До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
3
дн.
0
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Екстремальні точки. Локальний екстремум функції.

Опис документу:
Тема уроку: Екстремальні точки. Локальний екстремум функції. Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження екст¬ремумів функції. І. Перевірка домашнього завдання. 1. Два учня відтворюють розв'язування вправ № 1 (3; 11) розділу VIII. 2. Колективне розв'язування вправ.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 14

Тема уроку: Екстремальні точки. Локальний екстремум функції.

Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження екст­ремумів функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Два учня відтворюють розв'язування вправ № 1 (3; 11) розділу VIII.

2. Колективне розв'язування вправ.

Знайдіть проміжки монотонності функцій:

а) f(x) = х35x232х + 9; б) f(x)=x3 х2 –3х+5.

Відповіді: а) функція зростає на кожному із проміжків (-; -2), ; спадає на проміжку ; б) функція зростає на кожному із проміжків (-; -1), (3; +); спадає на проміжку (-1; 3).

3. Відповіді на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.

II. Сприймання і усвідомлення поняття точок екстремуму та екстремуму функції.

При дослідженні поведінки функ­ції в деякій точці зручно користува­тися поняттям околу. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтер­вали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3.

Розглянемо графік функції, зоб­ражений на рис. 38. Як видно із ри­сунка, існує такий окіл точки x = а, що найбільше значення функція у = f(x) в цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно точку х = b називають точкою мінімуму функції y = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше по­рівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.

Означення. Точка а із області визначення функції f(x) називаєть­ся точкою максимуму цієї функції, якщо існує та­кий окіл точки а, що для всіх х а із цього околу виконується нерівність f(x) < f(a). (Рис. 39).

Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називаєть­ся точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх х b із цього околу вико­нується нерівність f(x) < f(b). (Рис. 40).

Точки максимуму і точки мінімуму називають точ­ками екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції (максимум і мінімум функції).

Точки максимуму позначають хmax , а точки мінімуму — хmin . Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: уmax і уmin.

Виконання вправ______________________________

1. Для функцій, графіки яких зображено на рисунках 41, α—г знайдіть:

1) точки максимуму і мінімуму функції;

2) екстремуми функції.

Відповідь: 1) а) хmax= 3, xmin= 0, хmax= 3; б) хmax= – 8, xmin= – 6; хmax= – 3; xmin = 1; хmax= 5; в) xmin= –1; хmax= 1; г) xmin= –2; хmax= –1; xmin= 0; хmax= 1; xmin= 2;

2) a) ymax= 4; ymin=0; б) ymax= 5; ymax= 7; ymin= 0; в) ymin= –1; ymax= 1; г) ymin = –3; ymin= 0; ymax= 2.

III. Сприймання і усвідомлення необхідної умови екстремуму, поняття стаціонарної точки.

Розглянемо функцію у = f(x), яка визначена в деякому околі точки xo і має похідну в цій точці.

Якщо xo точка екстремуму диференційованої функції у = f(x), то fo) = 0.

Це твердження називають теоре­мою Ферма на честь П'єра Ферма (1601—1665) — французького мате­матика.

Теорема Ферма має наочний гео­метричний зміст: в точці екстрему­му дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f’(хo) до­рівнює нулю (рис. 42).

Наприклад, функція f(x) = х2 – 2 має в точці хo = 0 мінімум (рис. 43), її похідна f'(0) = 0. Функція f(x) = 1 - х2 (рис. 44) має максимум у точці хo = 0, f(x)= – 2х і f’(0) = 0.

Слід зазначити, що якщо f’(хo) = 0, то хo не обов'язково є точкою екстремуму.

Наприклад, якщо f(x) = х3, то f`(x) = 3x2 і f`o) = 0. Проте точка х = 0 не є точкою екст­ремуму, оскільки функція f(x) = x3 зростає на всій числовій осі (рис. 45).

Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рів­няння f’(x) = 0, але не завжди корінь рівнян­ня f’(x) = 0 є точкою екстремуму.

Внутрішні точки області визначення функ­ції у = f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарни­ми. Отже, для того щоб точка хo була точкою екстремуму, необ­хідно, щоб вона була стаціонарною.

Виконання вправ_____________________________

1. Знайдіть стаціонарні точки функції:

а) у = 5 + 12х - х3; б) у = 9 + 8x2 - x4; в) у = e2x - 2ex·, г) у = sin х - cos х.

Відповідь: а) х = ±2; б) х = 0, х = ±2; в) х = 0; г) х = - +2πn, n Ζ.

IV. Сприймання і усвідомлення достатньої ознаки екстремуму функції.

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екст­ремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку по­хідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 46).

Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а праворуч — додат­на, тобто при переході через стаціонар­ну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис. 47).

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 .

Розв'язання

Область визначення даної функції — R.

Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3.

Похідна існує для всіх x є R.

Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х2 - 3 = 0, х2 1 = 0, x = ±1.

Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор­динатну пряму (рис. 48) і визна­чимо знак похідної на кожному проміжку:

f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0;

f`(0) = 3 · (0)2 - 3 = -3 < 0;

f`(2) = 3 · (2)2 - 3 = 9 > 0.

Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1.

Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.

Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3.

Розв'язання

Область визначення функції — R.

Знайдемо похідну:

f`(x)= (x4 3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3).

Знайдемо стаціонарні точки: f`(x) = 0, 4x2(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кож­ному інтервалі.

x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = – 27.

Відповідь: уmin = f(3) = – 27.

Виконання вправ

Виконати вправи № 2 (7; 10; 13) із розділу VIII підручника.

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 1—2. Запитання і завдання для повторення роз­ділу VIII № 5—11. Вправи № 2 (1; 2) розділу VIII.

5

Роганін Алгебра 11 клас, урок 14

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Інтернет-ресурси для опитування і тестування»
Левченко Ірина Михайлівна
24 години
490 грн