До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
2
дн.
0
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Правила знаходження первісних.

Опис документу:
Тема уроку: Правила знаходження первісних. Мета уроку: формування знань учнів про правила знаходження первісних (невизначених інтегралів), формування умінь у знаходженні первісних для даних функцій, користуючись правилами знаходження первісних. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при виконанні до¬машніх завдань. 2. Математичний диктант.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 23

Тема уроку: Правила знаходження первісних.

Мета уроку: формування знань учнів про правила знаходження первісних (невизначених інтегралів), формування умінь у знаходженні первісних для даних функцій, користуючись правилами знаходження первісних.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при виконанні до­машніх завдань.

2. Математичний диктант.

Запишіть первісні для функцій:

1) х7; 2); 3) ; 4) ; 5) ; 6) ex;

7) πx; 8); 9) ; 10) cos х; 11) sin х; 12)

Відповідь: 1) +С; 2) ln|x| +C; 3) –+C; 4) +C; 5) +C; 6) ex + C; 7) +C; 8) tgx+C; 9) –ctgx + C; 10) sinx + C; 11) - cosx + C; 12) + C.

II. Сприймання і осмислення нового матеріалу.

Нагадаємо, що операція знаходження похідної для заданої функції називається диференціюванням. Обернена операція зна­ходження первісних для даної функції називається інтегруван­ням.

Правила інтегрування можна також одержати за допомогою правил диференціювання.

Правило 1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x).

Дійсно, оскільки F'(x)=f(x), G'(x)=g(x), то (F(xG(x))'=F'(xG(x)=f(xg(x).

Це правило можна сформулювати в іншій формі: інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = х + cos x.

Розв'язання

Оскільки для х одна із первісних є , а для cos x однією із первісних є sin х, то однією із первісних функції х + cos х є функція + sin х, отже, F(x) = + sin х+C.

Відповідь: F(x) = + sin х+C.

Приклад 2. Знайти

Розв'язання

=.

Відповідь: .

Правило 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C ста­ла, то CF(x) — первісна для функції Cf(x).

Дійсно, оскільки F(x) = f(x) то (CF(x))' = CF'(x) = Cf(x).

Це правило можна сформулювати в іншій формі: постійний множник можна виносити за знак інтеграла .

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(x) = 5еx + 7sin x - 3х2.

Розв'язання

Оскільки однією із первісних для функції ex є функція ex, то однією із первісних для функції x є x; оскільки однією із первісних для функція sinx є -cos x, то однією із первісних для функції 7sinx є -7cosx; первісною функції 2 є 3· = x3. Отже, F(x) =5еx - 7cos x - x3 + C — первісні для функції

f(x) = 5еx + 7sin x - 3х2.

Відповідь: F(x) = x - 7cos x - x3 + C.

Приклад 4. Знайдіть .

Розв'язання

Відповідь: .

Правило 3. Якщо F(x) є первісною для f(x), a k і b постійні числа, причому k 0, то F(kx +b) є первісною для функції f(kx + b).

Дійсно, за правилом похідної складеної функції маємо:

= F'(kx +b)·k= F'(kx +b)= f(kx + b).

Це правило можна записати в інтегральній формі:

Приклад 5. Знайдіть первісні для функцій: a) f(x) = (7 – 3х)5; б) f(x) = е2х-1.

Розв'язання

а) Оскільки первісною для функції х5 є функція , то згідно з правилом 3 шукані первісні: .

б) Оскільки однією із первісних для функції ех є функція ех, то згідно з правилом 3 маємо: F(x) = e2х-l + C.

Відповідь: a) ; б) F(x) = e2х-l + C.

Приклад 6. Знайдіть .

Розв'язання

Відповідь: .

III. Формування умінь учнів знаходити первісні для функцій, користуючись правилами знаходження первісних.

Виконання вправ.

1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

a) f(x) = 5 - 5х2; б) f(x)= + в) f(x) = + 3; г) f(x) = 5·-.

2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

a) f(x)=5cosх-3sin x; б) f(x)=2ex + 3cos x; в) f(x)=+10x; г) f(x)=-.

3. Знайдіть невизначені інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Знайдіть невизначені інтеграли:

a) ; б) ;

в) ; г) .

5. Знайдіть невизначені інтеграли:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

6. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

  1. f(x) = 1 - cos 3х + 2el-2х; б) f(x) = 103х-1 - 2cos 6x; в) f(x) = 3sin 2x - ;

г) f(x) = + ; д) f(x) = ; є) f(x) = ex + 10-2x+3.

Відповідь:

1.a);б);в); г)

2. a) F(x) = 5sin х + 3cos х+ C; б) F(x) = х + 3sin х + C;

в) F(x) = 41n|x| + + C; г) F(x) = 3tg х + 5ctg х + C.

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ех2sinх+С; б) 3ex+cosх+C; в) ; г) 4tgх+31n|х|+х+C.

5. a); б); в) ; г) ; д) ; e).

6. а) ; б) ;

в); г) ;

д) ; є) .

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ IX § 3. Запитання і завдання до розділу IX № 8. Вправи № 3 розділу IX, № 3 (1—7) розділу Χ (записати у вигляді невизначених інтегралів).

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 23

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Українська мова у професійній діяльності державних службовців. Публічна комунікація»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
36 годин
590 грн