна для обчислень, ніж формула Лагранжа. Додавання одного або декількох вузлів не приводить до повторення всієї проробленої роботи заново, як це було при обчисленнях по формулі Лагранжа.

За допомогою інтерполяційної формули Ньютона можна одержати подання розділених різниць у вигляді відношення визначників. Коефіцієнти при φi(x) у функції, що інтерполює, рівні де отримують із шляхом заміни і-го стовпця стовпцем f (хі). Зокрема, при φi = xi і вузлах інтерполяції х0, х1 ,..., хп коефіцієнт при хп буде дорівнювати

Коефіцієнт же при хп в інтерполяційній формулі Ньютона для нерівних проміжків дорівнює f(x0, x1 ..., хп). Таким чином,

=

Із цього виразу неважко одержати всі ті властивості розділених різниць, про які говорилося раніше.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
7
дн.
1
1
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!