До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
1
дн.
0
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції.

Опис документу:
Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції. Мета уроку: Формування знань учнів про алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірити правильність виконання домашніх вправ за запи¬сами, зробленими на дошці до початку уроку, та відповісти на запитання, що виникли у учнів у процесі виконання домашніх завдань.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 16

Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції.

Мета уроку: Формування знань учнів про алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашніх вправ за запи­сами, зробленими на дошці до початку уроку, та відповісти на запитання, що виникли у учнів у процесі виконання домашніх завдань.

№ 1. 4) Область визначення — (-; 0) U (0; +).

Стаціонарних точок функція не має. Нано­симо на координатну пряму 0 і визначаємо знак у' на інтервалах (рис. 52).

Функція спадає на кожному з інтервалів (-; 0), (0; +).

№ 1. 10) Область визначення — (-; -1)U(-1;+).

Так як f'(x) < 0 для всіх х з області визначення, то функція спадає на кожному з інтервалів (-; -1), (-1; +).

№ 2. 3) Область визначення — (-; 0) U (0;+).

Знаходимо стаціонарні точки: у' = 0; =0; х2 – 4 = 0; х = 2 або х = -2.

Визначаємо знак у' при переході через стаціонарні точки (рис. 53).

хmax = –2, ymax= y(-2) = –4; xmin = 2, ymin= y(2) = 4.

7. 1) D(f) = (-; +).

f'(x) = 2e-x + 2х · (-е-x) = 2e-x(1 - х).

f(x) = 0; 2e-x(1 - x) = 0; x = 1 — стаціонарна точка.

Визначаємо знак у' при переході через стаціонарну точку (рис. 54).

Отже, функція зростає при х є (-; 1), спадає при х є (1; +),

хmax = 1, ymax = y(1) =.

№ 7. 7) D(f) = (0; +). f'(x)=lnx+x·=lnx+1. f'(x) = 0;

ln x + 1 = 0; ln x = -1; x = e-1; х = стаціонарна точка.

Точка х = розбиває область визначення функції на інтервали (рис. 55), визначаємо знак f'(x) на кожному інтервалі. Отже, f(x) спадає, якщо ; f(x) зростає, якщо . , .

II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці.

III. Усвідомлення і осмислення правила обчислення най­більшого і найменшого значення функції на відрізку.

Розглянемо рисунки 56 і 57, на яких зображено графіки функції у = f(x) і у = g(x), заданих на відрізку [а; b]. Функція у = f(x) зростає, а функція у = g(x) спадає. На відрізку [а; b] найменше значення функції у = f(х) дорівнює f(a), а найменше значення функції у = g(x) дорівнює g(b). Відповідно найбільші значення цих функцій на даному відрізку дорівнюють f(b) та g(a). Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на дея­кому відрізку, то найбільше і найменше значення функція набу­ває на кінцях цього відрізка.

Розглянемо рисунок 58, на якому зображено графіки трьох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і наймен­ше значення функцій неперервних і диференційованих на про­міжку [а; b] досягаються цими функціями або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

Отже, неперервна і диференційована функція на заданому відрізку приймає найбільше і найменше значення в стаціонар­них точках або на кінцях відрізка.

Таким чином, якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і має похідну в кожній внутрішній точці цього відрізку, то для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [а; b] треба:

1) знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);

2) знайти значення функції в тих стаціонарних точках, які на­лежать інтервалу (а; b);

3) із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = x + e-x на відрізку [-1; 2].

Розв'язання

Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 2:

f(-1) = -1 + el = e l, f(2) = 2 е -2 = 2 .

Знайдемо f’(x): f'(x) = (x + е-x)1 = 1 - е-x. Знайдемо стаціонарні точки:

f'(x) = 0; 1 - е-x = 0; 1 - = 0; еx = 1; x = 0.

Знайдемо значення функції в точці x = 0: f(0) = 0 +е°= 1.

Із чисел е - 1 1,72, 2 - 1,86 та 1 найбільшим є 2 - , а найменшим -1.

Відповідь: fнайб. = f(2) =2 - ; fнайм. = f(0) = 1.

Виконання вправ

Вправа № 3 (1; З; 5; 6) до розділу VIII.

При розв'язуванні деяких задач потрібно знаходити найбіль­ше або найменше значення функції не на відрізку, а на інтервалі.

В практичних задачах функція f(x) має на заданому інтервалі тільки одну стаціонарну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція f(x) при­ймає найбільше значення (рис. 59), а в точці мінімуму — най­менше значення на даному інтервалі (рис. 60).

Приклад. Знайдіть найменше значення функції у = х+, де х є (0; 10).

Розв'язання

Знайдемо похідну у =1 = . Стаціонарні точки x1= 6, х2 = -6. На інтервалі (0; 10) є тільки одна стаціонарна точка x = 6. При переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+» , і тому x = 6 — точка мінімуму. Отже, f найм. = f(6) =12.

Відповідь: f найм. = f(6) =12.

Виконання вправ______________________________

1. Знайдіть найбільше значення функції f(x) = - χ2 на інтервалі х < 0.

Відповідь: fнайб. = -3.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VIII № 12—14. Вправа № 3 (2; 4; 7).

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 16

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Психологічні особливості навчання вчителів у системі формальної і неформальної освіти»
Швень Ярослава Леонідівна
24 години
490 грн