Урок-семінар "Застосування геометричної прогресії у діяльності людини"

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

1. Закінчити речення (усно):

• Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, …

• n-й член геометричної прогресії дорівнює добутку його першого члена на …

• будь-який член геометричної прогресії з додатними членами, починаючи з другого, дорівнює…

2. Назвати два наступні члени прогресії

3. Як можна записати сьомий член геометричної прогресії через її третій член ?

4. У геометричній прогресії Чому дорівнює ?

5. Виконати дії:

ІІ. Розв’язування прикладних задач.

Геометрична прогресія застосовується для стандартизації металорізального інструменту, в техніці математичного опису процесу радіоактивного розпаду. В банківській справі під час нарахування відсотків на вклад та надання кредитів. Навіть зростання площі місячного диска у перші 5 днів відбувається за законом геометричної прогресії.

Послухаємо повідомлення, що ви приготували до уроку.

Із виступів знавців історії

Задача 1. Індійський принц Сідам (VІ ст. ) запропонував винахіднику шахів таку винагороду, яку тільки він захоче. Винахідник попросив, щоб за першу клітинку шахової дошки йому дали одну пшеничну зернину, за другу ─ дві, за третю ─ чотири і т. д. за кожну наступну клітинку у два рази більше, ніж за попередню. Чи можна було виконати таке прохання?

Розв’язання

Таку нагороду не можна було видати, оскільки кількість зернин становить:

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9мм.

Із виступів знавців токарної справи

Якщо зайдемо в токарний цех шкільної майстерні та подивимося на токарний верстат, то на ньому побачимо прикріплену табличку, де позначено швидкість обертання шпинделя для різних положень ручки. На перший погляд, числа здаються випадковими. Серед них є парні (20 і 40), непарні (25 і 63) і навіть дробові (31,5). Виконавши ділення кожного наступного числа таблички на попереднє, дістанемо одне і те саме число 1,26. Виявляється, шпиндель обертається не з випадковими швидкостями, а цілком закономірно. Цей ряд чисел (швидкостей) – геометрична прогресія.

Задача 2. Кутова швидкість шпинделя коливається між 9 і 288 обертами за хвилину. Обчислити решту можливих кутових швидкостей обертання шпинделя, коли відомо, що можна одержати ще 4 кутові швидкості.

Розв’язання

Між числами 9 і 288 треба розмістити ще 4 члени геометричної прогресії. Тоді матимемо:

Отже, можливі швидкості: 18 об/хв, 36 об/хв, 72 об/хв, 144 об/хв.

Учитель. Академік Гадолін у 1876 р. на підставі точних математичних розрахунків довів, що верстати слід будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють геометричну прогресію.

Із виступу майбутніх конструкторів

Коли конструктори-верстатобудівники ще не знали вищезгаданої властивості, то, вибираючи проміжні ступені швидкості шпинделя, вони часто були безпорадними. Був час, коли кожний конструктор на свій розсуд визначав розміри деталей, вузлів створюваних ним машин. Такий різнобій дорого обходився виробникам і споживачам. Адже майже для кожної машини потрібно виготовляти інструменти, що за своїми параметрами не підходять до інших машин. Це саме стосується деталей, запасних частин тощо. На основі математичних досліджень і розрахунків встановлено, що послідовності відповідних числових значень таких величин, як довжина, площа, допуски, зусилля тощо, є членами геометричної прогресії. У техніці такі геометричні прогресії називають нормальними рядами. Розглядають переважно чотири такі ряди, у яких перший член дорівнює 1, а знаменники відповідно

Ці ряди занесено до спеціальної таблиці ГОСТ – 56.

За законом геометричної прогресії побудовано розмірність металорізальних верстатів і металорізальних інструментів, встановлено нормальні діаметри та довжини в машинобудуванні. Єдиний метод вибору градації параметрів і розмірів окремих числових характеристик продукції встановлено і для інших галузей промисловості. Так, за законами нормальних рядів встановлюється ширина тканин, що дає можливість покращити раціональність їх використання та визначати прогресивні параметри і габаритні розміри текстильного обладнання.

Тому геометрична прогресія становить математичну основу стандартизації різноманітної промислової продукції.

Із виступів знавців економіки

Задача 3. проектуючи водопостачання міста, необхідно розрахувати приблизну витрату води. Нехай добова витрата води на одного жителя становить а літрів, М – кількість жителів міста, а річний приріст населення становить p%. Скільки води потрібно буде місту через k років?

Розв’язання

Через рік витрати води становитимуть

Через k років місту потрібно буде води

Із виступів майбутніх біологів

Розглянемо задачу, пов’язану з використанням геометричної прогресії у біології.

Задача 4. Деякі бактерії, вміщені в живильне середовище, діляться навпіл кожні півгодини. Скільки бактерій у цьому випадку утвориться з однієї бактерії через 10 год.?

Розв’язання

Описану в задачі ситуацію зафіксуємо за допомогою таблиці.

Отже, матимемо:

ІІІ. Підсумок уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми вислухали виступи наших учнів, і дізналися про багатофункціональність геометричної прогресії.

Підготовка учнів, що виступали, відповідно оцінюється