До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
4
дн.
0
6
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Тема уроку: Диференціальні рівняння.

Опис документу:
Тема уроку: Диференціальні рівняння. Мета уроку: Познайомити учнів з диференціальними рівняння¬ми, їх розв'язками. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірити правильність виконання домашніх вправ та відпо¬вісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашніх завдань.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

УРОК 31

Тема уроку: Диференціальні рівняння.

Мета уроку: Познайомити учнів з диференціальними рівняння­ми, їх розв'язками.

І. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашніх вправ та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашніх завдань.

№ 13 (розділ IX).

2) (м).

Відповідь: 5м.

4) (м).

Відповідь: 3 м.

№ 17

(кг)

Відповідь: 0,44 кг.

№ 6

Оскільки υ = 3 cos t, то S = 3 sin t + С.

Знайдемо С, враховуючи, що при t = 0, S = 2м, 2 = 3 sin 0 + С;

С = 2. Отже, S = 3 sin t + 2 (м).

Відповідь: S = 3 sin t + 2 (м).

II. Сприймання і усвідомлення поняття диференціального рівняння та його розв'язків.

До сьогоднішнього уроку ми розглядали рівняння, в яких не­відомими були числа. В математиці приходиться розглядати рівняння, в яких невідомими є функції. Так задача про знахо­дження шляху S(t) за заданою швидкістю v(t) зводиться до розв'я­зування рівняння S(t) = v(t), де v(t) — задана функція, a S(t) — шукана функція. Наприклад, якщо v(t) = 3 – 4t, то для знахо­дження S(t) треба розв'язати рівняння S'(t) = 3-4t.

Це рівняння містить похідну невідомої функції. Такі рівнян­ня називаються диференціальними рівняннями.

Задача 1. Розв'яжіть диференціальне рівняння у'=2х+1.

Розв'язання

Треба знайти функцію у(х), похідна якої дорівнює + 1, тобто, знайти первісну функції 2х + 1. Отже

у = = x2 + x + С, де С — довільна постійна.

Відповідь: у = x2 + x + С.

Розв'язок диференціального рівняння визначається неодноз­начне, з точністю до постійної. Як правило до диференціального рівняння додається умова, із якої ця постійна визначається.

Задача 2. Знайдіть розв'язок диференціального рівняння у' = sin x, що задовольняє умові у(0) = 0.

Розв'язання

Знайдемо всі розв'язки цього рівняння:

у = = – cos x + С.

Із умови у(0) = 0 маємо 0 =cos 0 + С; С = 1. Отже, розв'язком даного рівняння, що задовольняє умові

у(0) = 0 є у = 1- cos x.

Відповідь: у = 1- cos x.

Виконання вправ

1. Розв'яжіть диференціальні рівняння:

а) у = 4 - 3х; б) у' = x2 - 5х + 6; в) у' = 5e2x; г) у' = 5cos3х;

д) у = cos x + sin χ; є) y’ = +·

Відповідь: а) у =4.х - х2 + С; б) y = + + С; в) y = + С; г) y = -sin3x + C; д) у = sin x - cos x + С; є) у = tg xctg x + С.

2. Знайдіть розв'язки диференціального рівняння, які задоволь­няють умові:

а) y' = cos x, y(0) = 0; б) у’ = еx+ е-x; у(0) = 0;

в) у' = 3 sin 3х + 3 cos 3х, y(π) = 1; г) y'= , у(0)=2.

Відповідь: а) у = sinx; б) y = еx – е-x; в) y = sin 3x cos 3х 1; г) у = +1.

III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про практичне застосування диференціальних рівнянь.

Розв'язування багатьох фізичних, біологічних, технічних і інших практичних задач зводиться до розв'язування диференці­ального рівняння у' = ky, де k — задане число. Розв'язками цьо­го рівняння є функції у =Cekx, де С — постійна, яка визна­чається умовами конкретної задачі.

Приклад 1. Швидкість (t) розмноження бактерій пов'язана з масою m(t) бактерій в момент часу t рівнянням m'(t) = km(t), де k додатне число, яке залежить від виду бактерій і зовнішніх умов. Розв'язком цього рівняння є функції m(t) = Сеkt. Постій­ну С можна знайти, наприклад, із умови, що в момент t = 0 маса бактерій m0 відома. Тоді т(0) = m0 = Сеk·° = С і тому m(t) =тоЄkt.

Приклад 2. Якщо m'(t) — швидкість радіоактивного розпаду в момент часу t, то m'(t) = -km(t), де k постійна, яка залежить від радіоактивної речовини. Розв'язками цього рівняння є функції m(t) = Се-kt. Якщо в момент часу t маса дорівнювала т0, то С = т0 і тому m(t) = т0е-kt. Слід зазначити, що на практиці швидкість розпаду радіоактивної речовини характеризується періодом піврозпаду, тобто, проміжком часу, за який розпадається поло­вина даної речовини. Нехай Τ — період піврозпаду, тоді при t = T маємо , звідси k =. Отже, m(t) = т0 ·

Виконання вправ №№ 11, 12 із розділу X.

У житті часто зустрічаються процеси, які періодично повто­рюються, наприклад коливальний рух маятника, струни, пру­жини і т. д.; процеси, пов'язані з електричним струмом, магні­тним полем тощо. Розв'язування багатьох таких задач зводить­ся до розв'язування рівняння у" = -ω2y, де ω задане додатне число, у = у(х), у" = ’(х))'. Функцію (у'(х))' називають другою похідною функції у(х) і позначають у"(х) або коротко у". Розв'яз­ком рівняння у" = -ω2y є функції у(х) = С1sinх2), де С1 С2 — постійні, що визначаються умовами конкретної задачі. Рівняння у" = ω2y називають диференціальним рівнянням гар­монічних коливань, а у(х) = С1 sin(ωx + С2) — розв'язком гармо­нічних коливань.

Виконання вправ

1. Знайдіть другу похідну функції:

а) у = х2 + 5х + 6; б) у = cos x; в) y = e2x·, г) у = sin(2x + 3).

Відповідь: а) у" = 2; б) y''= - cosx; в) y'' = 4е2x; г) y''= – 4sin(2x+3).

2. Розв'язування вправи № 9 (1) розділу X.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Вправа № 9 (2) до розділу X, підготуватися до тематичної конт­рольної роботи.

3

Роганін Алгебра 11 клас, урок 31

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Як підготувати успішну особистість: евристичні технології в освітньому процесі»
Ілляхова Марина Володимирівна
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.