Урок № 58 Тема. Рівняння, що зводяться до квадратних

Опис документу:
джерело: інтернет (автор Бабенко) Урок № 58 Тема. Рівняння, що зводяться до квадратних Мета: засвоєння учнями основних видів цілих рівнянь, розв'язан¬ня яких зводиться до розв'язування квадратних рівнянь, та схем їх роз-в'язування; сформувати вміння виділяти вивчені види рівнянь серед інших рівнянь, а також використовувати відомі схеми для розв'язуван-ня названих видів рівнянь.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Урок № 58

Тема. Рівняння, що зводяться до квадратних

Мета: засвоєння учнями основних видів цілих рівнянь, розв'язан­ня яких зводиться до розв'язування квадратних рівнянь, та схем їх роз­в'язування; сформувати вміння виділяти вивчені види рівнянь серед інших рівнянь, а також використовувати відомі схеми для розв'язуван­ня названих видів рівнянь.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Рівняння, що зво­дяться до квадратних».

Хід уроку

I. Організаційний стан

II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки завдання домашньої роботи були такого самого типу, як і вправи класної роботи, то під час перевірки приділяємо увагу лише завданням підвищеної складності (традиційно це завдання на розкла­дання виразів вищих степенів на множники, у розв'язуванні яких ви­користовується прийом заміни змінних).

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

Вчитель ще раз нагадує учням про те, що вміння розв'язувати квад­ратні рівняння є одним із найважливіших для подальшого вивчення не тільки алгебри, але й багатьох суміжних дисциплін. Так, тема цілком присвячена вивченню питання про сферу застосування набутих умінь під час розв'язування завдань, передбачених програмою з математики у 8 класі.

На цьому уроці буде вивчено питання про застосування вмінь розв'я­зувати квадратні рівняння в розв'язуванні деяких інших видів рівнянь.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння: застосовувати основні поняття, пов'язані з поняттям рівняння з однією змін­ною; виконання арифметичних дій з дійсними числами; алго­ритм розв'язання найпростіших дробово-раціональних рів­нянь; застосування різних способів розв'язання квадратних рівнянь різних видів.

Виконання усних вправ

  1. Скоротіть дроби:

; ; ; ; ; .

  1. Знайдіть корені рівнянь:

х2 – 64 = 0; у2 + 49 = 0; 2р2 – 7р = 0; т2 = 0; 2х2 + 4х – 1 = 0; х2 + 3х + 4 = 0.

  1. При яких значеннях змінної х вираз 3х – 1 набуває значень: 0; -2; 3; ?

  2. Виконайте множення:

(x + 1)(x 1); (x + 1)(x 3); (x + 1)(x + 2); (x 1)(x 4).

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

  1. Приклади рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом уведен­ня нової змінної (заміною змінних). Як розв'язувати такі рів­няння?

  2. Яке рівняння називають біквадратним рівнянням? Як розв'язати біквадратне рівняння?

  3. *Як розв'язати рівняння виду

(х + а)(х + b)(х + с)(х + d) = A,

де a + d = b + c?

1.

Конспект

Рівняння, що зводяться до квадратних

Шляхом виконання заміни змінних:

a)

У рівнянні аР2n(х) + bРn(х) + с = 0, де а 0,

Р(х) — многочлен від змінної х

Заміна: Рn(х) = t (t 0), тоді Р2n(х) = t2,

тоді

аР2n(х) + bРп(х)с = 0 at2 + bt + c = 0

Особливий випадок:

ах4 + bх2 + с = 0 — біквадратне рівняння

Заміна: х2 = t (t ≥ 0)

ах4 + bх2 + с = 0 at2 + bt + c = 0

б)

У рівнянні виду:

(х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = m

Якщо a + d = b + с, то помножити парами (х + a)(х + d) і (х + b)(х + с)

Заміна: х2 + (а + d)x = t,

тоді

(х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = т (t + ad)(t + bс) = т

2.

Шляхом рівносильних перетворень: дробово-раціональні рівняння:

рівняння вигляду , де P(х) і Q(х) — многочлени від однієї змінної, рівносильні системі:

Програмою з математики в розділі «Рівняння, що зводяться до квадратних» передбачено вивчення способів розв'язування цілих рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом введення нової змінної, а також дробово-раціональних рівнянь.

На уроці проводиться ознайомлення учнів із загальною схемою розв'язання рівнянь, що перетворюються на квадратні шляхом введен­ня нової змінної. Якщо на попередньому уроці учні добре засвоїли прийом переходу до нової змінної у ході розкладання виразів на множ­ники, то на цьому уроці в учнів не повинно бути проблем із ро­зумінням схеми розв'язування рівнянь шляхом уведення нової змін­ної – схема розв'язування рівнянь таким методом майже співпадає зі схемою перетворення виразів (додається один пункт – після виконан­ня оберненої заміни розв'язати здобуте рівняння).

Що стосується біквадратних рівнянь, то їх можна розглядати як особ­ливий випадок рівнянь, що були розглянуті вище, тому слід зауважити, що складена вище схема використовується і під час розв'язування цих рівнянь (можна наголосити на тому, що, на відміну від інших подібних рівнянь, у біквадратних рівняннях завжди «спрацьовує» заміна х2 = t).

Якщо учні мають високий рівень навчальних досягнень, їх можна ознайомити зі способом перетворення рівнянь виду

(х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = А,

де a + d = b + c, до рівнянь виду аР2(х) + bР(х) + с = 0, де Р(х) многоч­лен від однієї змінної, з тим, щоб потім розв'язати утворене рівняння розглянутим вище способом.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

  1. Яку заміну слід виконати в рівнянні, щоб дістати квадратне рівняння:
    а) (
    х2 + 6х + 9) – 2(х + 3) – 3 = 0; б) (х2 + 6х + 9)2 – 2(х + 3)2 – 3 = 0;

в) (х2 + 6х)2 – 2(х2 + 6х) – 3 = 0.

  1. Які квадратні рівняння дістанемо в завданні 1, якщо виконаємо
    відповідну заміну?

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мсти уроку слід розв'язати завдання та­кого змісту:

  1. Розв'язування рівнянь різного виду, що зводяться до квадратних уведенням нової змінної. Розв'яжіть рівняння:

а) (х2 – 1)2 – 11(х2 – 1) + 24 = 0; б) (х2 + 2х)2 – 2(х2 + 2х) – 3 = 0.

  1. Розв'язування біквадратних рівнянь.

Розв'яжіть рівняння: а) 2х4 – 9х2 + 4 = 0; б) 36х4 7х2 – 4 = 0.

  1. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
    які мають достатній та високий рівні знань.

1) Розв'яжіть рівняння:

а) (х2 + 5х)(х2 + 5х – 2) = 24; б) (2х2 + х + 1)(2х2 + х + 3) = 8;

в) (х2 – 5х + 7)2 – (х – 2)(х – 3) = 1; г) (х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 120;

д) (x 1)x(x + 1)(x + 2) = 24; e) (х + 3)2(х + 2)(х + 4) = 12.

2) Розв'яжіть рівняння: а) ; б) .

3) Розв'яжіть рівняння: а) х – 6 + 5 = 0; б) х + – 6 = 0;

в) ; г) ; д) ;

є) .

4) Знайдіть пропущений вираз:

х2 + х – 6

х2 – 2х – 15

а3b

bc3

?

  1. На повторення: завдання на перетворення раціональних виразів; на розв'язування дробових рівнянь (такого рівня складності, як було розв'язано в темі «Раціональні вирази»).

У ході розв'язування письмових вправ на відпрацювання вмінь застосовувати схему, що передбачає введення нової змінної для переходу від даного рівняння до квадратного, слід вимагати від учнів урахування кількох важливих моментів:

    • якщо вводити заміну то тільки ефективну (щоб у результаті переходу до нової змінної рівняння з неквадратного перетворилось на квадратне);

    • розв'язувати новоутворене квадратне рівняння відносно його змінної (типова помилка учнів - виконання подібних записів: t2 + 4t + 3 = 0,

х1 = -1, х2 = -3);

  • обов'язковим етапом розв'язування рівняння шляхом введення но­вої змінної є виконання оберненої заміни (звісно, у випадку, коли рівняння, здобуте після заміни, має корені).

Вправи на повторення є підготовчими до сприйняття матеріалу на­ступного уроку.

VII. Підсумки уроку

В якому випадку правильно виконано записи?

а) х4 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t, х4 = t2, тоді t2 3t + 2 = 0; x1 = 1, х2 = 2.

Відповідь. 1; 2.

б) х4 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t, х4 = t2, тоді t2 3t + 2 = 0, t1 = 1, t2 = 2.

Обернена заміна: х2 = 1 або х2 = 2, маємо: х1 = 1, х2 = .

Відповідь. 1; .

в) х4 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t (t ≥ 0), тоді t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2;

обернена заміна: х2 = 1 або х2 = 2, маємо: х = ±1, х = .

Відповідь. ±1; .

VIII. Домашнє завдання

  1. Вивчити схеми розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних уведенням нової змінної.

  2. Розв'язати вправи на застосування вивченої схеми.

  3. На повторення: завдання на перетворення раціональних виразів; на розв'язування дробових рівнянь (такого рівня складності, як було розв'язано під час вивчення теми «Раціональні вирази»).

4

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Воркшоп як інноваційна освітня технологія»
Швень Ярослава Леонідівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.