Хід уроку
Організаційний етап.
Тема сьогоднішнього уроку “Математичне моделювання” і для проведення незвичного сьогоднішнього заняття, ми почнемо з гри “Об’єднайтеся в команду”.
Кожен із вас обирає пелюстку певного кольору (учні вибирають). Формуємо за однаковим кольором 4 команди (учні сідають по місцях команди).
А щоб ви стали командою: розподіліть обов’язки:
спікер – керівник команди;
секретар – оформляє папери;
доповідач – математик;
журналіст - еколог.
На відповідній пелюстці запишіть прізвище та оформіть бейджики.
Отже, команди готові.
Актуалізація знань учнів.
З’ясуємо на скільки команди орієнтуються в питаннях математичного моделювання.
На другій пелюстці у вас є питання на яке відповідають журналісти.
Які задачі ми називаємо прикладними?
Для розв’язання прикладних задач створюють математичну модель. Що ми називаємо моделлю? Наведіть приклади моделей.
Які етапи здійснюють при розв’язанні прикладних задач?
Коли ви використовуєте математичні моделі крім уроків математики?
Розв’язування задач.
Задачі, які ми сьогодні розв’язуємо стосуються Інгулецького гірничо-збагачувального комбінату.
Ми живемо в мікрорайоні комбінату і багато ваших батьків працюють на цьому підприємстві. Їх робота пов’язана з економією, раціональністю виконання завдань. Під впливом діяльності людини відбуваються зміни в природі. І сьогодні господарська діяльність неможлива без урахування екологічних вимог. Проблеми виробництва не вирішуються без математики. Пропоную вам не просто знайти розв’язання задач, а й замислитись над екологічними проблемами, які пов’язані із цією задачею.
Щоб нам легше було зрозуміти задачі, подивіться на кар’єр ІнГЗК (мультимедійний проектор). Зверніть увагу на форму кар’єру, на темні ділянки – мокра руда, внаслідок стікання підземних вод. На дні кар’єру працюють насоси, які відкачують воду по трубах, за допомогою екскаваторів руда навантажується і вивозиться “ Біланами ” на дробарку фабрику. Після цього руду збагачують і відправляють замовникам.
Пропоную вам виступити в ролі батьків. Ознайомтесь із задачами і розв’яжіть їх.
Задача 1. (Команді 1).
Маркшейдерському відділу треба визначити площу поверхні розробки залізних руд в кар’єрі ІнГЗК. Розміри кар’єру: глибина 375 м, ширина верху 2 км, ширина дна 250 м, кут нахилу бортів 600.
Розв’язання
Визначимо форму кар’єру – наближено, це зрізаний конус. Це і буде математична модель нашої задачі.
Знайдемо Sб – бічну поверхню конуса, яка і визначить нам площу поверхні розробки залізних руд.
Бічну поверхню визначимо за формулою
Sб = πL (R + r), де L – це твірна конуса; R, r – радіуси основ.
Розглянемо осьовий переріз конуса трапецію АBCD. Будемо вважати її рівнобічною. L = AB; R = EA; r = FB.
За умовою АD = 2000 м, FE = 375 м, BC = 250 м, ∠А = 60°.
Проведемо BК 
АD.
Із Δ АКB (∠ К = 90°) визначимо
АB = BК/ sin ∠А, АB ≈ 433 (м), L = 433 м.
R = ½ AD = 1000 м, r = ½ BC = 125 м.
Тоді Sб = 3,14 ∙ 433 ∙(1000 + 125) = 1529572,5( м2)≈ 153(га) .
Висновок. В дійсності форма кар’єру визначається як зрізаний конус, але не зовсім круговий і розрахунки, які проводять маркшейдери, більш складні і виконуються за спеціальними формулами. Порівняйте розміри бічної поверхні 153га з площею території нашої школи 1,2 га. Тепер ви уявляєте собі масштаб кар’єру.
Повідомлення еколога: під час добування руди кар’єрним способом порушується рельєф, ґрунти, рослинність, тваринний світ. Велику шкоду несуть вибухи, які забруднюють атмосферу, погіршуючи довкілля.
Задача 2. (команді 2).
Службі гідротехнічних споруд потрібно розібратись із роботою насосів, які відкачують воду з дна кар’єру.
Перший насос відкачує воду на 6 годин швидше, ніж другий. Обидва насоси відкачують воду за 4 години. За скільки годин відкачає воду перший насос?
Розв’язання
Приймемо роботу за 1.
Нехай І насос відкачує воду за х годин. Тоді ІІ насос відкачує воду за х+6 годин. За 1 годину І насос відкачує 
частину води, ІІ насос – 
частину води. Працюючи разом вони відкачують за 4 години воду.
I насос –
частини води; ІІ насос – 
частини води. А це в сумі складає 1.
Розв’яжемо рівняння.
+ 
= 1 - це і є математична модель задачі – дробово - раціональне рівняння, розв’язуючи яке одержуємо
х1 = 6, х2 = - 4 (не задов.).
Отже, 1 насос відкачує воду за 6 годин.
Висновок. В залежності від кількості води, можна розрахувати як будуть працювати насоси, щоб використовувати їх раціонально.
Повідомлення еколога: земля, ґрунт – одне з найбільших багатств на планеті. Кар’єр порушує цілісність системи підземних вод, що приводить до зменшення їх запасів і якості. Воду яку відкачують потрібно очищати.
Задача 3. Для технологів (команді 3)
Одна рудозбагачувальна фабрика дає руду із вмістом заліза 64%, а друга – 54%. Скільки тон кожної руди треба взяти, щоб одержати 200т суміші із вмістом заліза 60%.
Розв’язання
Нехай 64% - вої руди взято х т, тоді 54% - вої руди взято ( 200-х) т.
64% - ва руда містить 0,64х т заліза, 54% - ва руда – 0,54(200 – х)т заліза,
60% - ва руда – 0,6 х 200 т заліза.
Розв’яжемо рівняння.
0,64х + 0,54(200-х) = 0,6 х 200 – це і є математична модель задачі.
х = 120.
Отже, 120т потрібно взяти 64% - Ної руди і 80т – 54% - ої руди.
Висновок. Можна добавити, що залізна руда із кар’єру ІнГЗК містить 22% ферромагнетиту, а збагачується вона до 64% заліза і таку руду постачають замовникам, наприклад металургійним комбінатам, які виплавляють сталь.
Повідомлення еколога: біля кар’єрів утворюються відвали з розкривних та вміщуючи порід, які містять токсичні елементи, які стоком води переносяться на сотні кілометрів.
Задача 4. Для майбутніх екологів (команді 4).
Розробити проект рекультивації земель, яка буде проведена на місці кар’єру після закінчення видобування залізної руди. Проект обґрунтувати математично. Ширина верху кар’єру – 2км.
Розв’язання
Після закінчення видобування залізної руди проводиться рекультивація земель. Кар’єр можна заповнити водою або ґрунтом.
Пропонуємо закрити кар’єр ґрунтом і посадити ліс. Зменшення площі лісів – одна із екологічних проблем. Ліси очищують повітря. 1га лісу за рік очищує 18млн м3 повітря, поглинає стільки вуглекислого газу, скільки його видихають 200 чоловік.
Оскільки ширина верху кар’єру 2км, то площу поновленої території визначимо за формулою площі круга.
S = πR2, де R = 1000м
Тоді S = 3,14 х 10002 = 314( га).
Якщо засадити лісом цю площу, то вона буде забезпечувати дихання 62800 чоловік. Це число ми одержали, розв’язавши пропорцію.
1 га – 200 чол.
314 га – х чол.
Порівняємо з населенням нашого Інгулецького мікрорайону 68 тис. чоловік - наше населення буде забезпечено чистим повітрям.
Висновок. 200 років тому, ліси вкривали більше половини площі України, сьогодні лише 14%. Тому зрозуміло, що такий проект рекультивації має певні переваги. Ліс росте дуже довго, то що можна зробити зараз?
Повідомлення еколога: відомо, що 1 т макулатури дає 750 г чистого паперу I ґатунку. На один зошит іде 30г паперу, тобто із 750г паперу буде виготовлено 25 зошитів. А збираючи макулатуру, ми зберігаємо 7м3 деревини за кожну тонну макулатури.
ІV. Підсумки уроку.
Природа – це чисте повітря, неозорі простори степів, гори, поля і луки, водойми, ліси. Природа не віддає людині свої багатства і потребує дбайливого ставлення. Тому на Інгулецькому комбінаті діє екологічна служба, в технікумі можна одержати спеціальність еколога. А одним із методів екологічних досліджень є математичне моделювання. Математичні моделі дають змогу прогнозувати можливі варіанти перебігу тих чи інших подій при запровадженні нових технологій природокористування. Обираючи свою майбутню професію, сподіваюсь, що ви завжди будете дбати про нашу країну, будете берегти багатства нашого спільного дому – Планети Земля.
Домашнє завдання. Знайти дані з проблем екології і скласти 2-3 задачі на основі цих даних.
