Співвідношення елементів правильної трикутної піраміди та описаної кулі.

Опис документу:
Даний матеріал стане у нагоді вчителям математики при підготовці до уроків.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Тема. Співвідношення елементів правильної трикутної піраміди та описаної кулі.

Мета уроку.

Навчальна: Повторити основні властивості та співвідношення між елементами правильної трикутної піраміди та описаної навколо неї кулі ; ознайомити учнів із застосуванням шкільного курсу математики до розв’язання прикладних задач у іспитах ДПА та ЗНО, формувати математичну компетентність учнів та загально-навчальних дослідницьких навичок загально-відомими методами класичної геометрії та інформаційно-комунікаційних технологій, вдосконалювати техніку обчислень, раціонально поєднувати усні, письмові, інструментальні обчислення.

Виховна: Показати широке коло застосування властивостей піраміди у навколишньому світі.

Розвиваюча: Розвиток просторового уявлення, уваги, акуратність та скрупульозність при виконанні технічного рисунка, уявлень про математичне моделювання як потужний метод наукового пізнання, загального кругозору школярів, мотивація до свідомої навчальної діяльності, підготовка до успішного складання ДПА та ЗНО.

Тип уроку. Формування та закріплення знань.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності у вивченні теми «Піраміда».

Серед многогранників піраміда займає особливе місце. З давніх часів люди звернули увагу на гармонійну будову цього многогранника і намагалися увіковічити цю гармонію у архітектурних спорудах, виробах мистецтва та щоденного вжитку. Навіть сама природа силою своїх стихій створює піраміди навколо нас. Відомі також і цілющі властивості пірамід , їх використовують для лікування тіла та гармонізації духу людини.

Піраміда найзагадковіша геометрична фігура, у ній закодовано інформацію про Всесвіт, Сонячну систему, людину і її духовні можливості.

Енергія пірамід “уміє" дуже багато: омолоджує, впливає на фізичне тіло та дух, усуває вплив негативних випромінювань від комп'ютерів, телевізорів, знімає негативні енергії біополя людини. Якщо сидіти усередині піраміди, то поліпшується процес медитації, зменшується інтенсивність болю, прискорюється загоєння виразок і ран. Піраміда усуває навколо себе геопатогенний вплив і гармонізує простір приміщень.

Але предметом нашого сьогоднішнього дослідження цей многогранник буде з інших причин: іспити ДПА і ЗНО містять велику кількість задач про піраміду. Тому поставимо на сьогодні завдання:

  • Розглянути співвідношення між відрізками та кутами правильної трикутної піраміди та центром і радіусом описаної кулі.

  • Навчитися використовувати метод послідовного розв*язування планіметричних задач.

  • Застосувати теореми планіметрії та формули тригонометрії для перетворення остаточних значень.

У «Збірнику завдань для ДПА з математики. 11 клас»,- К.-2011, О.С. Істер та ін. задачі про правильну трикутну піраміду у четвертій частині представлені так:

    Про піраміду та описану навколо неї кулю: варіанти 12,14,15,19,21,29;

    Про піраміду та вписану кулю: варіанти 5,13,27;

    Про піраміду та вписаний куб: варіанти 1 та 6;

    Про піраміду та вписаний циліндр: 18 та 23;

    Про поєднання двох пірамід: варіант 30.

Всього 14 задач із 30

ІІ. Актуалізація опорних знань. 1 етап. Розглянемо правильну трикутну піраміду та описану навколо неї кулю. Пряма, що містить висоту – ГМТ простору, рівновіддалених від вершин основи. Тоді центр кулі, описаної навколо піраміди належить висоті. Нехай М М1 – діаметр описаної кулі. Перерізом описаної навколо піраміди сфери площиною (ММ1В) є велике коло цієї сфери. Таким чином кут МВМ1 - вписаний в коло і спирається на його діаметр, отже, кут МВМ1 – прямий, а трикутник ММ1В – прямокутний.

Центр описаної кулі – середина ММ1, радіус описаної кулі – 1/2 ММ1.

2 етап.

Повторимо співвідношення в трикутнику та відомі тригонометричні співвідношення, що допоможуть у розв’язанні задач.

3 етап. Фомули для обчислення шуканих у задачі величин.

ІІІ. Задачі-розминки.

  1. Знайти площу поверхні кулі, описаної навколо правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює а, висота Н, а кут при вершині бічної грані φ.

Розв’язання. На рисунку зображена МАВС – правильна трикутна піраміда. АВ= а, висота МО=Н, а кут при вершині бічної грані <АМС=φ. Знайдемо площу поверхні описаної навколо піраміди кулі за формулою .

Застосуємо метод послідовного розв’язування планіметричних задач.

1)Розглянемо ΔАМС (АМ=МС, АС=а, <АМС=φ), в ньому за теоремою косинусів АС2 =2АМ2-2АМ2cos φ, звідки =МВ.

2)ΔМОВ∞ΔМВМ1(за двома кутами), тому . ,

Відповідь.

Висновки:

1) знайдемо повністю визначений трикутник, розв’яжемо його; …..

2) З ΔМОВ∞ΔМВМ1 будемо шукати радіус кулі, описаної навколо піраміди.

  1. Знайти об’єм кулі, описаної навколо правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює в, а висота утворює з бічним ребром кут ß.

Розв’язання. На рисунку зображена МАВС – правильна трикутна піраміда. АВ= в, висота МО утворює кут ОМВ з бічним ребром, < ОМВ= ß. Знайдемо об’єм описаної навколо піраміди кулі за формулою .

З правильного ΔАВС . 1)Розв’яжемо трикутник ΔМОВ (<0=900):

2)ΔМОВ∞ΔМВМ1(за двома кутами), .

,

. .

Відповідь: .

ІV. Задачі 4.4 четвертої частини ДПА.

Варіант 29,Задача № 4.4 ст. 107. У правильній трикутній піраміді відстань від центра описаної навколо неї кулі до бічного ребра дорівнює а. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом α. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Розв’язання.

1)Розглянемо прямокутний трикутник ММ1В (<В=900): JDMB, тому М1В║JD, враховуючи, що J- центр описаної кулі, розуміємо, що JD – середня лінія трикутника ММ1В, звідки знаходимо М1В=2а. Крім того, <ВММ1=900-α, тоді

2)ΔМОВ(<О=900):

3) В правильному ΔАВС:

4) Розглянемо ΔМОК(<О=900)

5)

Відповідь:

Варіант 19, задача № 4.4 ст. 97.

Варіант 12,задача № 4.4 ст. 90.

Домашнє завдання: Варіант 15, № 4.4,

варіант 10, № 3.3.

5

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
8
дн.
0
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!