і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Предмети »

Теорія похибок

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Деякі відомості про наближені обчислення й похибки

Розвязок прикладних і математичних задач, як правило, пов'язане з наближеними значеннями величин, наближеними обчисленнями.

Математична модель задачі — це вже наближене подання реального об'єкта. Вихідні дані, одержувані з експерименту, можна в основному визначити лише приблизно. Навіть точні числа, такі як і т.п., при обчисленнях заміняють десятковими дробами, залишаючи певне число знаків після коми.

Обчислювальні методи в основному також є наближеними. Навіть при використанні найпростішої формули результат, як правило, одержують наближеним.

Тому, перш ніж приступитися до вивчення обчислювальних методів, варто ознайомитися із загальними правилами дій над наближеними числами й оцінки похибок.

Абсолютна й відносна похибки

Абсолютна похибка наближеного числа. Якщо а0 — деяке число (відоме точно або не точно), а а — число, прийняте за наближене значення числа а0, то помилкою наближеного числа а називають різницю а0 а. Звичайно точне число а0 не відомо, тому помилку наближеного числа а визначити не можна. Однак майже завжди можна вказати число, що оцінює цю помилку. Число , що задовольняє нерівності

|а0 - а| < ,

називається абсолютною похибкою (точніше граничною абсолютною похибкою) наближеного числа а.

Очевидно, таке визначення абсолютної похибки не є однозначним. Так, якщо а = , а за наближене значення взяти а = 3,14, то, з огляду на те, що 3,140 < < 3,142, можна записати

|а |< 0,002, |а |< 0,01, |а |< 0,1.

Кожне із чисел 0,002, 0,01, 0,1 буде абсолютною похибкою числа а. Але чим ближче між собою числа |а0 а| й , тим точніше абсолютна похибка оцінює фактичну помилку.

Як абсолютна похибка наближеного числа а беруть по можливості найменше із чисел, що задовольняють нерівності (1).

Нерівність (1) рівносильна нерівностям

а а0 а + ,

які умовно записують у такий спосіб: а0 = а ± , тобто а0 приблизно дорівнює а з абсолютною похибкою . Так, наприклад, у попередньому прикладі можна записати = 3,14 ± 0,002.

Абсолютну похибкою іноді називають оцінкою точності наближеного числа.

Відносна похибка наближеного числа. Абсолютна похибка числа а, прийнятого за наближене значення числа а0, не завжди є зручною характеристикою степеня точності а як наближення до а0. Похибка в один метр є дуже грубою помилкою при вимірі довжини приміщення, але її можна розглядати як малу помилку при вимірі відстані між двома вилученими крапками земної поверхні. Отже, крім величини абсолютної похибки, необхідно ще знати її відношення до вимірюваного (або що обчислює) величині, в основному виражає у відсотках.

Відносною похибкою наближеного числа а називається відношення абсолютної похибки до модуля цього числа. Відносна погрішність позначається через :

або у відсотках

.

Так, відносна похибка числа 3,14, прийнятого за наближене значення числа , при (3,14) = 0,002 дорівнює

(3,14) = = 0,00064, або 0,064 %.

У технічних розрахунках точність вимірів звичайно характеризують відносною похибкою. Результат вважають хорошим, якщо відносна похибка не перевищує 0,1 %.

З формули (2) слідує, що

.

Правило округлення чисел

Округлення числа полягає у відкиданні в ньому всіх цифр, що випливають за деяким розрядом. При цьому якщо округлене число ціле, то відкинуті цифри цілої частини заміняють нулями.

Округлення звичайно роблять за наступним правилом.

Якщо перша відкинута цифра, менше п'яти, то попередня цифра не міняється.

Якщо перша відкинута цифра, більше п'яти, то попередня цифра збільшується на одиницю.

Якщо перша відкинута цифра, дорівнює п'яти, то придатне кожне із зазначених правил, але найчастіше округляють так, щоб остання зберігаєма цифра, була парною. Якщо вона непарна, то до неї додають одиницю, якщо ж парна, то залишають без змін (правило парної цифри).

Приклад 1. Округлити число = 3,14159... до а) одного; б) трьох; в)чотирьох десяткових знаків.

а) 3,14159 3,1 (округлення до 0,1);

б) 3,14159 3,142 (округлення до 0,001);

в) 3,14159 3,1416 (округлення до 0,0001).

При округленні цілих чисел звичайно замість відкинутих цифр записують не нулі, а число 10 у відповідному степені.

Приклад 2. Округлити число 246250 до а) сотень тисяч; б) десятків тисяч; в) сотень.

а) 246250 2 (округлення до );

б) 246250 25 (округлення до 104);

в) 246250 2462 (округлення до 102).

Степінь числа 10 указує на число округлених знаків.

Якщо при округленні числа останні зберігають нулі, то їх варто записувати. Так, число 1,2997, округлене до 0,001, приймає вид 1,300.

При округленні числа виникає додаткова похибка — похибка округлення , що не перевершує половини одиниці розряду останньої цифри, що зберігається (або п'яти одиниць першого відкинутого розряду).

Так, у прикладах 1, 2 маємо наступні похибки округлення;

=0,041590,05, =0,000410,0005; =37500,5.

Абсолютна похибка округленого числа є сума його первісної абсолютної похибки й похибки округлення. Наприклад, нехай = 0,2, при округленні 3,142 до 0,1 одержуємо 3,1 й = 0,042, тоді = 0,2 + +0,042 = 0,242. Звичайно абсолютну й відносну похибки округляють до однієї, рідше до двох цифр, відмінних від нуля. Округлення похибок роблять тільки у бік збільшення до тих же розрядів, що й наближене число. Так, при = 0,242 розуміють = 0,3.

Значущі, вірні й сумнівні цифри

Значущою цифрою наближеного числа називається будь-яка його цифра починаючи з першої ненульової (рахуючи з ліва на право). Наприклад, у числі 0,00030900 перші чотири нулі не є значущими цифрами. Всі інші цифри (включаючи й наступні три нулі) - значущі.

У цілому округленому числі значущими звичайно вважають всі збережені цифри. Так, в округленому числі 120 цифри 1, 2, 0 — значущі.

Вірною цифрою (вірним знаком) наближеного числа а називається будь-яка його значуща цифра, для якої абсолютна похибка не перевершує половини розряду цієї цифри. Інші значущі цифри числа а називаються сумнівними.

Таким чином, якщо , то цифри числа а, починаючи з першої значущої й кінчаючи стоячою в n-м розряді після коми,— вірні, а розташовані далі—сумнівні. Наприклад, число 647,326 при =0,030,5 має чотири вірні цифри 6, 4, 7, 3 і дві сумнівні 2, 6.

У математичних таблицях значень функцій приводяться тільки вірні цифри. Абсолютна похибка табличних значень, наприклад, у тризначних таблицях не перевершує 0,5, у семизначних — 0,5.

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірних цифр.

Остаточний наближений результат звичайно округляють до його вірних цифр, залишаючи одну сумнівну. При розрахунках з наближеними числами в проміжних результатах зберігають одну, дві, а іноді й три сумнівні цифри.

Приклад 3. Задані числа при зазначених абсолютних похибках округлити до вірних цифр. Визначити абсолютну похибку результату:

1) а1 =2,6219, = 0,024; 2) а2 = 47,35, = 1,3;
3)
а3 = 6,9971, = 0,0009; 4) а4=0,648, = 0,04.

Розвязання. 1) Оскільки 0,024 < 0,05, то число а1 варто округлити до 0,1. Одержимо число а12,6 з двома вірними цифрами. Визначимо абсолютну похибку результату

= 0,024 + | 2,6219 - 2,6 | = 0,0459 0,05.

2) Оскільки 1,3 < 0,5, то число а2 варто округлити до десятків. Одержимо число а2 5•10 з однією вірною цифрою. Абсолютна похибка результату

= 1,3 + 2,65 = 3,95 4.

3) Оскільки 0,0009 < 0,005, то округлення числа робимо до 0,01. Одержимо число а3 7,00 з трьома вірними цифрами. Абсолютна похибка результату

= 0,0009 + | 7,00 - 6,9971 | = 0,0038 0,004.

У числі 7,00 записані нулі свідчать про три його вірні знаки й цей запис відрізняється від 7 або 7,0.

4) Оскільки 0,04 < 0,05, то число а4 округляємо до 0,1. Одержимо число а4 0,6 з однією вірною цифрою. Абсолютна похибка результату

= 0,04 + 0,048 = 0,088 > 0,05,

т. е. цифра 6 уже сумнівна. Тому при округленні рекомендується залишати одну-дві сумнівні цифри, тобто

а4 0,65, = 0,042 0,05.

Підмітимо, що термін «вірні цифри» не слід розуміти буквально. Так, у числі 7,00, що заміняє число 6,9971, всі знаки вірні |6,9971 - 7,00| < 0,005, але жодна із цифр чисел 6,9971 й 7,00 не збігається. Однак вірні знаки наближеного числа часто збігаються з відповідними цифрами точного числа.

Абсолютна похибка визначає число десяткових знаків наближеного числа.

Відносна похибка наближеного числа безпосередньо залежить від числа його вірних знаків. Є спеціальні таблиці, що визначають відносні похибки залежно від числа вірних знаків. Так, наприклад, якщо наближене число а має три вірних знаки, те його відносна похибка перебуває в межах від 0,05 до 0,5 % (залежить від першої значущої цифри числа а). При збільшенні числа вірних знаків на 1 відносна похибка зменшується в 10 разів.

Зауваження. На практиці звичайно вважають, що число а є наближенням числа а0 з п вірними десятковими знаками, якщо .

При такому визначенні в числі а = 647,35 при = 0,095 < 0,1 будуть вірними цифри 6, 4, 7, 3. Відповідно до колишнього визначення, оскільки < 0,5, у цьому числі будуть вірними лише цифри 6, 4, 7. У подальших розділах в основному використається це визначення вірних цифр наближеного числа.

Похибки при арифметичних діях з наближеними числами

Похибки при арифметичних діях з наближеними числами виражаються через похибки первісних величин на підставі властивостей, які приведемо без доказу.

1) Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох чисел дорівнює сумі абсолютних похибок доданків:

З (4) слідує, що якщо всі доданки a1,...,ап (незалежно від їхніх знаків) мають ту саму абсолютну похибку , то

Однак при великій кількості доданків ця формула дає завищені результати, оскільки відхилення доданків від їхніх точних значень можуть мати різні знаки й у сумі великої кількості доданків частково компенсуватися. У теорії ймовірностей доводиться, що при великому п можна прийняти

(>10)

(правило Чеботарєва).

Приклад 4. У трикутнику дані сторони a=17,3 см, b=23,6 см, с = 14,2 см , причому = = = 0,1 см. Визначити його периметр р й .

Розвязання: р = 17,3 + 23,6 + 14,2 = 55,1 (см). По формулі
(5) маємо (см). У числі
р=55,1 остання цифра сумнівна. Результат можна записати у вигляді р = 55,1 ± 0,3 (см).

Ясно, що абсолютна похибка суми наближених чисел не менше найбільшої з абсолютних похибок доданків. Тому при обчисленні суми наближених чисел всі доданки варто округляти до кількості десяткових знаків числа з найбільшою абсолютною похибкою, залишаючи один сумнівний знак (а при великій кількості доданків - два). Отриманий результат округляється на один знак.

2) Відносна похибка суми декількох чисел визначається, на підставі (2), по формулі

Якщо а1,...,ап—числа одного знаку, то відносна похибка укладена між найменшою й найбільшою з відносних похибок доданків:

Так, у попередньому прикладі

й

.

У дійсності

.

При вирахуванні двох чисел одного знака відносна похибка різниці

може виявитися значно більше відносних похибок кожного з даних чисел. Це в основному буває, якщо |а1 а2| — мале число.

Приклад 5. Обчислити абсолютну й відносну похибки різниці чисел а1=9,78, і а2=9,22, .

Розвязання: а12=0,56, , хоч , .

Звичайно вирахування близьких чисел намагаються уникати, заміняючи його по можливості іншими діями.

3) Відносна похибка добутку декількох чисел дорівнює сумі відносних похибок співмножників:

.

Абсолютна похибка добутку обчислюється по формулі (3)

.

Зокрема, якщо в добутку са число с точне, то и

.

Звідси й з формули (4) одержуємо

.

4) Відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок діленого й дільника:

.

Зокрема,

Абсолютну похибку частки визначають по формулі (3).

Якщо кількість чисел у добутку або відношенні велика, а відносна похибка кожного числа приблизно однакова (дорівнює ), то, аналогічно формулі (6), відносна похибка результату обчислюється по формулах

(n > 10),

(n+m>10).

При наявності декількох співмножників, в одного із яких відносна похибка у багато разів більше, ніж в інших (він обчислений найменш точно), відносна похибка добутку буде визначатися саме по цій похибці. Тому число вірних знаків в інших співмножників треба вибирати по найменш точному числу, залишаючи один сумнівний. Аналогічно надходимо й при діленні.

Похибки при обчисленні наближених значеннях функції однієї змінної

Нехай задана деяка диференціальна функція у=f (х) і —наближене значення аргументу х.

Наближеним значенням функції у вважають те значення, що вона приймає при наближеному значенні аргументу, тобто . Виникає питання про похибки цього наближення. Як відомо з курсу математичного аналізу, при досить малому приросту аргументу приріст функції приблизно дорівнює її диференціалу:

.

Звідси, якщо відомо абсолютну похибку аргументу , абсолютну похибку функції можна визначити по формулі

.

Відносна похибка функції, відповідно до формули (2),

.

Як приклади визначимо абсолютні й відносні похибки деяких основних елементарних функцій.

1) Логарифмічна функція f(х)=logax. Абсолютна похибка логарифмічної функції, відповідно до формули (10), має вигляд

,

де

.

Зокрема, якщо a= 10, то lg e0,5 й , якщо ж а=е, то (lne=1). Абсолютна похибка логарифмічної функції з основою е дорівнює відносній похибці аргументу. Відносну похибку функції знаходимо по формулі (11):

.

2) Степенева функція f(х) = , де -будь-яке дійсне число.

,

.

Слідуючи, відносна похибка степеневої функції пропорційна відносної похибці аргументу.

Зокрема,

3) Показникова функція

,

4) Тригонометричні функції f(x) = sіn x, f (х) = cos x.

Отже, абсолютні похибці функцій синус і косинус не перевершують абсолютної похибки аргументу

Похибки при обчисленні наближених значень функції декількох змінних

Розглянемо тепер диференційовану функцію, наприклад, трьох змінних . Нехай наближені значення аргументів х, у, z, обчислені з абсолютними похибками . Наближеним значенням функції u вважають те значення, що вона приймає при наближених значеннях аргументів: . Для визначення похибок, як й у випадку функції однієї змінної, скористуємося формулою диференціала, замінивши їм приріст функції:

Абсолютну похибку функції при відомих абсолютних похибках аргументів ,, знаходимо по формулі

Відносну похибку, відповідно до формули (2), визначимо наступним виразом:

Зауваження. Похибки, що виникають при рішенні математичних задач чисельними методами, грубо можна розділити на дві групи. Першу групу становлять похибки, що не залежать від конкретного змісту задачі, а також похибки, викликані діями над наближеними числами. До другої групи відносяться похибки, що виникають за рахунок того, що математична задача як правило, заміняється спрощеною, близькою за результатом наближеної задачі. Ці похибки (похибки методу) визначаються залежно від характеру задачі.

Завдання 1

  1. Визначити, яка рівність точніша.

  2. Округлити сумнівні цифри числа, залишивши вірні знаки: а) у вузькому смислі; б) у широкому смислі. Визначити абсолютну похибку результату.

  3. Знайти граничні абсолютні та відносні похибки чисел, якщо вони мають тільки правильні цифри: а) у вузькому смислі; б) у широкому смислі.

1 1) ; №2 1) ;

2) а) 22,553 (0,016); 2) а) 17,2834; .

б) 2,8546; . б) 6,4257 ().

3) а) 0,2387; б) 42,884. 3) а) 3,751; б).0,537.

3 1) ; . №4 1) ; .

2) а) 34,834; ; 2) а) 2,3485 ();

б) 0,5748 (0,0034). б) 0,34484 .

3) а) 11,445; б) 2,043. 3) а) 2,3445 б) 0,745.

5 1) ; . №6 1) ; .

2) а) 5,435 (0,0028); 2) а) 23,574; ;

б) 10,8441; . б) 8,3445 (0,0022).

3) а) 8,345; б) 0,288. 3) а) 12,45; б) 3,4453

7 1) ; . №8 1) ; .

2) а) 2,4543 (0,0032); 2) а) 23,574; ;

б) 24,5643; . б) 8,3445 (0,0022).

3) а) 0,374; б) 4,348. 3) а) 20,43; б) 0,576.

9 1) ; . №10 1) ; .

2) а) 21,68563; ; 2) а) 13,537 (0,0026);

б) 3,7834 (0,0041). б) 7,521; .

3) а) 41,72; б) 0,678. 3) а) 5,634; б) 0,0748.

11 1) ; . №12 1) ; .

2) а) 0,3567; ; 2) а) 1,784 (0,0063);

б) 13,6253 (0,0021). б) 0,85637; .

3) а) 18,357; б) 2,16. 3) а) 0,5746; б) 236,58.

13 1) ; . №14 1) ; .

2) а) 3,6878 (0,0013); 2) а) 27,1548 (0,0016);

б) 15,873; . б) 0,3945; .

3) а) 14,862; б) 8,73. 3) а) 0,3648; б) 21,7.

15 1) ; . №16 1) ; .

2) а) 0,8647 (0,0013); 2) а) 3,7542 ;

б) 24,3618; . б) 0,98351; (0,00042).

3) а) 2,4516; б) 0,863. 3) а) 62,74; б) 0,389.

17 1) ; . №18 1) ; .

2) а) 83,736 ; 2) а) 2,8867 ;

б) 5,6483; (0,0017). б) 32,7486; (0,0012).

3) а) 5,6432; б) 0,00858. 3) а) 0,0384; б) 63,745.

19 1) ; . №20 1) ; .

2) а) 4,88445 (0,00052); 2) а) 38,4258 (0,0014);

б) 0,096835; . б) 0,66385; .

3) а) 12,688; б) 4,636. 3) а) 6,743; б) 0,543.

21 1) ; . №22 1) ; .

2) а) 0,39642; (0,00022); 2) а) 5,8425 ;

б) 46,453 . б) 0,66385; (0,00042).

3) а) 15,644; б) 6,125. 3) а) 0,3825; б) 0,246.

23 1) ; . №24 1) ; .

2) а) 24,3872 ; 2) а) 2,3684 (0,0017);

б) 0,75244; (0,00013). б) 45,7832; .

3) а) 16,383; б) 5,734. 3) а) 0,573; б) 3,6761.

25 1) ; . №26 1) ; .

2) а) 72,354 ; 2) а) 0,36127 (0,00034);

б) 0,38725; (0,00112). б) 46,7843; .

3) а) 18,275; б) 0,00644. 3) а) 3,425; б) 0,645.

27 1) ; . №28 1) ; .

2) а) 23,7564 ; 2) а) 15,8372 (0,0026);

б) 4,57633; (0,00042). б) 0,088748; .

3) а) 3,75; б) 6,8343. 3) а) 3,643; б) 72,385.

29 1) ; . №30 1) ; .

2) а) 3,87683 ; 2) а) 0,66835 (0,00115);

б) 13,5726; (0,0072). б) 23,3748; .

3) а) 26,3; б) 4,8556. 3) а) 43,813; б) 0,645.

31 1) ; . №32 1) ; .

2) а) 24,3872 ; 2) а) 2,3684 (0,0017);

б) 0,75244; (0,00013). б). 45,7832; .

3) а) 16,383; б) 5,734. 3) а) 0,573; б) 3,6761.

33 1) ; . №34 1) ; .

2) а) 0,8647 (0,0013); 2) а) 3,7542 ;

б) 24,3618; . б). 0,98351; (0,00042).

3) а) 2,4516; б) 0,863. 3) а) 62,74; б) 0,389.

35 1) ; . №36 1) ; .

2) а) 21,68563; ; 2) а) 13,537 (0,0026);

б) 3,7834 (0,0041). б) 7,521; .

3) а) 41,72; б) 0,678. 3) а) 5,634; б) 0,0748.

Зразок виконання завдання

1) ; ; 2) а)72,353(0,026); б) 2,3544;;3) а)0,4357;

б) 12,384.

1) Знаходимо значення даних виразів з великим числом десяткових знаків: а1= а2= . Потім вираховуємо граничні абсолютні похибки, округляючи їх із залишком:

, .

Граничні відносні похибки складають

Так як , то рівність є більш точною.

2) Нехай 72,353 (0,026)=а. Згідно умови, похибка ; це значить, що в числі 72,353 вірні у вузькому смислі являються цифри 7, 2, 3. За правилами округлення знайдемо наближене значення числа, зберігши десяткові долі:

; =0,026+0,047=0,073

Отримана похибка більше 0,05, тобто треба зменшити число цифр у наближеного числа до двох:

а2=72; =0,026+0,353=0,379.

Так як <0,5, то останні дві цифри вірні у вузькому смислі.

б) Нехай а=2,3544; ; тоді В даному числі вірними у широкому смислі являються три цифри, тому округлюємо його, залишаючи ці три цифри:

а1=2,35;

Значить, що і в округленому числі 2,35 всі три цифри вірні в широкому смислі.

3) а) Так як всі чотири числа а=0,4357 вірні у вузькому смислі, то абсолютна похибка , а відносна похибка .

б) Так як всі пять цифр числа а=12,384 вірні у широкому розумінні, то ;

Завдання 2

Розрахувати і визначити похибку результату

    1. , a=3,85(±0,01), b=2,0435(±0,0004), c=962,6(±0,1)

    2. ,

a=4,3(±0,05), b=17,21(±0,02), c=8,2(±0,05), m=12,417(±0,003), n=8,37(±0,005)

    1. , a=4,16(±0,005), b=12,163(±0,002), c=55,18(±0,01)

    2. ,

a=5,2(±0,04), b=15,32(±0,01), c=7,5(±0,05), m=21,823(±0,002), n=7,56(±0,003)

    1. , a=7,27(±0,01), b=5,205(±0,002), c=87,32(±0,03)

    2. ,

a=2,13(±0,01), b=22,16(±0,03), c=6,3(±0,04), m=16,825(±0,004), n=8,13(±0,002)

    1. , a=228,6(±0,06), b=86,4(±0,02), c=68,7(±0,05)

    2. ,

a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), m=4,22(±0,004), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005)

    1. , a=315,6(±0,05), b=72,5(±0,03), c=53,8(±0,04)

    2. ,

a=18,5(±0,03), b=5,6(±0,02), m=3,42(±0,003), c=26,3(±0,01), d=14,782(±0,006)

    1. , a=186,7(±0,04), b=66,6(±0,02), c=72,3(±0,03)

    2. ,

a=11,8(±0,02), b=7,4(±0,03), m=5,82(±0,005), c=26,7(±0,03), d=11,234(±0,004)

    1. , a=3,845(±0,004), b=16,2(±0,05), c=10,8(±0,1)

    2. ,

a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,05), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008)

    1. , a=4,632(±0,003), b=23,3(±0,04), c=11,3(±0,06)

    2. ,

a=3,236(±0,002), b=15,8(±0,03), m=0,64(±0,004), c=12,415(±0,003), d=7,18(±0,006)

    1. , a=7,312(±0,004), b=18,4(±0,03), c=20,2(±0,08)

    2. ,

a=4,523(±0,003), b=10,8(±0,02), m=0,85(±0,003), c=9,318(±0,002), d=4,17(±0,004)

    1. , a=3,456(±0,002), b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004)

    2. ,

a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006)

    1. , a=1,245(±0,001), b=0,121(±0,0002), c=2,34(±0,003)

    2. ,

a=17,41(±0,01), b=1,27(±0,002), c=342,3(±0,04), d=11,7(±0,1), m=0,71(±0,003)

    1. , a=0,327(±0,005), b=3,147(±0,0001), c=1,78(±0,001)

    2. ,

a=32,37(±0,03), b=2,35(±0,001), c=128,7(±0,02), d=27,3(±0,04), m=0,93(±0,001)

    1. , a=0,643(±0,0005), b=2,17(±0,002), c=5,843(±0,001)

    2. ,

a=27,16(±0,006), b=5,03(±0,01), c=3,6(±0,02), m=12,375(±0,004), n=86,2(±0,05)

    1. , a=0,142(±0,0003), b=1,71(±0,002), c=3,727(±0,001)

    2. ,

a=15,71(±0,005), b=3,28(±0,02), c=7,2(±0,01), m=13,752(±0,001), n=33,7(±0,03)

    1. , a=0,258(±0,0002), b=3,45(±0,001), c=7,221(±0,003)

    2. ,

a=12,31(±0,004), b=1,73(±0,03), c=3,7(±0,02), m=17,428(±0,003), n=41,7(±0,01)

    1. , a=0,3575(±0,0002), b=2,63(±0,01), c=0,854(±0,0005)

    2. ,

a=16,342(±0,001), b=2,5(±0,03), c=38,17(±0,002), d=9,14(±0,005), m=3,6(±0,04)

    1. , a=0,1756(±0,0001), b=3,71(±0,03), c=0,285(±0,0002)

    2. ,

a=12,751(±0,002), b=7,3(±0,01), c=33,28(±0,003), d=6,71(±0,001), m=5,8(±0,02)

    1. , a=0,2731(±0,0003), b=5,12(±0,02), c=0,374(±0,0001)

    2. ,

a=31,456(±0,002), b=7,3(±0,01), c=33,28(±0,003), d=6,71(±0,001), m=5,8(±0,02)

    1. , =3,14, D=54(±0,5), d=8,235(±0,001)

    2. ,

D=36,5(±0,1), d=26,35(±0,005), =3,14

    1. , =3,14, D=72(±0,3), d=3,274(±0,002)

    2. ,

D=41,4(±0,2), d=31,75(±0,003), =3,14

    1. , =3,14, D=31(±0,01), d=7,345(±0,001)

    2. ,

D=52,6(±0,1), d=48,39(±0,001), =3,14

    1. , m=1,6531(±0,0003), n=3,78(±0,002), c=0,158(±0,0005)

    2. ,

a=9,542(±0,001), b=3,128(±0,002), m=2,8(±0,03), c=0,172(±0,02), d=5,4(±0,02)

    1. , m=2,384(±0,002), n=4,37(±0,004), c=0,235(±0,0003)

    2. ,

a=8,357(±0,003), b=2,48(±0,004), m=3,17(±0,01), c=1,315(±0,0004), d=2,4(±0,02)

    1. , m=3,804(±0,003), n=4,05(±0,003), c=0,318(±0,0002)

    2. ,

a=4,218(±0,001), b=1,57(±0,006), m=2,32(±0,02), c=2,418(±0,004), d=1,8(±0,01)

    1. , c=0,7568(±0,002), d=21,7(±0,02), b=2,65(±0,01)

    2. ,

a=10,82(±0,03), b=2,786(±0,0006), m=0,28(±0,006), n=14,7(±0,06)

    1. , c=0,8345(±0,0004), d=13,8(±0,03), b=1,84(±0,006)

    2. ,

a=9,37(±0,004), b=3,108(±0,0003), m=0,46(±0,002), n=15,2(±0,04)

    1. , c=0,6384(±0,0002), d=32,7(±0,04), b=4,88(±0,03)

    2. ,

a=11,45(±0,01), b=4,431(±0,002), m=0,75(±0,003), n=16,7(±0,05)

    1. , Q=38,5(±0,01), e=3,35(±0,02), E=0,734(±0,001)

    2. ,

n=1,1753(±0,0002), x=5,8(±0,01), y=0,65(±0,02)

    1. , Q=17,3(±0,03), e=5,73(±0,01), E=0,956(±0,004)

    2. ,

n=4,5681(±0,0001), x=6,3(±0,02), y=0,42(±0,03)

  1. , Q=54,8(±0,02), e=2,45(±0,01), E=0,863(±0,004)

  2. ,

n=2,0435(±0,0001), x=4,2(±0,05), y=0,82(±0,002)

  1. , a=0,643(±0,0005), b=2,17(±0,002), c=5,843(±0,001)

  2. ,

a=27,16(±0,006), b=5,03(±0,01), c=3,6(±0,02), m=12,375(±0,004), n=86,2(±0,05)

    1. , a=0,3575(±0,0002), b=2,63(±0,01), c=0,854(±0,0005)

    2. ,

a=16,342(±0,001), b=2,5(±0,03), c=38,17(±0,002), d=9,14(±0,005), m=3,6(±0,04)

    1. , a=0,142(±0,0003), b=1,71(±0,002), c=3,727(±0,001)

    2. ,

a=15,71(±0,005), b=3,28(±0,02), c=7,2(±0,01), m=13,752(±0,001), n=33,7(±0,03)

    1. , m=3,804(±0,003), n=4,05(±0,003), c=0,318(±0,0002)

    2. ,

a=4,218(±0,001), b=1,57(±0,006), m=2,32(±0,02), c=2,418(±0,004), d=1,8(±0,01)

    1. , a=1,215(±0,001), b=0,121(±0,0002), c=2,34(±0,003)

    2. ,

a=17,31(±0,01), b=1,27(±0,002), c=312,3(±0,04), d=11,7(±0,1), m=0,71(±0,003)

    1. , a=3,815(±0,004), b=16,2(±0,05), c=12,8(±0,1)

    2. ,

a=2,254(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,58(±0,05), c=10,516(±0,002), d=6,32(±0,008)

Зразок виконання завдання

а) , m=28,3(±0,02), n=7,45(±0,01), k=0,678(±0,003)

Знаходимо m2 = 800,9; n3 = 413,5; = 0,8234;

Далі, маємо = 0,02/28,3 = 0,00071; = 0,01 /7,45 = 0,00135;

= 0,003/0,678 = 0,00443, звідки

= 2 + 3 + 0,5 = 0,00142 + 0,00405 + 0,00222 = 0,00769 = 0,77%; =4,02·105 ·0,0077 = 3,1·103.

Відповідь. ; = 0,77%.

б) , n=3,0567(±0,0004), m=5,72(±0,02)

Маємо n- 1 = 2,0567 ( ±0,0001); т + п=3,057 ( ±0,0004) +5,72 (± 0,02)= =8,777(±0,0204); т - п = 5,72 (±0,02)-3,057(±0,0004) = 2,663 (±0,0204);

;

=1,77%; .

Відповідь. ; %.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про теорію похибок та їх різновиди.
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    189
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    YY870859
  • Вподобань
    0
Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь