До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
8
дн.
0
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Упорядковані множини. Перестановки.

Опис документу:
Тема уроку: Упорядковані множини. Перестановки. Мета уроку: Познайомити учнів з перестановками без повторень, формулою числа перестановок без повторення. Формування умінь знаходити число перестановок із n елементів. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 1-8 із «Запитання і завдання для повторення» розділу XI.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 35

Тема уроку: Упорядковані множини. Перестановки.

Мета уроку: Познайомити учнів з перестановками без повторень, формулою числа перестановок без повторення. Формування умінь знаходити число перестановок із n елементів.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 1-8 із «Запитання і завдання для повторення» розділу XI.

2. Колективне виконання вправ.

1) Виконати дії над комплексними числами:

а) ; б) .

2) Розв'язати рівняння:

а) 16х2 – 32х + 17 = 0; б) х2 6х + 11 = 0.

Відповідь: 1) а) 0,8 + 4,4і; б) 0,4. 2) а) х1,2 = 1 ± і; б) х1,2 = 3 ± і.

II. Мотивація навчальної діяльності.

Представникам різних професій доводиться розв'язувати за­дачі, в яких з деякої множини об'єктів потрібно вибирати еле­менти, що мають ті або інші властивості, розміщувати ці еле­менти в певному порядку. Так керівнику цеху потрібно розпо­ділити кілька видів робіт між працівниками, агроному — роз­містити посіви сільськогосподарських культур на кількох по­лях, хіміку — розглянути можливі зв'язки між атомами і моле­кулами тощо. Оскільки в таких задачах йде мова про комбіну­вання об'єктів, їх називають комбінаторними задачами, а розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, що відповідають тим чи іншим умовам можна скла­сти із заданих об'єктів, називається комбінаторикою.

В наш час комбінаторні задачі приходиться розв'язувати фізи­кам, хімікам, біологам, економістам, спеціалістам самих різних професій.

III. Сприймання і усвідомлення поняття перестановки, фор­мули числа перестановок (без повторення) з n елементів.

Коли ми говорили про множину, то порядок розміщення еле­ментів в множині не враховувався. Нерідко розглядають і впо­рядковані множини.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Рn.

Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.

Два елементи а і b можна упорядкувати двома способами: ab і bа. Це дві перестановки з елементів a і b. Отже, Р2 = 2.

Щоб утворити перестановки з трьох елементів а, b, с можна третій елемент с помістити попереду пари ab, посередині пари аb та вкінці пари ab:

cab, acb, abc.

Точно так із пари bа можна одержати:

cba, bca, bac.

Отже, для трьох елементів існує 2 · 3 = 6 способів розташу­вання по порядку, число перестановок з трьох елементів дорів­нює 6. P3 = 2 · 3 = 6.

Нехай маємо k елементів, із яких складені всі можливі Рk перестановки. Візьмемо одну із них: а1а2а3...аk. Добавимо ще один (k + 1)-й елемент. Його можна помістити:

1) перед першим елементом а1;

2) перед другим елементом а2;

3) перед третім елементом a3;

……………………………………

k) перед k-им елементом аk;

(k + 1) в кінці всіх елементів, тобто, всього k + 1 способом.

Отже, кількість перестановок із k + 1 елементів в (k + 1) раз більша, ніж число перестановок із k елементів, тобто,

.

Отже,

P1 = 1;

P2 = P1 · 2 = 1 · 2 = 2;

P3 = P2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 6;

P4 = Рз · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;

P5 = P4 · 5 = 12345 = 120;

………………………………

Pk = Pk-1 · k = 1-2· 3 ·... · k;

Pk+1=Pk · (k+1) = 1 · 2 · 3 ·...· k · (k+l).

Добуток натуральних чисел від 1 до даного натурального числа η називається факторіалом числа n і позначається n! В таблиці 14 наведено значення факторіала для значень п від 1 до 10.

Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тоб­то п! (читають: єн факторіалів).

Задача. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Розв'язання

P6 = 6! =l · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Виконання вправ ____________________________

1. Запишіть всі перестановки елементів множини

2. Обчислить:

а) 8!+9!; б) 9!-8!; в) ; г) .

3. Скоротіть дріб:

a) ; б) ; в) ; г) .

4. Виконайте дії:

a) ; б) .

5. Розв'яжіть рівняння:

а) ; б) .

6. Скільки елементів повинна містити множина, щоб число всіх перестановок було:

а) не більше 100; б) не менше 1000.

7. Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ?

8. Скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім різних конвертів, якщо в кожний конверт кладеться лише один лист?

9. Скільки п'ятицифрових чисел можна написати цифрами 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб усі цифри кожного числа були різними?

10. Із цифр 0, 1, 2, 3, 4 складені всі можливі п'ятизначні числа так, що в кожному числі цифри не повторюються. Скільки одержали чисел?

11. Скільки всього шестизначних парних чисел можна скласти із цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, якщо в кожному із цих чисел жодна цифра не повторюється?

12. З цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі можливі п'ятизначні числа без повторення цифр. Скільки серед цих п'ятизначних чисел таких, які:

а) починаються цифрою 5;

б) не починаються з цифри 3;

в) починаються з 53;

г) не починається з 543.

Відповіді: 1.

2. а) 403 200; б) 322 560; в) 100; г) 5.

3. a) k; б) ; в) (k - 2)(k - 1); г) k!.

5. a)7; б)5.

6. а) не більше 4; б) не менше 7.

7. 9! = 362 880.

8. 40 320 = 8!

9. 5! = 120.

10. 96.

11. 5! = 120.

12. а) 24; 6) 96; в) 6; г) 118.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ XII § 2 (1). Запитання і завдання для повторення роз­ділу XII №№ 11—14. Вправи №№ 13, 14, 15, 16.

3

Роганін Алгебра 11 клас, урок 35

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Протидія шкільному насильству»
Черниш Олена Степанівна
72 години
790 грн