До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
1
дн.
2
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій.

Опис документу:
Тема уроку: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій. Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції (з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні по¬хідних функцій. І. Перевірка домашнього завдання.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 10

Тема уроку: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій.

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції (з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні по­хідних функцій.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити правильність виконання домашніх вправ за запи­сами, зробленими на дошці до уроку.

10.

6) y ' = ((l + sin x)2)' = 2(l + sin x)·(l + sin.x)' = 2 (1 + sin x) · cos x;

10) у = () = · (cos x) = ;

14) у' = (ctg3 x)’ = 3ctg2 x · (ctg x)' = 3ctg2 x · ==.

22) y = = 5+ =+ 0 = .

2. Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці 7.

Таблиця 7

1

2

3

4

1

y = (2x + 1)3

y=(1 3х)5

y =

y =

2

у = cos2 x + sin2 x

y = cos 3х

у = cos2 х

у = sin

3

у =

y = tg x · ctg x

y =

y = tg 2x

4

y = cos3 x

y =

y = sin2 х3

y = ctg

II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції.

Перш ніж знаходити похідну показникової функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у = aх проходить через точку (0; 1). Нехай α — величина кута, утвореного дотичною до графіка функції у = аx в точці (0; 1) з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута α приблизно дорівнює 34° (рис. 29), а при а = 2, α = 47° (рис, 30).

Якщо основа а показникової функції у = aх зростає від 2 до 3, то величина ку­та α зростає і приймає значення від 34° до 47°. Отже, існує таке значення а, при якому дотична, проведена до графіка функції у = aх в точці (0; 1) утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45° (рис. 31). Таке значення а прийнято по­значати буквою е, е — число ірраціо­нальне, е = 2,718281828459...

Таким чином, дотична до графіка функції у = еx в точці (0; 1) утворює з

додатним напрямом осі абсцис кут, який дорівнює 45º.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції f(x) == еx в точці x= 0 дорівнює tg 45° = 1.

Отже, f(0) = = 1.

Знайдемо тепер формулу похідної функції f(x) = еx.

Нехай аргумент хo одержав приріст x, тоді:

  1. Δf = =

  2. .

Таким чином, похідна функції ex дорівнює самій функції:

x)’ = еx .

Знайдемо похідну функції f(x) = ax, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції: Отже,

.

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = 5х; б) у = е3 - 2х; в) у = (0,3sinx); г) у = .

Розв'язання

а) у' = (5х)' = 5хln 5;

б) у' =32x)' = e32x · (3 - 2х)' = -2e32x;

в) y' = ((0,3)sinx)'= (0,3)sinxln 0,3 · (sin x)' = (0,3)sinx ln 0,3 · cos x = ln 0,3cosx(0,3)sinx;

г) у = ()'=·ln5·(x2+2х+3)'= ln5–(2х+2) =

=2ln5(x+1).

Виконання вправ

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), № 2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Χ).

III. Сприймання і усвідомлення матеріале про похідну логарифмічної функції.

Розглянемо функцію у = ln x. За основною логарифмічною тотожністю:

для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:

, або . Звідси . Отже, .

Знайдемо похідну функції у = logаx. Так як loga х = , то

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = log2x; б) у = ln 2 + 1); в) y = lg (3x); г) у = ln2 (5х + 1).

Розв'язання

а) y’ = (log2x)’ = ;

б) y’ = (ln(x2+1))’ = ·(x2+1)’ = ;

в) y’ = (lg(3x))’ = ·(3x)’ = =;

г) y’ = (ln2(5x+1))’ = 2ln(5x+1)·(ln(5x+1))’ = 2ln(5x+1)··(5x+1)’=

= 2ln(5x+1)·= .

Виконання вправ________________________________

№ 2 (14; 16; 18; 32; 34; 36; 38; 40; 42) із вправ до розділу X підручника.

IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції у = хn, де n R.

Ми довели, що n)' = n·xn-1 для n Ζ.

Розглянемо функцію у = хn, де n R.

Знайдемо похідну цієї функції:

у' = (xn)' = ((elnx)n)'= (еnlnx)' = еnlnx· (n ln x)' = =(elnx)n · n ·= xn· n · = n · xn-1.

Отже, n)' = n·xn-1 для всіх nR.

Приклад 1. Знайдіть похідні функції:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв'язання

Виконання вправ______________________________

№ 8 (4, 6, 8, 10, 12, 14, 18) із вправ до розділу X підручника.

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ Χ § 1, 2, 5. Запитання і завдання для повторення розділу Χ № 1—4, 10. Вправи № 2 (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17), 8 (1; 3; 5; 7; 9; 11).

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 10

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Основи комунікативної компетентності молодшого школяра. Практичні матеріали»
Мельничук Вікторія Олексіївна
30 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.