До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
1
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Похідна складеної функції.

Опис документу:
Тема уроку: Похідна складеної функції. Мета уроку: Формування поняття складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити по¬хідну складеної функції. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Учні перевіряють правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими до початку уроку.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 9

Тема уроку: Похідна складеної функції.

Мета уроку: Формування поняття складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити по­хідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Учні перевіряють правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими до початку уроку.

10

1) у' = (х10 + х5 + х)' = 10)' + (х5)' + х = 10х9 + 5х4 +1;

3) y ' = (2x2 + x 52)' = (2x2)' + (x)' – (52)' = 2(x2)' + x' 0 = 4x +;

5) у' = (х2 sin x)' = (x2)' · sin x + x2 (sin x)' = 2х sin x + x2 cos x;

7) y' = ( + )' = ()'+()' = + 0 = .

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому зна­ченні аргументу хо:

а) f(x) = , хо = -1. (2 бали) б) f(x) = х cos x, хо = π. (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (x2 - 1)(х3 + x). (2 бали) б) у = . (2 бали) в) у = +· (4 бали)

Варіант 2

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому зна­ченні аргументу хо:

а) f(x) = , хо = -1. (2 бали) б) f(x) = x·sin x, хо =· (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (х2 + 1)(х3 - 1). (2 бали) б) у = · (2 бали) в) у = +· (4 бали)

Відповідь:

В-1. 1. а) -; б) -1. 2. а) у'=5х4-1;

B-2.1.a) ; б)1. 2. а) у'=5х4+3х2-2х;

IV. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ зна­чення функції у, яка задана формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x2, а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

!Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію у = . Вона є складеною із функцій u = cos х, у = , де cos x внутрішня функція, зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x) = sin х, g(x) = x2.

Розв'язання

f(g(x)) = sin g(x) = sin x2;

g(f(x)) = (f(x))2 = (sinx)2 = sin2 х.

Виконання вправ

1. Задайте формулами елементарні функції f і g, із яких побу­дована складена функція у = f(g(x)):

а) у = cos (2х + 3); б) у = (2x + 3)7; в) у = ; г) у = sin2 x.

Відповіді: а) u = g(х) = 2х + 3; y = f(u) = cos u;

б) и = g(x) =2х+3; у = f(u) = u7;

в) u = g(x)2 +2х; у = f(и) =;

г) u = g(x) = sin x; у = f(u) = u2.

2. Дано функції: f(x) = sin x; g(x) =; h(x) = x5 + 1. Побудуйте функції:

а) у=f(g(x)); б) у=f(h(x)); в) у = g(f(x)); г) у = g(h(x)); д) у= h(f(х)); є) у = h(g(x)).

Відповіді: а) у = sin g(x) = sin; б) y = sin h(x) = sin(x5 +1);

в) y = =; г) y = = ;

д) у = f5(x) +1 = sin5 x +1; є) y = g5(x) +1 = ()5 +1 =x2 + 1.

У складеній функції у = f(g(x)) присутня проміжна змінна u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використову­ючи при цьому спеціальні позначення:

— похідна функції у по аргументу x;

— похідна функції у по аргументу u;

— похідна функції u по аргументу x.

Теорема. Похідна складеної функції у == f(g(x)) знаходиться за формулою

де u = g(x),

або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішній функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргу­менту.

Доведення

Будемо вважати, що функція u = g(x) має похідну в точці xo, а функція у = f(u) має похідну в точці uo = g(xo), тобто існують границі , і

Δu = g(xo + Δx) - g(xo) 0.

Нехай аргументу xo надано приросту Δx, тоді змінна u набуде приросту Δu 0. Поскільки g(x) одержала приріст Δu, то функція у також одержить приріст Δy = f(u + Δu) f(u). Приріст Δx зумовив виникнення приросту Δu і Δy.

Подамо = · . Перейдемо до границі при Δx 0 (при цьому Δu0).

або

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3x31)5.

Розв'язання

у = (3х3 1)5складена функція у = u5, де u = 3x3 1, тоді y' = (u5)' · (3х31)’ = 5u4 · 9х = 5(3х3 -1)4 · 9х = 45х(3х3 1)4.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3 – 1:

у' = ((3x3 1)5)' = 5(3х3 -1)4 · (3x3 1)' = 5 · (3x3 1)4 · 9x = 45x(3x3 1)4.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = ; б) у = sin (3х + 5); в) у = cos2x; г) y = cos x2.

Розв'язання

б) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

в) у = (cos2 x)' = 2 cos x· (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

г) y’ = (cos x2)' = - sin x2 · (x2)' = -2x sin x2.

Виконання вправ____________________________

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х + 2)50; б) у = (6 - 7х)10; в) у = ; г) у = .

Відповідь: а) у' = 150 · ( + 2)49; б) у' = -70 · (6 – 7x)9;

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у' = cos 6x; б) y = sin3 x; в) у =, г) у = ctg x4.

Відповідь: а) у' = -6 sin 6х; б) у' = 3sin2 x cos x;

III. Підведення підсумків уроку.

При підведенні підсумків уроку можна скористатися табли­цею 6.

Таблиця 6

IV. Домашнє завдання.

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23—28. Вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 9

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Стратегії профілактики та вчасного реагування на прояви суїцидальної поведінки неповнолітніх»
Мельничук Вікторія Олексіївна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.