До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
4
дн.
0
7
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалеж¬них подій.

Опис документу:
Тема уроку: Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалеж¬них подій. Мета уроку: Формувати уміння учнів знаходити ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Перевірити правильність виконання домашніх вправ.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 47

Тема уроку: Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалеж­них подій.

Мета уроку: Формувати уміння учнів знаходити ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити правильність виконання домашніх вправ.

9.

Подія А; — «не буде виготовлено жодної нестандартної деталі на і-й зміні» і = 1, 2, 3.

Р(А) = 0,9.

Подія А = А1 · A2 · A3 — всі деталі, виготовлені за три зміни, стандартні.

Р(А) = Р(А1) · Р(А2) · Р(А3) = 0,93 = 0,729.

Відповідь: 0,729.

10.

Події: А — «попадання у ворота куль»;

А1 — «попадання у ворота першої кулі»;

A2 «попадання у ворота другої кулі».

Р(А1) = Р(А2) =0,4. А = · A2 + Α1 · + А1 · A2 і

Р(А) = Р() · Р(А2) + Р(А1) · Р() + Р(А1) · Р(А2) = (1 – 0,4) · 0,4 + (1 – 0,4) · 0,4 + + 0,4 · 0,4 = 0,64.

Відповідь: 0,64.

25. Події: А — «навмання взята деталь бракована і за формою, і за розмірами»;

А1 — «навмання взята деталь бракована за формою», Р(А1) = 0,05;

A2 «навмання взята деталь бракована за розмірами», Р(А2) = 0,01.

А = А1 · А2, Р(А) = Р(А1 · А2) = Р(А1) · Р(А2) = 0,01 · 0,05 = 0,0005.

Відповідь: 0,0005.

2. Математичний диктант.

В двох ящиках знаходяться деталі: в першому — 10 (із них 3 стандартних); в другому — 15 (із них 6 стандартних). З кож­ного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовір­ність того, що:

1) деталь з першого ящика стандартна;

2) деталь з другого ящика стандартна;

3) обидві деталі стандартні;

4) обидві деталі не стандартні;

5) хоч би одна деталь не стандартна;

6) хоч би одна деталь стандартна.

Відповіді: 1) 0,3; 2) 0,4; 3) 0,12; 4) 0,42; 5) 0,88; 6) 0,58.

II. Сприймання і усвідомлення теореми про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

Під час розв'язування задач іноді доводиться визначати ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій А1, А2, ..., Аn, ймовірність яких відома.

!Теорема. Якщо події А1, A2, А3, ..., Аn ,— незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через ймовірність цих подій за фор­мулою Р(А) = 1 – (1 – Р(А1)) · (1 – Р(А2)) · ... · (1 – Р(Аn)).

Доведення

Позначимо через А подію, яка полягає в здійсненні хоч би однієї з подій А1, А2, ..., Аn. Події А і , , ..., (жодна з подій не наступила) протилежні, отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1: Ρ(Α) + Ρ( · ·...· )=1.

Звідси, користуючись теоремою про ймовірність добутку не­залежних подій, одержимо:

Р(А) = 1 – Ρ( · · ... · ) = 1 – Р() · Р() ·... · Р() = 1 – (1 – Р(А1)) (1 – Ρ(Α2)) ·... - (1 – Р(Аn)).

Наслідок. Якщо події А1, A2, A3, ..., Аn мають однакову ймо­вірність р, то ймовірність здійснення принаймні однієї із них Р(А)=1 – (1 ρ)n.

Розглянемо застосування цієї теореми до розв'язування за­дач.

Задача 1. Ймовірності попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат відповідно дорівнюють 0,8; 0,7 і 0,9. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при одному залпі з усіх гармат.

Розв'язання

Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результатів стрільб з других гармат, тому події А1 — «влу­чення першою гарматою», A2 — «влучення другою гарматою»; А3 — «влучення третьою гарматою» незалежні. Якщо А — «хоч би одне влучення», то

Р(А) = 1 - Р() · Р() · Р() = 1 – (1 – Р(А1))(1 – Р(А2))(1 – Р(А3)) =

= 1 – (1 – 0,8)(1 – 0,7)(1 – 0,9) = 1 – 0,2 · 0,3 · 0,1 = 0,994.

Відповідь: 0,994.

Задача 2. В типографії є 4 типографські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює в даний момент, до­рівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що в даний момент працює хоча б одна машина.

Розв'язання

Нехай подія А — «працює в даний момент хоча б одна маши­на», тоді за наслідком з теореми:

Р(А) =1 (1 р)n = 1 (1 0,9)4 = 0,9999.

Відповідь: 0,9999.

Задача 3. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у ціль, дорівнює 0,4. Скільки пострілів повинен вико­нати стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,9 він влучив у ціль хоча б один раз?

Розв'язання

Подія А — «при n пострілах стрілець влучить в ціль хоч би один раз».

Згідно з наслідком з теореми маємо:

Р(А) = 1 – (1 – ρ)n. Оскільки Р(А) 0,9, ρ = 4, то одержимо:

1 – (1 – 0,4)n 0,9; 0,6n ≤ 0,1; n·lg0,6 ≤ lg0,l, оскільки lg0,6 < 0,

то

Отже, п 5, тобто стрілець повинен зробити не менше 5 по­стрілів.

Відповідь: не менше 5.

Задача 4. Ймовірність того, що подія здійсниться хоч би один раз у трьох незалежних випробуваннях, дорівнює 0,936. Знайти ймовірність здійснення події в одному випробуванні, якщо відомо, що в усіх випробуваннях ймовірність здійснення події одна і та ж.

Розв'язання

Згідно з наслідком з теореми:

Р(А) = 1 – (1 – ρ)n. За умовою Р(А) = 0,936, п = 3, то

0,936 = 1 – (1 – ρ)3; (1 - ρ)3 = 0,064; 1 - ρ = 0,4; ρ = 1 - 0,4; ρ = 0,6.

Відповідь: 0,6.

Виконання вправ

1. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від од­ного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влу­чив хоч би один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірності влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.

Відповідь: 0,95.

2. Ймовірність влучення в ціль з одного пострілу дорівнює 0,8. Яка ймовірність влучення в ціль хоча б один раз з двох по­стрілів.

Відповідь: 0,96.

3. Ймовірність попадання в мішень при одному пострілі дорів­нює 0,5. Яка ймовірність хоч би одного влучення при десяти ' незалежним чином проведених пострілах?

Відповідь: 1 – 2-10 0,999.

4. При виготовленні деталі проводиться чотири операції. Ймо­вірність одержання браку після кожної операції дорівнює 0,01. Яка ймовірність випуску деталі без браку, якщо операції незалежні.

Відповідь: (0,99)4 = 0,96.

5. Знайти ймовірність того, що за вісім кидків монети принаймні один раз випаде герб.

Відповідь: .

6. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у десятку, дорівнює 0,6. Скільки пострілів повинен зробити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він влучив в десят­ку хоча б один раз.

Відповідь: n > 2.

7. Ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних ви­пробувань подія А настане принаймні один раз, дорівнює 0,59. Знайдіть ймовірність настання події А при одному випробу­ванні, якщо вона під час всіх випробувань однакова.

Відповідь: .

III. Підведення підсумків уроку.

IV. Домашнє завдання.

Розділ XIII § 7; Запитання і завдання для повторення розділу XIII № 21.

Вправи №№ 11; 40; 41.

4

Роганін Алгебра 11 клас, урок 47

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Активізація творчого потенціалу вчителів шляхом використання ігрових форм організації учнів на уроці»
Черниш Олена Степанівна
36 годин
590 грн