УРОК №38 Тема уроку. Розв'язування вправ на розкладання многочленів на множники способом групування.

УРОК №38

Тема уроку. Розв'язування вправ на розкладання многочленів на множники способом групування.

Мета уроку: формування вмінь та навичок учнів розкладати многочлени на множники способом групування.

Тип уроку: формування вмінь та навичок.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповісти на запитання, які виникли в учнів при його розв'язанні.

Розв'язання

• Вправа 560.

а) а(х + 3) + b(х + 3) + с(х + 3) = (х + 3)(а + b + с);

б) т(а – z) – n(a – z) + 2(а – z) = (a – z)(m – n + 2);

в) х(а² – 5) + у(а² – 5) + а² – 5 = х(а² – b) + y(a² – 5) + (а² – b) =

= (а² – 5)(х + у + 1);

г) тх – ту + п(х – у) + х – у = т(х – у) + п(х – у) + (х – у)

= (х – у)(т + п + 1).

• Вправа 562.

а) 2ах – bх + 10ау + 5bу = х(2а – b) + 5у(2а – b) =(2а – b)(х + 5у);

б) 10ax – 4ау + 5сх – 2су = 2а(5х – 2у) + с(5х – 2у) = (5х – 2у)(2а + с);

в) 3mp + mq – 3np – nq = m(3p + q) – n(3p + q) = (3р + q)(m – n);

г) ас + bс + а² + ab = c(a + b) + a(a + b) = (a + b)(c + a).

• Вправа 564.

а) Якщо x = 19, то x³ – 9x² + х – 9 = х²(х – 9) + (х – 9) = (х – 9)(х² + 1)

= (19 – 9) (19² + 1) = 10 · 362 = 3620.

б) Якщо т = 0,35, п = 0,25, то т² – тп – 2т + 2п = m(m – п) – 2(т – п)

= (m – n)(m – 2) = (0,35 – 0,25) (0,35 – 2) = 0,1 · (-1,65) = -0,165.

• Вправа 566.

а) х(х – 15) + 3(х – 15) = 0; (x – 15)(х + 3) = 0; х – 15 = 0 або х + 3 = 0;

х = 15 або х = -3. Відповідь. 15; -3.

б) у(у – 2) – 7(2 – у) = 0; y(y – 2) + 7(y – 2) = 0; (y – 2)(y + 7) = 0;

y – 2 = 0 або y + 7 = 0 ; у = 2 або у = -7. Відповідь. 2; -7.

в) х³ – 3х² + х – 3 = 0; х²(х – 3) + (x – 3) = 0; (х – 3)(х² + 1) = 0; х – 3 = 0 (оскільки х² + 1 > 0); х = 3. Відповідь. 3.

г) х³ + 4х² + 3х + 12 = 0; х²(х + 4) + 3(х + 4) = 0; (х + 4)(х² + 3) = 0; х + 4 = 0 (оскільки х² + 3 > 0), х = - 4 . Відповідь. - 4.

II. Формування вмінь розкладати многочлени на множники способом групування

Розв'язування вправ:

1) колективно - 569 (а, г), 571 (а, г), 572 (а, г), 574 (а, г), 577 (в), 578 (а, г);

2) самостійна робота навчального характеру:

варіант 1 — 569 (б), 571 (в), 572 (б), 574 (в), 575 (а), 577 (б), 578 (в);

варіант 2 — 569 (в), 571 (б), 572 (в), 574 (б), 575 (б), 577 (а), 578 (б).

Розв'язання і відповіді

• Вправа 569.

а) (а – b)(а – 4); б) (x + 1)(a + 3);

в) (с – 1)(а – b); г) (х + 3)(т – b).

• Вправа 571.

a) (a – b)(z² + z - 1); б) (a + b)(1 + x² – х);

в) x(x + 1)(x + b – c); г) х(а + b + с)(х – 1).

• Вправа 572.

а) (2а + 3х – 7)(т – с); б) (4x² – х + 5)(а – b);

в) (9х² + 2х – 1)(с³ + 1); г) (abc² – ac + b)(4 – x).

• Вправа 574.

а) (х + у + ху)(х² – у²); б) (х² + у)(1 – х – у²);

в) 0,1(3а + 4х)(3x – 4с); г) (3аху – 1)(х + 4ау).

• Вправа 575.

а) (3ах – 4)(5ат – 7). б) (a +10b – 20)(a – 0,1).

• Вправа 577.

а) 2¹⁰ · 3¹² + 2⁸ · 3¹² + 2¹⁰ · 3¹⁰ + 2⁸ · 3¹⁰ = 3¹² · (2¹⁰ + 2⁸) + 3¹⁰ · (2¹⁰ +2⁸) =

= (2¹⁰ + 2⁸)(3¹² + 3¹⁰) = 2⁷ · (2³ + 2) · 3¹⁰ · (3² + 1) = 2⁷ · 10 · 3¹⁰ · 10

= 2⁷ · 3¹⁰ · 100 = 2⁷ · 3⁹ · 300 — ділиться на 300.

б) 5¹⁰ · 3¹⁵ – 5⁸ · 3¹⁶ + 5¹¹ · 3¹² – 5⁹ · 3¹³ = 3¹² · 5⁸ · (5² · 3³ – 3⁴ + 5³ – 5 · 3) =

= 3¹² · 5⁸ · (675 – 81 + 125 – 15) = 3¹² · 5⁸ · 704 = 3¹² · 5⁸ · 64 · 11 — ділиться на 11.

в) 7¹⁰ · 2¹⁰ + 7⁹ · 2¹⁴ – 7⁸ · 2¹⁰ + 7⁷ · 2¹⁴ = 7⁷ · 2¹⁰ · (-7³ + 7² · 2⁴ – 7 + 2⁴) =

= 7⁷ · 2¹⁰ · (-343 + 784 – 7 + 16) = 7⁷ · 2¹⁰ · 450 = 7⁷ · 2¹⁰ · 10 · 45 — ділиться на 45.

• Вправа 578.

а) І спосіб

Оскільки x² + (a + b) x + ab = x² + ax + bx + ab = (x² + ax) + (bx + ab) =

= x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b), то тотожність доведена.

II спосіб

Оскільки (х + а)(х + b) = х² + xb + xa + ab = х² + (xa + xb) + ab =

= x² + (a + b)x + ab, то тотожність до­ведена.

б) І спосіб

Оскільки х² – (a + b)x + ab = x² – ax – bx + ab = (х² – ax) – (bx – ab) =

= x(x – a) – b(x – a) = (x – a)(x – b), то тотожність доведена.

II спосіб

Оскільки (х – а)(х – b) = х² – xb – ах + ab = х² – (xa + xb) + ab =

= х² – (a + b)x + ab , то тотожність доведена.

в) І спосіб

Оскільки х² + (а – b)х – ab = х² + ах – bх – ab = (х² + ax) – (bx + ab) =

= x(x + a) – b(x + а) = (x + a)(x – b), то тотожність доведена.

II спосіб

Оскільки (x + a)(x – b) = x² – xb + ax – ab = x² + (ax – bx) – ab =

= х² + (a – b)x – ab, то тотожність доведено.

г) І спосіб

Оскільки х² – (a – b)x – ab = x² – ax + bx – ab = (x² – ax) + (bx – ab) =

= x(x – a) + b(x – a) = (x – a)(x + b), то тотожність доведена.

II спосіб

Оскільки (x – a)(x + b) = х² + xb – ax – ab = х² – (ах – bх) – аb =

= х² – (a – b)x – ab, то тотожність доведена.

III. Повторення раніше вивченого матеріалу

Розв'язання вправ 582—58,5.

Розв'язання

• Вправа 582.

а) -1; б) 2; в) -10; г) 3; ґ) 0,25; д) 3,6.

• Вправа 583.

a) -2,4; б) -0,2; в) -1; г) ; ґ) 1,925; д) 0,7.

• Вправа 584.

а) Твердження «Якщо |а| < b, то а < b» — правильне.

б) Твердження «Якщо а < |b|, то а < b» — неправильне, бо якщо < |-1|, то > -1.

в) Твердження «Якщо |a| < |b|, то а < b» — неправильне, бо |1| < |-5|, проте 1 > -5.

• Вправа 585.

Нерівності | х | < 5 задовольняють числа -5 < х < 5 , отже, x є {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

IV. Домашнє завдання

§ 15. Вправи 568, 570, 573, 576.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу.

Розкладіть на множники многочлен:

а) ax + ay – az + nx + ny – nz;

б) а + b – 2 – ах – bх + 2х;

в) 2ах + сх. – 6ах² – 3сх² + 2ас + с²;

г) х² + 2х – са – 2с – сх + ах.

Примітка. Вправи 579—581 призначені для учнів, які цікав­ляться математикою. Наводимо розв'язання цих вправ.

Розв'язання

• Вправа 579.

а) х² + (2 + 3)x + 2 · 3 = (x + 2)(х + 3).

Перевірка, (х + 2)(х + 3) = х² + 2х + 3х + 6 = x² + (2 + 3)x + 2 · 3.

б) x² + 6x + 5 = (х + 1)(х + 5).

Перевірка, (х + 1)(х + 5) = х² + 5х + х + 5 = х² + 6х + 5.

в) у² + 7у + 12 = (у + 3)(у + 4).

Перевірка, (у + 3)(у + 4) = у² + 4у + 3у +12 = у² + 7у +12.

г) z² + 8z + 3 · 5 = (z + 3)(z + 5).

Перевірка. (z + 3)(z + 5) = z² + 5z + 3z + 5 · 3 = z² + 8z + 5 · 3.

ґ) x² + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2).

Перевірка. (х + 5)(х – 2) = х² – 2х + 5х – 10 = х² + 3х – 10.

д) х² – х – 6 = (х – 3)(х + 2).

Перевірка, (х – 3)(х + 2) = х² + 2х – 3х – 6 = х² – х – 6.

е) a² + 3ab + 2b² = (a + 2b)(a + b).

Перевірка, (а + 2b)(а + b) = а² + ab + 2аb + 2b² = а² + 3аb + 2b².

є) 2х² – 7ху + 3у² = 2(х² – 3,5ху + 1,5у²) = 2(х – 0,5у)(х – 3у).

Перевірка, 2(х – 0,5)(х – 3у) = 2(х² – 3ху – 0,5ху + 1,5у²) =

= 2(х² – 3,5ху + 1,5у²) = 2х² – 7ху + 3у².

• Вправа 580.

а) х(х + 7) – 2(х + 7) = 0; (х + 7)(х – 2) = 0; х + 7 = 0 або х – 2 = 0;

х = -7 або х = 2. Відповідь. -7; 2.

б) 3х(х – 1,5) + 6(х – 1,5) = 0; (х – 1,5)(3х + 6) = 0; х – 1,5 = 0 або 3х + 6 = 0; х = 1,5 або х = -2. Відповідь. 1,5; -2.

в) 2х(х² + 4) – 8х² – 32 = 0; 2х(х² + 4) – 8(х² + 4) = 0; (х² + 4)(2х – 8) = 0;

2х – 8 = 0 (оскільки х² + 4 > 0); х = 4. Відповідь. 4.

г) у⁴ – 3у³ + у = 3; (у⁴ – 3у³) + (у – 3) = 0; у³(у – 3) + (у – 3) = 0;

(у – 3)(у³ + 1) = 0; у – 3 = 0 або у³ + 1 = 0; у = 3 або у = -1. Відповідь. 3; -1.

• Вправа 581.

а) х³ – 5х² + х = 5; х²(х – 5) + (х – 5) = 0; (х – 5)(х² + 1) = 0; х – 5 = 0 (оскільки х² + 1 > 0); х = 5. Відповідь. 5.

б) 13z – 78 – 2z(z – 6) = 0; (13z – 78) – 2z(z – 6) = 0; 13(z – 6) – 2z(z – 6) = 0; (z – 6)(13 – 2z) = 0; z – 6 = 0 або 13 – 2z = 0; z = 6 або z = 6,5.

Відповідь. 6; 6,5.

в) z⁵ + z³ + 2 – 2z⁴ – 2z² = 2; (z² + z³ + z) – (2z² + 2z² +2) = 0;
z(z⁴ + z² + 1) – 2(z⁴ + z² + 1) = 0; (z⁴ + z² + 1)(z – 2) = 0; z – 2 = 0 (оскільки z⁴ + z² + 1 > 0 ); z = 2. Відповідь. 2.

г) х⁴ + 5х³ + 6х² + х² + 5х + 6 = 0; (х⁴ + х²) + (5х³ + 5х) + (6х² + 6) = 0; х²(х² + 1) + 5х(х² + 1) + 6(х² + 1) = 0 ; (х² + 1)(х² + 5х + 6) = 0;

(х² + 1)(х + 2)(х + 3) = 0; х + 2 = 0 або х + 3 = 0 (оскільки х² + 1 > 0);

х = -2 або х = -3. Відповідь. -2; -3.