Тема: Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків.

Опис документу:
Мета: • узагальнити та систематизувати знання про диференціальне числення та закріпити уміння і навички їх застосування для побудови графіків функцій; поглибити та розширити діапазон знань учнів з теми; • формувати навички та уміння практичного використання набутих теоретичних знань,

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Тема: Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків.

Мета:

  • узагальнити та систематизувати знання про диференціальне числення та закріпити уміння і навички їх застосування для побудови графіків функцій; поглибити та розширити діапазон знань учнів з теми;

  • формувати навички та уміння практичного використання набутих теоретичних знань, вчити робити облік рівня знань своїх навчальних досягнень, формувати зацікавленість у результатах спільної роботи; розвивати творчі здібності і логічне мислення учнів при розв’язуванні практичних задач; формувати організаційну, соціально-особистісну, інформаційну, життєтворчу компетентності;

  • виховувати прагнення до знань, інтерес до математики, її історії, розглянувши історичні відомості про виникнення диференціального числення, про вклад в його розвиток різних вчених-математиків; показати важливість математичних знань у повсякденному житті , виховувати почуття взаємодопомоги, взаємопідтримки.

Тип уроку: урок закріплення знань, умінь та навичок учнів.

Форма уроку: урок - практикум.

Методи навчання: частково-пошуковий.

Прийоми: теоретичний бліц - турнір «Скринька пам’яті», «математична естафета», графічний диктант «Так чи ні?», дидактична гра «Шифрувальники», диференційована самостійна робота, «Пінг-понг», «Скринька побажань».

Засоби навчання: картки із графіками, аркуші оцінювання, картки для усного рахунку, таблиці-вислови, вимоги до знань , умінь та навичок учнів, портрети вчених, учнівські презентації, учительська презентація.

Обладнання: комп’ютер, проектор, екран, креслярські приладдя, смайлики.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Організація уваги учнів. Перевірка готовності класу до заняття.

Для сьогоднішнього уроку я до кожного етапу уроку підібрала вислів відомої людини. І починаємо ми з вислову Конфуція « Від того настрою, з яким ви вступаєте в день, або в якусь справу залежать ваші успіхи, а можливо, і невдачі». Я бажаю вам розпочати урок з гарним настроєм і отримати від нього задоволення і гарні результати.

План уроку та критерії оцінювання записані в аркуші оцінювання, який є в кожного учня на парті. В ньому є таблиця, в яку кожен учень вписує своє прізвище та ім’я. Також у таблиці записано скількома балами оцінюється завдання кожного етапу уроку.

Учні самостійно занотовують кількість набраних балів за кожен вид роботи.

В кінці уроку учні підсумовують кількість набраних балів і оголошують свої результати.

Аркуш оцінювання:

Прізвище, ім’я учня

Виконання домашнього завдання (2 бали)

Творче домашнє завдання (2 бали)

Теоретичний бліц-турнір (правильна відповідь – 1 бал)

Усні вправи (правильна відповідь– 1 бал)

Графічний диктант (правильна відповідь – 1 бал)

Д/Г «Шифрувальники» (за шифрування – 1 бал,

за розшифровку – 2 бали)

Самостійна робота (І-ІІ варіанти – 4 бали,

ІІІ-ІV варіанти – 6 балів)

Загальна кількість балів

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

«Як приємно дізнатися, що ти чогось навчився». Мольєр

а)Взаємоперевірка за зразком.

1. №2.

б)Творче домашнє завдання:

  • Презентація – історичне дослідження: «Вклад вчених в розвиток диференціального числення»

  • Презентація – узагальнення: Теоретичні відомості з теми «Дослідження функції за допомогою похідної»

Доповнення вчителя.

Найбільший внесок в розвиток диференціального числення внесли Ньютон і Лейбніц. Можливо для вас стануть повчальними факти із їх біографії.

Англійський вчений Ісак Ньютон народився 4 січня 1643 року в родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісак був кволою дитиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. У 12 років його віддали до найближчої міської школи. Спочатку хлопчик учився дуже погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один із його однолітків під час суперечки побив Ісака. Він дуже переживав, що не може відплатити, бо кривдник був набагато сильнішим. Тоді Ньютон вирішив зробити інакше: перевершити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі визнали його найкращим учнем школи. А згодом Ньютон став геніальним вченим. У повсякденному житті він дотримувався суворого режиму. Цим він загартував свій організм і до 80 років був міцним і здоровим.

Німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц народився 1 липня 1646 року в сімʼї професора Лейпцігського університету. Ще до школи малий так захопився читанням, що зовсім покинув дитячі ігри і з ранку до вечора не виходив із бібліотеки.

Самотужки вивчив латинську і грецьку мову. В 14 років закінчив школу і вступив до університету. В 16 років отримав ступінь бакалавра, а в 17 років – магістра, а у 18 років – став доктором наук .

ІІІ. Формування теми та мети уроку.

«Коли починаєш справу, спитай себе: «Що я маю зробити?» Після закінчення: «Що я зробив?» Піфагор.

Фундаментом математики служить математичний аналіз. Основою математичного аналізу – взаємопов’язані за змістом розділи – диференціальне та інтегральне числення.

Одним з важливих понять математичного аналізу є похідна. І сьогодні, у центрі уваги – дослідження функції за допомогою похідної і побудова її графіка.

В програмі з математики зазначено:

Учні повинні знати:

Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків: зростання, спадання функції; екстремуми функції.

Учні повинні вміти:

Формулювати правила диференціювання, достатні умови зростання і спадання функції, умови екстремуму функції.

Називати похідні основних елементарних функцій.

Знаходити похідні функцій, користуючись таблицею похідних і правилами диференціювання.

Застосовувати похідну для знаходження проміжків монотонності і екстремумів функції.

Тому сьогодні на уроці перед нами стоять завдання:

  • Ознайомитися з історією розвитку диференціального числення як галузі математики.

  • Закріпити поняття про диференціальне числення.

  • Повторити властивості функцій.

  • Закріпити теореми диференціального числення, які використовуються для дослідження функцій.

  • Закріпити алгоритм дослідження функції за допомогою похідної та побудови її графіка.

ІV. Мотивація навчальної діяльності.

«Математику вже навіть задля того потрібно вивчати, що вона розум до ладу приводить». Ломоносов

Сучасні фахівці повинні добре володіти математичним апаратом, який має надзвичайне значення для багатьох професій. Використання теорії диференціального числення є важливим для розвитку сучасної промисловості, економіки, бізнесу, фінансової справи. Тому девізом нашого уроку можуть бути слова «Без інтегрального і диференціального числення математика, як наука, не змогла би досягнути свого досконалого розвитку». Християн Гюйгенс, нідерландський фізик, механік, математик і астроном.

ІV. Актуалізація знань, умінь та навичок.

  1. Теоретичний бліц-турнір «Скринька пам’яті».

Вчитель дістає запитання, записані на аркушах, зі скриньки і зачитує їх, учні відразу відповідають. Неправильні відповіді виправляють самі учні (і лише за необхідності – вчитель). За правильну відповідь вчитель дає кожному учневі картку з написом «Ти найрозумніший», учні виставляють у маршрутний лист кількість набраних балів.

Для учнів зі слабкими знаннями використовується прийом «Незакінчене речення» .

Перелік запитань

  1. Що називається диференціюванням?

Диференціюванням називається знаходження похідної функції.

  1. Що називається похідною функції?

Похідною функції f у точці х0 називається число, яке дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, при умові, що приріст аргументу прямує до нуля.

  1. Чому дорівнює похідна сталої? Сʹ=0

  2. Похідна Х? Хʹ=1

  3. Похідна kX? (kX)ʹ=k

  4. Похідна kX+b? (kX+b)ʹ=k

  5. Похідна Хn? n)ʹ=nXn-1

  6. Похідна ? (

  7. Похідна ? ( )ʹ= -

  8. Що називається критичними точками функції?

Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує.

  1. Як знайти критичні точки функції?

Щоб знайти критичні точки функції, треба розв’язати рівняння: f '(х) = 0.

  1. Ознака зростання функції.

Якщо для всіх Х з даного проміжку виконується рівність f '(х), то функція f зростає на даному проміжку.

  1. Ознака спадання функції.

Якщо для всіх Х з даного проміжку виконується рівність f '(х), то функція f спадає на даному проміжку.

  1. Які точки називаються точками екстремуму?

Точками екстремуму називаються точки максимуму і точки мінімуму функції.

  1. Ознака мінімуму функції.

Якщо при переході через точку Х функція переходить від спадання до зростання, то точка Х є точкою мінімуму функції.

  1. Ознака мінімуму функції.

Якщо при переході через точку Х похідна змінює знак з «-» на «+», то точка Х є точкою мінімуму функції.

  1. Ознака максимуму функції.

Якщо при переході через точку Х функція переходить від зростання до спадання, то точка Х є точкою максимуму функції.

  1. Ознака максимуму функції.

Якщо при переході через точку Х похідна змінює знак з «+» на «-», то точка Х є точкою максимуму функції.

  1. Область визначення функції.

Область визначення функції – це множина значень, яких набуває аргумент.

  1. Яка функція називається парною?

Функція називається парною, якщо при всіх Х із області визначення функції виконується рівність:

f (-х) = f (х).

  1. Яка функція називається непарною?

Функція називається непарною, якщо при всіх Х із області визначення функції виконується рівність: f (-х) = - f (х).

  1. Властивість графіка парної функції.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат: ОУ.

  1. Властивість графіка непарної функції.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат: точки (0; 0).

  1. Що називається нулями функції?

Нулями функції називаються абсциси точок перетину графіка з віссю ОХ.

  1. Як знайти нулі функції?

Щоб знайти нулі функції, треба розв’язати рівняння: f (х) = 0

  1. Як знайти координати точки перетину графіка з віссю ОУ?

Щоб знайти координати точки перетину графіка з віссю ОУ, треба знайти значення функції в точці Х=0, тобто підставити Х=0 в аналітичну формулу, якою задана функція.

  1. Розвязування усних вправ. Математична естафета.

Знаходження похідних елементарних функцій.

2 - 5х

2 + 3х

8 - 8х

Х10

11

Х100

7 + 3

5 - 99

6 +9

3

6

5

5 -5х3+7

7 -7х2+7

8 -3х4+4

4 - 4х2

4 - 4х2

10 - 4х5

  1. Графічний диктант «Так чи ні?».

«Хоч слова «так» і «ні» короткі, все ж вони вимагають серйозних роздумів».

Піфагор

Властивості функцій. За даним графіком визначити правильне твердження чи ні.

Учні креслять трикутник з вершиною вгору, якщо твердження правильне і вершиною вниз, якщо неправильне.

Твердження для диктанту:

  1. Дана функція має три критичні точки;

  2. Функція має мінімум в точці х=5;

  3. Функція має максимум в точці х=-5;

  4. Функція зростає на проміжках [-5; 5] і [ 11; ∞];

  5. Функція cпадає на проміжках [-∞; -5] і [ 5; 11];

  6. Дана функція парна;

  7. Її графік симетричний відносно осі ОУ;

  8. Нулі функції: У= -3;

  9. На проміжках (-∞; -5) і ( 5; 11) f '(х) < 0;

10)На проміжках (-5; 5) і ( 11; ∞) f '(х) > 0.

Самоперевірка графічного диктанту.

Ключ для перевірки проектується на екран:

V. Застосування знань, закріплення вмінь і навичок при розв’язуванні вправ.

«Теорія без практики мертва і безплідна, практика без теорії неможлива». Рене Декарт.

Робота в групах. Дидактична гра «Шифрувальники».

Учні об’єднуються в 2 команди. Кожна команда отримує графік функції. Необхідно «зашифрувати» його за допомогою описування властивостей даної функції, достатніх для побудови графіка функції:

  1. Проміжки спадання;

  2. Проміжки зростання;

  3. Нулі функції;

  4. Координати точок максимуму;

  5. Координати точок мінімуму;

  6. Координати точки перетину графіка з віссю ОУ.

Команди обмінюються «шифровками» і кожна з команд за описаними властивостями функції будує її графік. Після цього побудований графік звіряється зі зразком.

За правильне «шифрування» члени команд отримують по 1 балу, за правильне розшифрування – по2 бали.

VІ. Контроль знань, умінь і навичок учнів.

Диференційована самостійна робота.

Дослідити функцію за допомогою похідної та побудувати її графік.

Учні самі вибирають завдання.

(Для учнів зі слабкими знаннями дозволяється допомога вчителя: за відповідь вчителя на кожне питання знімається 1 бал).

За правильно виконане завдання І або ІІ варіанту учень отримує 4 бали, а ІІІ або ІV – 6 балів.

В-І.

В-ІІ. у = х4 - 2 - 3

В-ІІІ.

В-ІV. у = 1 – 2х2.

Розв’язання завдань.

В-І.

1. D(y)=R

2. Знаходимо нулі функції:

і

3. Визначаємо парність: функція ні парна, ні непарна, неперіодична

4.

,

, - критичні точки

5Группа 11.

f

f'(-1)=3·(-1)2-6·(-1)>0

f'(1)=3·12-6·1<0

f'(3)=3·32-6·3>0

x=0 – точка максимуму

x=2 – точка мінімуму

fmin=f(0)=0

fmax=f(2)= 23-3·2=-4

6. Будуємо ескіз графіка

В-ІІ. у = х4 - 2 3

В-ІІІ.

1. D(y)=R

2. Знаходимо нулі функції:

x=0 і x=1 і x= -1

3. - графік симетричний щодо осі Оу.

4.

, ,

і й - критичні точки

5.

f

f'(-2)=4(-2) 3-2(-2)<0

f'(2)=4·23-2·2>0

і - точки мінімуму

х=0 – точка максимуму

6. Будуємо ескіз графіка.

ВV. у = 1 – 2х2.

VІІ. Підсумок уроку.

«Добре засвоєна мудрість не забувається ніколи». Піфагор.

Учні відповідають на питання

Чи досягли мети уроку?

Чи виконали всі завдання уроку?

використовуючи слайди презентації вчителя «Мета і завдання уроку», «Учні повинні вміти». Застосовуючи прийом «Пінг-понг», продовжують фрази:

Я навчилася

Я зрозумів…

Я закріпила…

Я повторив…

А тепер підведемо підсумок уроку в гумористичній формі. На екрані представлено графіки залежності рівня ваших знань від часу, в проміжку від початку першого уроку і до кінця другого. Будь ласка, виберіть за допомогою смайликів той графік, який, на ваш погляд, найбільше близький вам. Чи можна за цими графіками зробити висновок про швидкість приросту ваших знань під час уроку ?

Улыбающееся лицо 5Улыбающееся лицо 6

Якщо більшість із вас вибрали графіки 1 або 2, то рівень ваших знань з теми значно зріс і наш урок досяг мети.

Оцінювання знань учнів.

«Корінь навчання гіркий, а плоди його солодкі». Аристотель.

Учні рахують бали в аркуші оцінювання і оголошують вчителю, роблять самостійний аналіз власної роботи на уроці. Вчитель виставляє і коментує оцінки.

VІІІ. Домашнє завдання.

«Як крапля довбає камінь не силою, а частим падінням, так і людина стає вченою частим учінням». Дістервег.

Повторити теоретичні відомості з теми, підготуватися до контрольної роботи.

Дослідити функції за допомогою похідної та побудувати їх графіки:

І рівень.

ІІ рівень.

ІІІ рівень.

ІV рівень.

ІХ. Рефлексія.

Для взаємозв’язку вчителя з учнями використовується прийом «Скринька побажань».

Що сподобалося на уроці?

Що не сподобалося?

Що пропонуєш змінити?

Учні пишуть відповіді на аркушах і кладуть до скриньки.

Закінчити наш урок мені хотілося б словами Спінози: «Якщо ви хочете, щоб життя посміхалося вам, подаруєте йому спочатку свій гарний настрій».

Дякую вам за урок. Бажаю всім успіхів і гарного настрою!

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Розвиток ключових компетентностей педагога Нової української школи в умовах безперервної освіти»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
30 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.