• Всеосвіта
  • Бібліотека
  • Алгебра
  • Урок узагальнення і систематизації знань по темі "Застосування похідної для дослідження функцій і побудови графіків"

Урок узагальнення і систематизації знань по темі "Застосування похідної для дослідження функцій і побудови графіків"

Опис документу:
Матеріал містить основні теретичні відомості та алгоритми дослідження властивостей функцій з прикладами розв`язування та завданнями для самостійної роботи. Презентація може бути використана і у класах з поглибленим вивченням математики.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код
Опис презентації окремими слайдами:
Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків Урок узагальнення і систематизації знань по темі Каракаш Ірина Миколаївна, вчитель м...
Слайд № 1

Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків Урок узагальнення і систематизації знань по темі Каракаш Ірина Миколаївна, вчитель математики Черкаського колегіуму “Берегиня”

Застосування похідної до знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції Частина 1
Слайд № 2

Застосування похідної до знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції Частина 1

Дослідити функцію на монотонність можна, користуючись: а) означенням: (при x1-x2<0 досліджуємо знак різниці f(x1)-f(x2)); б) графіком; в) похідною!
Слайд № 3

Дослідити функцію на монотонність можна, користуючись: а) означенням: (при x1-x2<0 досліджуємо знак різниці f(x1)-f(x2)); б) графіком; в) похідною!

Як за допомогою похідної дослідити функцію на монотонність? Теореми 1 і 2 виражають достатні умови зростання (спадання) функції. Теорема 2 Якщо у в...
Слайд № 4

Як за допомогою похідної дослідити функцію на монотонність? Теореми 1 і 2 виражають достатні умови зростання (спадання) функції. Теорема 2 Якщо у всіх точках відкритого проміжку Х виконується нерівність f′(x)<0 (причому можливо f′(x)=0 в окремих точках проміжку), то функція y=f(x) спадає на проміжку Х. Теорема 1 Якщо у всіх точках відкритого проміжку Х виконується нерівність f′(x)>0 (причому можливо f′(x)=0 в окремих точках проміжку), то функція y=f(x) зростає на проміжку Х.

За графіком похідної функції y=f(x) визначте, на яких проміжках функція y=f(x) зростає, а на яких спадає. Завдання
Слайд № 5

За графіком похідної функції y=f(x) визначте, на яких проміжках функція y=f(x) зростає, а на яких спадає. Завдання

Визначте за графіками похідних , для якої з функцій y=f(x), y=g(x), y=h(x) відрізок [-1;1] є проміжком зростання. Завдання х y х y х y 0 y=f′(x) 1 ...
Слайд № 6

Визначте за графіками похідних , для якої з функцій y=f(x), y=g(x), y=h(x) відрізок [-1;1] є проміжком зростання. Завдання х y х y х y 0 y=f′(x) 1 -1 0 y=h′(x) 1 -1 0 y=g′(x) 1 -1

Точки максимуму уmax уmax уmax Точку х0 з області визначення функції f(x) називають точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться 𝛿-окіл (х0-𝛿;х0+...
Слайд № 7

Точки максимуму уmax уmax уmax Точку х0 з області визначення функції f(x) називають точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться 𝛿-окіл (х0-𝛿;х0+𝛿) точки х0, такий, що для всіх х≠х0 з цього околу виконується нерівність f(x)

Точки мінімуму уmin уmin уmin Точку х0 з області визначення функції f(x) називають точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться 𝛿-окіл (х0-𝛿;х0+𝛿)...
Слайд № 8

Точки мінімуму уmin уmin уmin Точку х0 з області визначення функції f(x) називають точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться 𝛿-окіл (х0-𝛿;х0+𝛿) точки х0, такий, що для всіх х≠х0 з цього околу виконується нерівність f(x)>f(x0). xmin = x0 - точка мінімуму х у х у х у 𝛿 𝛿 х0 𝛿 𝛿 х0 𝛿 𝛿 х0

Екстремуми (максимуми і мінімуми ) функції Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках називають екстр...
Слайд № 9

Екстремуми (максимуми і мінімуми ) функції Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках називають екстремумами (максимумом і мінімумом) функції. ymax = f(xmax) - максимум ymin = f(xmin) - мінімум

Необхідна умова екстремуму У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує. x0 – точка екстремуму функції f(x) f ′ (x0)= 0 або ...
Слайд № 10

Необхідна умова екстремуму У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує. x0 – точка екстремуму функції f(x) f ′ (x0)= 0 або f ′ (x0) не існує Чи справедливе обернене твердження?

Пригадайте! Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками, а точки, в яких похідна дорівнює нулю, називают...
Слайд № 11

Пригадайте! Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками, а точки, в яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними точками. Критичні точки Стаціонарні f′(x)=0 f′(x) не існує f'(x0)=0 f'(x0) не існує на графіку в точці x0 дотична паралельна осі Ох на графіку в точці x0 - злам (дотична не існує) або дотична перпендикулярна до осі Ох

Знаходження точок екстремуму Критичні точки Стаціонарні точки Точки екстремуму
Слайд № 12

Знаходження точок екстремуму Критичні точки Стаціонарні точки Точки екстремуму

Достатні умови екстремуму Для того, щоб знайти точки екстремуму серед критичних потрібно скористатись достатніми умовами екстремуму: Якщо функція f...
Слайд № 13

Достатні умови екстремуму Для того, щоб знайти точки екстремуму серед критичних потрібно скористатись достатніми умовами екстремуму: Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і похідна f'(x) змінює знак при переході через точку х0, то х0 - точка екстремуму функції. У точці x0 знак f'(x) змінюється з «+» на «-» x0 - точка максимуму У точці x0 знак f'(x) змінюється з «-» на «+» x0 - точка мінімуму

Завдання Які з точок х1, х2, х3, х4 є: 1) критичними; 2) стаціонарними; 3) точками екстремуму; 4) точками, в яких похідна не існує; 5) точками макс...
Слайд № 14

Завдання Які з точок х1, х2, х3, х4 є: 1) критичними; 2) стаціонарними; 3) точками екстремуму; 4) точками, в яких похідна не існує; 5) точками максимуму; 6) точками мінімуму? у

6.Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми ) D(f)=R а) Функція існує на всій області визначення. б) f´(х)=0 15х2(х-1)(х+1...
Слайд № 15

6.Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми ) D(f)=R а) Функція існує на всій області визначення. б) f´(х)=0 15х2(х-1)(х+1)=0 при х=0, x=1, х=-1. 1. Знайти обл. визначення D(f). 3. Знайти критичні точки: f´(х)=0 або не існує. 4.Позначити критичні точки на області визначення функції, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення. 5. Дослідити критичні точки на екстремуми. Алгоритм дослідження функції у=f(х) на монотонність і екстремуми Послідовність дій Приклад 1 f(х)=3х5 -5х3+1 2. Знайти похідну f´(х). f´(х)=15х4-15х2=15х2(х2-1)= =15х2(х-1)(х+1) f(х) зростає при х ∈ (-∞;-1], [ 1;+∞); f(х)спадає при х ∈ [-1;1]. Точки екстремуму:xmax=-1; xmin=1. Екстремуми: уmax=f(-1)=3; ymin=f(1)=-1

Завдання Визначте проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції: 1) f(x) = x4 – 2x2; 2) f(x) = x + ; 3) f(x) = - .
Слайд № 16

Завдання Визначте проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції: 1) f(x) = x4 – 2x2; 2) f(x) = x + ; 3) f(x) = - .

Пригадаємо, як будувати графік функції, попередньо визначивши її властивості за допомогою похідної.
Слайд № 17

Пригадаємо, як будувати графік функції, попередньо визначивши її властивості за допомогою похідної.

Частина 2 Побудова графіка функції за допомогою похідної
Слайд № 18

Частина 2 Побудова графіка функції за допомогою похідної

Схема дослідження функції Приклад: 1. D(f) 2. Парність/непарність f(-x) = f(x) – парна f(-x) = -f(x) – непарна 2. f(-x) = -x +4/x2 ≠ f(x) f(-x) ≠ -...
Слайд № 19

Схема дослідження функції Приклад: 1. D(f) 2. Парність/непарність f(-x) = f(x) – парна f(-x) = -f(x) – непарна 2. f(-x) = -x +4/x2 ≠ f(x) f(-x) ≠ -f(x) функція ні парна, ні непарна 3. Перетин з осями: а) з 0х (у=0) б) з 0у (х=0) 4. Похідна і критичні точки f´(х)=0 або f´(х) не існує 4. f´(х)=(x+4/x2)´=1-8/x3 f´(х)=0; 1-8/x3=0; x3=8; x=2 f´(х) існує на всій D(f) 5. Проміжки монотонності та екстремуми 5. f´(х) f(х) х 0 2 min f(2)=ymin=3 + + - 6. Додаткові точки (якщо необхідно) 1. D(f)=(-∞;0) (0;+∞) – симет. відносно нуля ∩ f(x) = x +

Побудуйте графік функції f(x) = x3 - 3x2
Слайд № 20

Побудуйте графік функції f(x) = x3 - 3x2

f(x) = x3 - 3x2 х у 0 1 1. D(f) = R 2. функція ні парна, ні непарна 3.Перетин з осями: (0;0), (3;0) 4. Зростання/спадання функції f´(х) f(х) х 0 mi...
Слайд № 21

f(x) = x3 - 3x2 х у 0 1 1. D(f) = R 2. функція ні парна, ні непарна 3.Перетин з осями: (0;0), (3;0) 4. Зростання/спадання функції f´(х) f(х) х 0 min + + - 2 ymin=f(2)= -4 -1 2 2 5. Додаткові точки -2 max ymах=f(0)=0 3 -4 х -1 -0,5 1 2½ 3¼ у -4 ≈ - 0,6 - 2 ≈ -3,1 ≈2,6

f(x) = x4 - 2x2 1. Побудуйте графік функції 2*. Скільки коренів має рівняння x4 - 2x2 = а залежно від значення параметра а?
Слайд № 22

f(x) = x4 - 2x2 1. Побудуйте графік функції 2*. Скільки коренів має рівняння x4 - 2x2 = а залежно від значення параметра а?

1. f(x) = x4 - 2x2 х у 0 1 1. D(f) = R 2. функція парна 3.Перетин з осями: (0;0), (± ;0) 4. Зростання/спадання функції f´(х) f(х) х -1 min + + - 0 ...
Слайд № 23

1. f(x) = x4 - 2x2 х у 0 1 1. D(f) = R 2. функція парна 3.Перетин з осями: (0;0), (± ;0) 4. Зростання/спадання функції f´(х) f(х) х -1 min + + - 0 ymin=f(1)=f(-1)=-1 -2 1 2 5. Додаткові точки -1 1 - max ymax=f(0)=0 ! Оскільки f(x) – парна, то достатньо побудувати графік для х≥0 і виконати симетрію відносно осі у. -1 min х 1½ у ¾

2. Розв’яжемо рівняння x4 - 2x2 = a залежно від значення параметра а. х у 0 1 -2 1 2 -1 -1 y = x4 - 2x2 y = a Відповідь: при а < -1 рівняння не має...
Слайд № 24

2. Розв’яжемо рівняння x4 - 2x2 = a залежно від значення параметра а. х у 0 1 -2 1 2 -1 -1 y = x4 - 2x2 y = a Відповідь: при а < -1 рівняння не має коренів; Побудуємо графік лівої і правої частин рівняння: Кількість коренів рівняння – це кількість точок перетину прямої у=а з графіком функції у = х4 - 2х2. а<-1 a=-1 -1<а<0 a>0 при а=-1, a > 0 рівняння має два корені; при -1 < а < 0 рівняння має чотири корені; при а=0 рівняння має три корені. a=0

Найбільше й найменше значення функції, неперервної на відрізку Частина 3
Слайд № 25

Найбільше й найменше значення функції, неперервної на відрізку Частина 3

Пригадайте! В яких точках неперервна функція може набувати найбільшого і найменшого значення на відрізку [a;b]? f(c) f(b) f(c)
Слайд № 26

Пригадайте! В яких точках неперервна функція може набувати найбільшого і найменшого значення на відрізку [a;b]? f(c) f(b) f(c)

5.Порівняти одержані значення і вибрати з них найменше і найбільше. f´(х)=3х2+6х-24 f´(х) існує на всій області визначення. f´(х)=0; 3х2+6х-24=0 пр...
Слайд № 27

5.Порівняти одержані значення і вибрати з них найменше і найбільше. f´(х)=3х2+6х-24 f´(х) існує на всій області визначення. f´(х)=0; 3х2+6х-24=0 при х=-4, х=2. Заданому відрізку [1;3] належить лише критична точка х=2. f(1)=1+3-24+2=-18; f(2)=8+12-48+2=-26; f(3)=27+27-72+2=-16 max f(х)=f(3)= -16, min f(х)=f(2)=-26. [1;3] [1;3] 1. Знайти похідну f´(х). 2.Знайти критичні точки: f´(х)=0 або не існує. 3.Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку. 4. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку . Алгоритм знаходження найбільшого й найменшого значень функції, неперервної на відрізку Приклад 1 Знайти найбільше й найменше значення функції : f(х)=х3 +3х2-24х+2 при х є [1;3]

Знайти найбільше й найменше значення функції на заданому відрізку. Завдання
Слайд № 28

Знайти найбільше й найменше значення функції на заданому відрізку. Завдання

Перевір себе!
Слайд № 29

Перевір себе!

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції на інтервалі ”
Слайд № 30

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції на інтервалі ”

Для розв’язування текстових задач на знаходження найбільших або найменших значень величин використовують наступні теореми: Теорема 1 х у 0 х0 y=f(x)
Слайд № 31

Для розв’язування текстових задач на знаходження найбільших або найменших значень величин використовують наступні теореми: Теорема 1 х у 0 х0 y=f(x)

Теорема 2
Слайд № 32

Теорема 2

Контрольні питання Продовжити твердження: 1) Стаціонарні точки – це точки… 2) Якщо в точці х0 на графіку є злам, то похідна в цій точці… 3) Будь-як...
Слайд № 33

Контрольні питання Продовжити твердження: 1) Стаціонарні точки – це точки… 2) Якщо в точці х0 на графіку є злам, то похідна в цій точці… 3) Будь-яка стаціонарна точка є… 4) Точки екстремуму знаходяться серед… 5) У функції у= |x| точка екстремуму дорівнює… 6) У функції у= |x| - 3 екстремум дорівнює…

Контрольні питання (продовження) А. x max=1 Б. ymax =1 В. max f(x)=1 [-2;3] Г. y(1)=0 Функція набуває найбільшого значення, рівного одиниці. Функці...
Слайд № 34

Контрольні питання (продовження) А. x max=1 Б. ymax =1 В. max f(x)=1 [-2;3] Г. y(1)=0 Функція набуває найбільшого значення, рівного одиниці. Функція має екстремум, рівний одиниці. Функція має точку екстремуму, рівну одиниці. Чи є правильним твердження? Якщо точка є точкою максимуму, то в ній функція набуває найбільшого значення. Встановіть відповідність між словесним твердженням (1-3) і символічним записом (А-Г): Якщо точка критична, то в ній функція набуває найбільшого або найменшого значення. Якщо в точці похідна не існує, то в цій точці функція може набувати найбільшого або найменшого значення.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»