До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
0
9
дн.
2
2
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Комбінації. Трикутник Паскаля.

Опис документу:
Тема уроку: Комбінації. Трикутник Паскаля. Мета уроку: Познайомити учнів з комбінаціями без повторень, виведення формули для числа комбінацій з n еле¬ментів по m елементів без повторень. Вивчення вла¬стивостей чисел , познайомити учнів з трикут¬ником Паскаля.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 37

Тема уроку: Комбінації. Трикутник Паскаля.

Мета уроку: Познайомити учнів з комбінаціями без повторень, виведення формули для числа комбінацій з n еле­ментів по m елементів без повторень. Вивчення вла­стивостей чисел , познайомити учнів з трикут­ником Паскаля.

І. Перевірка домашнього завдання.

Фронтальна бесіда за запитаннями .№№ 11—13, 15—16 із «За­питання і завдання для повторення» до розділу XII та перевірка правильності виконання домашніх вправ.

17. Число n фотокарток, які були роздані,— це число розміщень з 35 по 2:

n = = 35 · 34 = 1190.

22. а) ;

б)

.

II. Сприймання і усвідомлення поняття комбінації без по­вторень, формули числа комбінацій з n елементів по т.

Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини мож­на утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.

Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т еле­ментів.

Число комбінацій з n елементів по т позначають символом . Наприклад: = 3.

З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.

Таким чином, = 6, = 3.

Домовилися вважати, що

= 1, = n , = 1.

Виведемо формулу для знаходження значень , для цього порівняємо числа і при одних і тих же значеннях т і п.

Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Рm спо­собами. У результаті з однієї комбінації утворюється розмі­щень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Рm разів менше за число роз­міщень з тих самих елементів. Тобто = , звідси

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисель­ник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбіль­ше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних нату­ральних чисел.

Враховуючи, що можна одержати . Отже,

Приклад. Обчислити a) ; б) .

a) ; б)

Задача. Скількома способами з 25 учнів можна вибрати 3 черго­вих.

Розв'язання

Вибір 3 чергових із 25 учнів — це комбінація 3 учнів із 25 учнів. Отже,

п = = 2300.

Відповідь: 2300 способами.

Виконання вправ______________________________

1. Випишіть комбінації трьох елементів з множини {a, b, c, d, h}.

Відповідь: {а, b, c}, {Ь, c, d}, {c, d, h}, {а, b, d}, {b, c, h], {а, b, h}, {b, d, h},

{а, c, d}, {а, d, h}, {а, c, h}.

2. Обчисліть:

а) ; б) ; в) +; г) +.

Відповіді: а) 28; б) 28; в) 6; г) 101.

3. Із 20 робітників треба виділити 6 для роботи на елеваторі. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: = 38 760.

4. На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибра­ти дві із них?

Відповідь: = 595.

5. Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці «Спортлото».

Відповідь: =13 983 816.

6. Скільки існує відрізків, кінцями яких є n даних точок?

Відповідь: .

7. Скільки різних площин можна провести через n точок просто­ру, із яких жодні чотири не лежать в одній площині, якщо кожна площина проходить через три із даних точок.

Відповідь: .

8. У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n-кутника, якщо жодні три з них не перетинаються в одній точці?

Відповідь: .

9. У турнірі брало участь n шахістів, і кожні два шахісти зуст­рілись один раз. Скільки матчів було зіграно в турнірі?

Відповідь: ·

10. Скільки чоловік приймало участь у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним із останніх по одній партії, а всього було зіграно 210 партій?

Відповідь: 21 чоловік.

11. Розв'язати рівняння:

а) =21; б) 5= ; в) + = 15 (x -1); г) + = 15 (у - 2).

Відповіді: а) 7; б) 14; в) 9; г) 10.

III. Сприймання і усвідомлення деяких властивостей числа комбінацій та поняття трикутника Паскаля.

  1. Нехай дано множину, яка містить n елементів. Виберемо одну комбінацію із та елементів, цій комбінації відповідає одна комбінація невибраних (n — т) елементів. Кількість комбі­націй із n елементів по т дорівнює , а кількість комбінацій з n елементів по (п - т) елементів дорівнює . Поскільки кожній комбінації вибраних т елементів відповідає одна ком­бінація невибраних (п - т) елементів, то = . Отже, для будь-яких п і т (0 т п) справедлива рівність:

= .

Цей же результат можна одержати безпосередньо із формули числа комбінацій, якщо записати її за допомогою факторіалів:

= = .

Ця властивість дає змогу спростити обчислення числа комбі­націй.

Приклад. Обчислити .

Розв'язання

.

2. Розглянемо множину, яка містить п елементів. Виділимо т-елементні підмножини, і поділимо їх на дві групи: підмножини, до складу яких входить деякий елемент а даної множи­ни, і підмножини, до складу яких а не входить. Число підмножин у першій групі дорівнює , бо кожну таку підмножину дістають приєднанням до а деякої (т-1)-елементної підмножини. Число підмножин у другій групі дорівнює . От­же, = + . Цю рівність можна довести і по-іншому:

+=

.

3. Справедлива рівність

+++…++= 2n.

Оскільки — число m-елементних підмножин деякої мно­жини, що містить n елементів, то +++…++ число всіх підмножин множини із n елементів. Доведемо, що число всіх підмножин множини, що містить n елементів, дорівнює 2n.

Пронумеруємо елементи множини і для кожної підмножини даної множини побудуємо послідовність довжини n з нулів та одиниць за таким правилом: на m-му місці пишемо 1, якщо елемент з номером т входить до підмножини, і 0, якщо еле­мент з номером т не входить до підмножини. Отже, кожній підмножині відповідає своя послідовність нулів та одиниць. Наприклад, порожній множині відповідає послідовність з одних нулів, всій множині — послідовність з одних одиниць. Число всіх підмножин дорівнює числу всіх можливих по­слідовностей довжини п, складених з нулів та одиниць, і до­рівнює 2 · 2 ·... · 2 = 2n.

Виконання вправ______________________________

1. Обчисліть

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповіді: а) 100; б) 1000; в) 161 700; г) 499 500.

2. Випишіть всі підмножини множини {а, b, с}.

Відповідь: , {a}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}.

3. Скільки підмножин має множина, яка містить:

а) 6 елементів; б) 10 елементів; в) не містить елементів; г) п елементів. Відповіді: а) 26 = 64; б) 210 = 1024; в) 2° = 1; г) 2n.

4. Покажіть, що істинна рівність:

++++++= 26.

5. Доведіть справедливість рівностей:

а) ++=++; б) ++=++.

6. Обчисліть:

а) +++; б) +++.

Відповіді: а) 64; б) 64.

7. Учень має по одній монеті в 1 коп., 2 коп., 5 коп., 10 коп., 25 коп. Скількома способами він може ці монети розкласти в дві кишені?

Відповідь: 25 =32.

8. У деякому царстві немає двох людей, які б мали однаковий набір зубів. Скільки людей мешкає там, якщо кількість зубів у мешканців утворює всю множину можливих варіантів?

Відповідь: ++…++ = 232 = 4 294 967 296.

Запишемо всі можливі значення (п = 0, 1, 2, ..., т = 0, 1, 2, ... п) у вигляді трикутної таблиці.

Враховуючи властивості числа комбінацій , а саме:

1) ===…=== 1.

2) = +, тоді цю таблицю легко записати у числово­му вигляді:

Ця таблиця побудована так: у першому рядку записано 1, у другому — з боків від неї по одиниці. У кожному наступному рядку перші та останні числа — одиниці, а кожне інше дорівнює сумі двох найближчих від нього чисел зверху (властивість 2).

Слід зазначити, що числа ряду розміщені на однаковій відстані від його кінців, рівні між собою. Це випливає з рівності:

= . Сума чисел т-го рядка дорівнює 2m.

Цю трикутну таблицю називають трикутником Паскаля за ім'ям французького математика Б. Паскаля (1623—1662), який займався дослідженням властивостей цієї таблиці й застосуван­ням їх до розв'язування задач та вправ.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ XII § 2; Запитання і завдання для повторення розділу XII №№ 18—21. Вправи №№ 18, 24, 29.

6

Роганін Алгебра 11 клас, урок 37

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Методична діяльність в умовах децентралізації освіти в Україні»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
36 годин
590 грн