До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
9
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Зростання і спадання функції.

Опис документу:
Тема уроку: Зростання і спадання функції. Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції. І. Аналіз контрольної роботи. ІІ. Сприймання і усвідомлення ознаки спадання та зростання функції на деякому проміжку. За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 13

Тема уроку: Зростання і спадання функції.

Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції.

І. Аналіз контрольної роботи.

ІІ. Сприймання і усвідомлення ознаки спадання та зростання функції на деякому проміжку.

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать проміжку, із умови х2 > х1 випливає, що f(x2) > f(x1).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).

Виходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(xo), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова: .

Функція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, із умови х2 > х1 випливає, що f(x2) < f(x1). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 33) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорів­нює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, вико­нується умова f'(x) < О.

На рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному про­міжку області її визначення зростати, а на іншому спадати. Характер по­ведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її по­хідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зроста­ючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(x) диферен­ційована і зростає на деякому про­міжку, то її похідна на цьому про­міжку не від'ємна.

Якщо функція у = f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.

Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які ви­ражають ознаки зростання і спадання функ­ції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(x) додатні на деякому про­міжку, тобто f'(x) > 0. Оскільки f'(x) = tg α, то із умови tg α > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напря­мом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35).

Якщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ ту­пий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тоб­то функція f(x) спадає (рис. 36).

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називаються ознака­ми зростання (спадання) функції на про­міжку.

Строге доведення цих тверджень виходить за рамки шкільного курсу математики.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають про­міжками монотонності цієї функції.

Приклад 1. Доведіть, що функція f(x) = х + зростає на проміж­ку (1; +).

Розв'язання

Знайдемо похідну: .

Якщо х > 1, то тобто f'(x) > 0 при х > 1, і тому функція зростає на проміжку (1; +).

Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:

1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).

2. Знайти похідну f'(x).

3. Розв'язати нерівності:

а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x);

б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x

Приклад. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 - 3х2.

Розв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х2 - 6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не­рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по­хідної: 3х2 - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і ви­значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)2 - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І2 – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 32 – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

а) у' > 0 в кожному із проміжків (-; 0); (2; +), отже, функція на цих проміжках зростає.

б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (-;0);(2;+); спадає на проміжку (0; 2).

III. Формування умінь учнів знаходити проміжки монотонності функції.

Виконання вправ № 1 (2; 8; 13; 15; 14) до розділу VIII.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 1. Запитання і завдання для повторення розділу VIII № 2, 4. Вправи до розділу VIII № 1 (3; 11).

3

Роганін Алгебра 11 клас, урок 13

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Професійний розвиток педагогічних працівників. Як навчати дорослих ефективно? »
Просіна Ольга Володимирівна
36 годин
590 грн