Точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії

Опис документу:
Точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Точкові оцінки для математичного сподівання та дисперсії

Нехай =(ξ1, ξ2, …, ξn) — вибірка з генеральної сукупності з розподілом Причому функція розподілу спостережуваної випадкової величини ξ має відому функціональну форму, але залежить від невідомого параметра . Цей параметр може бути будь-якою точкою заданої параметричної множини .

Завдання оцінювання таке: використовуючи статистичну інформацію, яка міститься у вибірці  зробити статистичні висновки про справжнє значення 0 невідомого параметра. Далі будь-яку функцію від вибірки будемо називати статистикою. При цьому множиною визначення статистики є вибірковий простір Rn, а множиною значень — .

При точковому оцінюванні параметра необхідно знайти таку статистику значення якої при заданій реалізації X=(x1, x2, …, xn) вибірки  приймають за наближене значення параметра 0. У цьому випадку функцію h() називають оцінкою параметра 0. Для того, щоб порівнювати різні оцінки і вибрати кращу, є така класифікація їх.

Означення 1. Оцінка параметра називається незміщеною, якщо Якщо то величину будемо називати зсувом оцінки

Означення 2. Послідовність оцінок параметра називається спроможною, якщо

Означення 3. Послідовність оцінок параметра називається сильно спроможною, якщо з імовірністю одиниця при

Означення 4. Послідовність оцінок параметра називається асимптотично нормальною, якщо тобто має нормальний розподіл

Символ означає збіжність за ймовірністю: для будь-якого а символ означає слабу збіжність функцій розподілів.

Позначимо клас усіх незміщених оцінок параметра через M0. Додатково припустимо, що дисперсії всіх оцінок з класу M0 скінченні: для будь-якого

Означення 5. Оцінка параметра називається оптимальною, якщо

Незміщеною, сильно спроможною та асимптотично нормальною оцінкою математичного сподівання є вибіркове середнє

Через будемо позначати реалізацію цієї оцінки. Вибіркове середнє для дискретного статистичного ряду підраховується за формулою Вибіркове середнє для інтервального статистичного ряду підраховується за формулою де – середина інтервалу .

— незміщена оцінка дисперсії

— зміщена оцінка

Якщо математичне сподівання a відоме, то незміщеною, сильно спроможною і асимптотично нормальною оцінкою дисперсії є оцінка

Розв’язок xр рівняння де називається p-квантиллю розподілу При p=0,5 квантиль називають медіаною розподілу. Вибірковою p-квантиллю називають порядкову статистику

— це елемент вибірки, зліва від якого знаходиться частка спостережень і — порядкова статистика з максимальним номером, що задовольняє цю властивість. Величина називається вибірковою медіаною.

Реалізацію величини позначають Me. Для дискретних статистичних рядів:

Для інтервальних статистичних рядів:

де yi — початок медіанного інтервалу, тобто такого, якому відповідає перша з нагромаджених частот, що перевищує половину всіх спостережень, hi — довжина інтервалу, mi — частота медіанного інтервалу.

Мода — це елемент, який найчастіше трапляється у вибірці. Для дискретного статистичного ряду:

якщо

Для інтервального статистичного ряду:

,

де yi — початок інтервалу з найбільшою частотою, mi — частота i-го інтервалу.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
2
дн.
1
8
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!