До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
2
дн.
0
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій

Опис документу:
Тема уроку: Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій. Мета уроку: Вивчення теореми про додавання ймовірностей не¬сумісних подій та формування умінь учнів знаходи¬ти ймовірність подій, використовуючи теорему. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Фронтальне опитування за запитаннями №№ 15—16, 18, 19 із «Запитання і завдання для повторення» розділу XIII та пе¬ревірка правильності виконання вправ №№ 6, 19:

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 45

Тема уроку: Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій.

Мета уроку: Вивчення теореми про додавання ймовірностей не­сумісних подій та формування умінь учнів знаходи­ти ймовірність подій, використовуючи теорему.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальне опитування за запитаннями №№ 15—16, 18, 19 із «Запитання і завдання для повторення» розділу XIII та пе­ревірка правильності виконання вправ №№ 6, 19:

6. В = А3 + А4 + А5 + a6 «вийнято хоча б один із білетів 3, 4, 5, 6».

19. Подія А — «складено слово «хвиля», тоді .

2. Математичний диктант.

Стрілець тричі стріляє в ціль. Нехай подія Аі полягає у влу­ченні в ціль у результаті і-го пострілу (і = 1, 2, 3).

Що означає подія (1—4):

1. В = А1 + А2;

2. С = А1·А2;

3. D = Α1·Α2·A3?

4. Ε1 +A2 +A3.

Виразіть через події А1, A2 та A3 такі події:

5. F «влучення мало місце лише в результаті першого по­стрілу»;

6. G «влучення мало місце в результаті кожного з трьох пострілів»;

7. Η — «влучення мало місце лише в результаті одного по­стрілу»;

8. Е — «влучення мало місце не менше двох разів»;

9. Κ — «влучення мало місце не більше одного разу».

Відповіді:

  1. Влучення в ціль у результаті першого або другого пострілу.

  2. Влучення в ціль у результаті кожного з перших двох пострілів.

  3. Влучення в ціль у результаті кожного з пострілів.

  4. Влучення в ціль у результаті хоча б одного з трьох пострілів.

  5. F = А1··.

  6. G = Α1·A2·А3.

  7. Η = Α1 ··+ · Α2 · + · · А3.

  8. E = · A2 · А3 + А1 · · А3 + А1 · A2 · + А1 · A2 · А3.

9. Κ = · · + А1· · + · A2 · Аз + · · А3.

II. Сприймання і усвідомлення теореми про ймовірність суми двох несумісних подій.

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорів­нює сумі ймовірностей цих подій:

Якщо А В = , то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доведення

Нехай у результаті випробувань відбувається η елементарних подій, т з яких сприяють події А. Тоді

Якщо k подій з n подій сприяють події В, то

.

Оскільки події А і В — несу­місні, то немає подій, які б одно­часно сприяли і події А, і події В (рис. 131), тому події А + В сприяє т + k подій.

Отже, . Теорема спра­ведлива і для суми скінченої кількості попарно несумісних подій.

Приклад 1. В урні лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. З неї навмання виймають одну кульку. Яка ймо­вірність того, що вона не чорна?

Розв'язання

Нехай подія А — «поява не чорної кульки», А1 — «поява чорної кульки», A2 — «поява червоної кульки», А3 — «поява зеленої кульки», А4 — «поява синьої кульки». Тоді А = A2 + А3 + А4, причому A2, A3, А4 — несумісні, Ρ(Α2) = , P(A3) = , Ρ(Α4) = . За теоремою ймовірності суми несумісних подій дістанемо:

Р(А) = Ρ(Α2) + Ρ(Α3) + P(A4) =++==.

Відповідь: ·

З теореми про ймовірність суми несумісних подій виплива­ють два наслідки:

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А1, А2, … , Аn, які утворю­ють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці:

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

Доведення

Осільки А1 + А2 + ... + Аn = U, де U — вірогідна подія і за умовою дані події несумісні, то для них можна застосувати тео­рему додавання ймовірностей:

Р(А1 + А2 + ... + Аn) = Р(U);

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1:

Р(А)+Р()=1.

Оскільки протилежні події несумісні і утворюють повну гру­пу подій:

А + = U. Тоді Р(А) + Р() = P(U) = 1.

Приклад 2. В коробці є 20 деталей, із яких 15 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоч би одна стандартна.

Розв'язання

Подія А — «серед вибраних деталей є хоча б одна стандарт­на», подія — всі вибрані деталі нестандартні. Згідно з на­слідком 2 маємо: Р(А) + Р() == 1, звідси Р(А) = 1 – Р().

Знайдемо Р(А). Загальне число способів, якими можна виб­рати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює n = . Число нестандарт­них деталей 20 – 15 = 5, із цього числа деталей можна m = способами вибрати 3 нестандартних деталі.

Отже, .

Шукана ймовірність Р(А) = 1 – Р() = 1 – = .

Відповідь: ·

III. Формування умінь учнів знаходити ймовірності подій, використовуючи теорему та її наслідки.

Виконання вправ

1. Стрілець стріляє по мішені, яка розділена на три області. Ймовірність влучення в першу область дорівнює 0,45, в дру­гу — 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попаде або в першу, або в другу область.

Відповідь: 0,8.

2. Стрілець влучає в десятку з ймовірністю 0,05, у дев'ятку — з ймовірністю 0,2, у вісімку — з ймовірністю 0,5. Знайти ймовірність того, що стрілець набере не менше восьми очок після першого пострілу.

Відповідь: 0,75.

3. В ящику лежать 8 білих і 12 червоних однакових на дотик кульок.

а) Навмання вибирають 3 кульки. Яка ймовірність того, що хоч би одна з них буде білою?

б) Навмання вибирається 6 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не більше одної білої кульки?

в) Навмання вибирається 5 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не менше двох білих кульок?

г) Навмання вибирається 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони одного кольору?

Відповіді: а) ; б) ; в) ; г) .

4. В ящику лежать 8 червоних, 10 зелених і 12 синіх однакових на дотик кульок. Навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед вибраних кульок буде відсутній хоч би один колір.

Відповідь:

5. В майстерні працює 3 станка. За зміну перший станок може потребувати наладки з ймовірністю 0,15, другий станок — з ймовірністю 0,1, третій — з ймовірністю 0,12. Вважаючи, що станки не можуть потребувати наладки одночасно, знайти ймовірність того, що за зміну хоча б один станок потребує наладки.

Відповідь: 1 - 0,85 · 0,88 · 0,9 = 0,3268.

6. За статистичними даними ремонтній майстерні в середньому на 20 зупинок токарного станка приходяться: 10 — для замі­ни різця; 3 — через несправності привода; 2 — через несвоє­часну подачу заготовок. Останні зупинки відбуваються за ін­ших причин. Знайти ймовірність зупинки станка за інших причин.

Відповідь: 0,25.

7. Береться навмання трицифрове натуральне число від 100 до 999. Знайти ймовірність того, що хоч би дві його цифри спів­пали.

Відповідь: 0,28.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ XIII § 5. Запитання і завдання для повторення розділу XIII №№ 16—18. Вправи №№ 7—8, 23.

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 45

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Професійний розвиток педагогічних працівників. Як навчати дорослих ефективно? »
Просіна Ольга Володимирівна
36 годин
590 грн