і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Предмети »

Відокремлення коренів аналітичним і графічним методами

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Відокремлення коренів аналітичним і графічним методами

Графічний метод. Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції у = f(x) і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння (1) записують у вигляді (х) = g(x) і будують гра­фіки функцій = (х) і = g(x), потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Приклад 1. Відокремити корені рівняння .

Розв’язання. Будуємо графіки функцій і .

З графіка видно, що дане рівняння має три корені, причому , , . Оскільки для будь-яких х, а (х) > 2 для і (х) < -2 для х < 0, то інших коренів дане рівняння не має.

Аналітичний метод. Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу. Сформулюємо їх.

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на <а;b> і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто f(a) f(b) < 0, то всередині відрізка <а;b> існує хоча б один корінь рівняння f(x)=0.

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість коренів рівняння (1), які належать <а;b>. При виконанні умов теореми

рівняння може мати й кілька ко­ренів. На малюнку зображено графік функції у = f(x), яка за­довольняє усі вимоги теореми 1 і має на <а;b> чотири нулі. У досить малому околі точки теорему існування кореня застосувати не можна, бо при пере­ході зліва направо через точку знак функції f(x) не змінюється. Точка — кратний корінь рівняння (1) і його не можна відокремити, користуючись теоремою 1. Тому далі вважатимемо, що f '(x) ≠ 0 для всіх х <а;b>.

Теорема 2 (теорема існування і єдиності кореня). Якщо функція f(x), неперервна і диференційована на <а;b>, набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна f '(x) зберігає сталий знак всередині відрізка <а;b>, то рівняння f(x) = 0 на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 1 і 2 алгоритм відокремлення коренів рівняння (1) можна сформулювати так:

  1. Знайти область визначення рівняння.

  1. Знайти критичні точки функції f(x).

  1. Записати інтервали монотонності функції f(x).

  2. Визначити знак функції f(x) на кінцях інтервалів монотонності.

  3. Визначити відрізки, на кінцях яких функція f(x) набуває значень протилежних знаків.

6.Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.
Приклад 2. Відокремити корені рівняння

f(x) =.

Розвязання.

1. Область визначення X = (-∞; +∞);

2. f '(x)= .Звідси маємо критичні точки .

3. Запишемо інтервали монотонності

;

4. Визначимо знаки функції f(x) на кінцях інтервалів монотонності

  1. Відрізком ізоляції кореня є проміжок .

  1. Методом проб звузимо знайдений проміжок ізоляції кореня до одиничної довжини. Оскільки значення близьке до одиниці, то об­числимо f(1) = -6 < 0; f(2) = -1< 0, f(3) = 16 > 0. Отже, корінь даного рівняння належить відрізку [2;3].

Нехай на <а;b> функція f(x) рівняння (1) задовольняє умови теореми 1 тоді, застосовуючи ЕОМ, можна відокремити всі корені рівняння (1) (крім кратних) методом послідовного перебору коренів. Для цього беруть початкове значення х = а, фіксований крок х = h і обчислюють значення функції f(x) у точках = а + ih = 0,1,2,...). На кінцях кожного з відрізків [a + ih, а + (і+ 1)h] (і = 0,1,2,...) визначають знак функції f(x). Якщо знаки однакові, тобто f(a + ih) f(a + (і + 1)h) > 0, то на відрізку [а + ih; а + (і + 1)h] рівняння (1) не має кореня; якщо знаки функції протилежні, то на даному відрізку є корінь рівняння, значення якого є наближеним значенням кореня з точністю . Оскільки . Після цього переходять до наступного відрізка. Такий процес продовжують доти, поки правий кінець розглядуваного відрізка не досягне точки b.

Завдання: 1). Відокремити коріння аналітично.

2). Відокремити коріння аналітично і уточнити один з них методом проб з точністю до 0,01.

3). Відокремити коріння графічно.

4). Відокремити коріння графічно і уточнити один з них методом проб точністю до 0,01.

31 1) e-2x-2х+1=0,

2) х4+4х3-8х2-17=0;

3) 0,5х-1=(х+2)2,

4) x2cos2x=-1;

32 1) 5х-6х-3=0,

2) х43-2x2+3x-3=0;

3) x2-0,5х-3=0;

4) хlg(х+1)=1;

33 1) 3х+2х-5=0,

2) х4-4х3-8x2+1=0;

3) х2-3+0,5х=0,

4) (х-1)2lg(х+11)=1;

34 1) 2ex+3х+1=0,

2) 3х4+4х3-12x2-5=0;

3) хlog3(х+1)=2;

co 4) соs(x+0,3)= x2;

35 1) 3х+2х-2=0,

2) 2х4-8х3+8х2-1=0;

3) [(х-2)2-1] 2х =1

4)(х-2)cosx=1, -2x≤2;

36 1) 2arcctgx-3x+2=0,

2) 4+3+8х2-1=0;

3) log2(x+2)](x-1)=1,

4)sin(x-0,5)-x+0,8=0.

Зразок виконання завдання

Позначимо f(x) =. Знайдемо похідну . Знайдемо корінь похідної:

Складемо таблицю знаків функції f(x), вважаючи х рівним: а) критичним значенням функції (кореням похідної) або близьким до них;

б) граничним значенням (виходячи з області допустимих значень невідомого):

x

1

+

+

Оскільки відбуваються дві зміни знаку функції, то рівняння має два дійсні корені. Щоб завершити операцію відокремлення кореня, слід зменшити проміжки, що містять корені, так щоб їх довжина була не більше 1. Для цього складемо нову таблицю знаків функції f(x):

x

0

+

+

Звідси видно, що корені знаходиться на наступних відрізках:

2. Вважаючи що маємо .

Знайдемо корені похідної:

Складемо таблицю знаків функції f(x):

x

+

+

З таблиці видно, що рівняння має два дійсні корені:

Зменшимо проміжки, в яких знаходяться корені:

x

+

+

Отже, .

Уточнимо один з коренів, наприклад методом спроб до сотих. Всі обрахунки зручно проводити використовуючи наступну таблицю:

Відповідь: .

3. Перепишемо рівняння у вигляді . Позначимо , побудуємо графіки цих функцій (рис.1).

З графіка видно, що рівняння має два корені: , .

4. Запишемо рівняння у вигляді: . Позначимо , , побудуємо графік цих функцій (рис.2). З графіка бачимо, що рівняння має один корінь .

Для уточнення цього кореня методом спроб виберемо проміжок, на кінцях якого функція має різні знаки. Складемо таблицю:

x

+

Для зручності обрахунків перейдемо до десяткових логарифмів:

Мал. 2

Мал. 1

Подальші розрахунки проведемо в таблиці:

Відповідь: .

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
у цьому документі йде відокремлення коренів аналітичним і графічним методами.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    99
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    VN835716
  • Вподобань
    0
Курс:«Основи фінансової грамотності»
Часнікова Олена Володимирівна
72 години
2700 грн
790 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь