і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Удосконалений метод Ейлера з ітераційною обробкою

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Удосконалений метод Ейлера з ітераційною обробкою

Якщо в рівності (11) відкинути доданок, пропорційний h3, то для знаходження значення невідомого розв’язку в точці дістанемо формулу:

(14)

Невідома входить до обох частин рівності (14). Тому метод, що визначається формулою (14), належить до неявних методів чисельного інтегрування задачі (1)-(2). Формули (12)-(13) саме й пропонують один із способів наближеного розв’язування рівняння (14). Проте його розв’язок завжди можна обчислити із наперед заданою точністю >0, якщо скористатися методом ітерацій. Послідовні наближення можна обчислити за формулою:

(і=0,1,2,…) (15)

За нульове наближення у(0)к+1 можна взяти значення або значення , обчислене за формулою Ейлера (7). Процес ітерацій за формулою (15) припиняють з виконанням умови

< ,

тобто коли модуль різниці двох послідовних наближень до шуканого значення величини буде меншим за наперед задану точність >0.

За наближене значення величини в точці беруть значення .

Легко встановити умови, в разі виконання яких ітераційний процес, що задається формулою (15), збігається. Для цього від рівності (14) віднімемо почленно рівність (15). Дістанемо

Звідси, користуючись умовою Ліпшиця (3), знаходимо

або

Отже, ітераційний процес (15) збігається, тобто , коли , якщо крок інтегрування h вибрано так, щоб виконувалась нерівність <1. При цьому збіжність буде тим швидшою, чим меншою буде величина .

Якщо алгоритм уточнення числового значення шуканого розв’язку після виконання кількох ітерацій не веде до рівності відповідної кількості десяткових знаків у двох послідовних наближеннях або розбігається, то крок інтегрування зменшують.

Неявний метод чисельного інтегрування задачі (1)-(2) використовується також тоді, коли інтеграл у правій частині рівності (5) обчислюють за формулою правих прямокутників .

Відкинувши член, пропорційний h2, дістають

. (16)

Для обчислення невідомого значення величини ук+1 використовують метод ітерацій. Якщо, наприклад, функція f(x,y) при фіксованому значенні х має частинну похідну по у і якщо ця похідна в деякому околі точки (хк+1к) задовольняє умову , то процес ітерацій, що визначається формулою , збігається, причому тим швидше, чим менше q.

Оскільки похибка методу (16) на кожному кроці інтегрування має порядок О(h2), а для розв’язування рівнянь (16) на кожному кроці треба будувати певну ітераційну процедуру, то в практиці обчислень цей метод використовується дуже рідко.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про удосконалений метод Ейлера з ітераційною обробкою.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Правове регулювання освіти осіб з особливими потребами»
Байталюк Ольга Михайлівна
24 години
490 грн
245 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти