і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
Взяти участь

СОФІЗМИ ТА ПАРАДОКСИ В МАТЕМАТИЦІ

Курс:«Google сервіси в роботі вчителя»
Левченко Ірина Михайлівна
16 годин
800 грн
240 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №KX284668
За публікацію цієї методичної розробки Деркач Наталія Ярославівна отримав(ла) свідоцтво №KX284668
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Деркач Н.Я

Викладач математики

ВП НУБіП України «Заліщицький аграрний коледж»

СОФІЗМИ ТА ПАРАДОКСИ В МАТЕМАТИЦІ

З античних часів математику вважають наукою точною, що не терпить помилок, вимагає ясності понять та тверджень, нічого не сприймає без доведень, проголошує красу та велич логічних міркувань. За словами Ж.Фабра «математика – дивовижна вчителька в мистецтві спрямовувати думки, наводити порядок там, де вони не впорядковані, викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність». Помилки в міркуваннях, найчастіше виникають через порушення законів формальної логіки, основи якої заклав визначний давньогрецький філософ Арістотель (праці «Категорії», «Про тлумачення», «Перша аналітика», «Друга аналітика», «Топіка»).

З помилками в міркуваннях доводиться стикатися на кожному кроці, і уникнути їх неможливо. Більше того, процес людського пізнання полягає, по суті, з помилок – в тому числі помилок в міркуваннях – і їх виправлення. [1, C.181]. Помилки бувають навмисні і випадкові. Ненавмисні помилки в міркуваннях називають паралелогізмами. Інший вид помилок називають софізмами. Софізм (буквально «майстерність, вміння, мистецтво») зазвичай визначається як умовивід або міркування, обґрунтовує якусь явну безглуздість, абсурд чи парадоксальне твердження, що суперечить загальноприйнятим уявленням. Софізми – це логічно неправильні міркування, це обман, але обман тонкий і замаскований, так що його не відразу і не кожному вдається розкрити. Говорячи про уявну переконливості софізмів, давньоримський філософ Сенека порівнював їх з мистецтвом фокусників: ми не можемо сказати, як відбуваються їх маніпуляції, хоча твердо знаємо, що все робиться зовсім не так, як нам уявляється. Ф. Бекон порівнював того, хто вдається до софізмів, з лисицею, яка добре петляє, а того, хто розкриває софізми, – з гончака, яка вміє розплутувати сліди [2, С.370-371]. А. А. Івін пише: «У звичайному і розповсюдженому розумінні софізм – це навмисний обман, заснований на порушенні правил мови та логіки. Його мета – видати неправду за істину. Вважається, що вдаватися до софізмів негідне, як і взагалі обманювати і вселяти помилкову думку, тому про софізми зазвичай говорять побіжно і з очевидним осудом »[3, С.292-293]. Софізми існують уже більше двох тисячоліть. Їх виникнення звичайно зв'язується з філософією софістів (Древня Греція V-IV ст. До н.е.), яка обґрунтовувала і виправдовувала подібні міркування. Термін «софізм» уперше ввів Аристотель, який охарактеризував софістику як уявну, а не дійсну мудрість. До софізмів були віднесені й апорії Зенона, спрямовані проти руху і множинності речей, і міркування власне софістів, і всі ті софізми, що відкривалися в інших філософських школах. Характерно, що для широкої публіки софістами були також Сократ, Платон і сам Аристотель. Широку поширеність софізмів у Древній Греції можна зрозуміти, тільки припустивши, що вони якось виражали дух свого часу і були однією з особливостей античного стилю мислення [3, с.294-295]. Зазвичай софісти виступали публічно, з метою спантеличити, заплутати і поставити в незручне становище свого співрозмовника і заодно повеселити публіку.

Цікавими також є парадокси. В даний час термін парадокс міцно увійшов в нашу мову. Його можна зустріти і в наукових текстах (парадоксальний сон, парадокси природи, парадокси науки, парадокси творчості) [8] і в повсякденному мовленні («ну це вже парадокс») і художній літературі («О скільки нам відкриттів дивних готують просвіти дух, і досвід, син помилок важких, і геній, парадоксів друг ») [9]. Тому цілком природно, що термін парадокс розуміється по-різному в різних ситуаціях. В.С. Біблер зауважує: «Поняття парадоксу існує зараз в самих різних сенсах – від чисто словникового і повсякденного (красиво звучить нісенітниця, до строго формального (логічного), найбільш усвідомленого в парадоксах теорії безлічі» [1, С.28]. Таке широке значення терміна парадокс добре відображено в словниках. В них можна знайти такі визначення цього слова.

Парадокс (від др.-греч παράδοξος-несподіваний, дивний від др.-греч παρα-δοκέω – .. здаюся) – істинне висловлювання, твердження, судження або висновок, що характеризуються парадоксальністю.

Розглянемо деякі приклади софізщмів та парадоксів.

1. Парадокс «Брехун». Критянин Епіменід сказав: «Усі критяни – брехуни». Епіменід – сам критянин. Отже, він брехун. Але, якщо Епіменід – брехун, тоді його висловлення «Всі критяни – брехуни» хибне. Звідси випливає, що й Епіменід не брехун, і тому його висловлення «Всі критяни – брехуни» – істинне. Яке ж насправді висловлення Епіменіда – істинне чи хибне?

Цей парадокс приписують Евбуліду. Аналіз Евбулідового «Брехуна» стимулював у середні віки авторів логічних трактатів про «нерозв’язувані» висловлення. Антиномії цього типу відіграють велику роль у сучасній математичній логіці і теорії множин. Зокрема, ідея парадокса «Брехун» використана при доведенні відомої теореми К. Геделя про неповноту формалізованих теорій.

2. Давньо-китайські літературні джерела розповідають, що один мудрець, щоб переїхати на своєму білому коні через кордон, який переходити кіньми заборонялося, застосував у розмові з прикордонником такі міркування:

Кінь може бути рудим. Білий кінь не може бути рудим. Отже, білий кінь не є конем.

У першому реченні софізму йдеться про підмножини множини коней (множину рудих коней), а в останньому реченні маємо усю множину коней. Таким чином, у міркуваннях допущено помилку еквівокації, яка й зумовила неправильний висновок «білий кінь не є конем».

3. Колись дуже давно в суді розглядалася справа про спадщину. Суддя звернувся до свідка, дев’яностолітнього дідуся.

– Скажіть, у вас є брати?

– Сто сорок років тому, – відповів дідусь – у мене був брат.

– Як це так? – здивувався суддя.

– Дуже просто. У мене був брат, але сто сорок років тому він помер.

– Ви помиляєтесь. Ви, очевидно не можете покластися на Вашу пам’ять.

Адже вам дев’яносто два роки.

  • Ні, я нітрохи не помиляюся, і пам’ять у мене відмінна, – наполягав свідок.

  • Це ви не вмієте лічити і міркувати логічно.

– Утримуйтесь від подібних висловлень, інакше на Вас буде накладено штраф за зневажливе ставлення до судді.

– Але ось доведення моєї правоти, – наполягав дідусь, показуючи папір про смерть свого брата і власну метрику. Що розповів дідусь?

Батько 92-літнього дідуся одружився дуже молодим і в 18 років став батьком. У нього народився син, який в тому ж році помер. Батько одружився вдруге в 65 років і через рік у нього народився син, який нині виступав у суді. Від смерті першого сина до народження другого пройшло 48 років (65+1-18=48), отже, від смерті брата до судового процесу справді пройшло 140 років (92+48=140), хоча на перший погляд це здається неймовірним.

4. Софізм Еватла

Еватл брав уроки софістики у давньогрецького софіста Протагора (бл. 481-411 до н.є.) з тією умовою, що гонорар він сплатить тільки в тому випадку, коли виграє свій перший судовий процес. Але після навчання Еватл не взявся вести жодого судового процесу і тому вважав, що може не платити гонорару Протагорові. Вчитель, погрожуючи подати на Еватла в суд, сказав:

– Незалежно від того, присудять судді платити мені гонорар чи не присудять, ти його обов'язково сплатиш. У першому випадку ти сплатиш за вироком суду, в другому – за нашою домовленістю.

На це Еватл, навчений Протагором мистецтву софістики, відповів:

– Ні в тому, ні в іншому випадку гонорару я не буду платити. Якщо мені присудять платити, то я не заплачу відповідно до нашої домовленості, бо програюсвій перший судовий процес, у другому випадку я не платитиму відповідно до вироку суду.

Коментар. З погляду традиційної логіки софістичний висновок виник внаслідок порушення закону тотожності. Одну і ту ж домовленість Еватл розглядав у різних відношеннях. У першому випадку Еватл мав виступати на суді юристом, який програє свій перший судовий процес, у другому випадку – відповідачем, якого суд виправдав.

Розглянемо дії над різними алгебраїчними виразами на прикладах та пояснимо їх.

1. Будь-яке число дорівнює своїй половині.

Перший спосіб. Відомо, що для будь-яких чисел.

Прийнявши , виконаємо такі перетворення:

тоді , або .

Другий спосіб. Нехай , або , тоді або звідки . Оскільки, за умовою , то або .

Даний софізм ґрунтується на замаскованому діленні на нуль:;

2. Будь-яке натуральне число дорівнює наступному натуральному числу.

Для доведення цього твердження скористуємось методом математичної індукції. Припустимо, що , і доведемо, що . Справді, додавши до обох частин першої рівності по 1, дістанемо другу нерівність.

Отже, якщо наше висловлення істинне при, то воно істинне і при . Таким чином, натуральне число дорівнює наступному натуральному числу.

Помилка полягає в тому, що базис індукції, необхідний для застосування принципу математичної індукції, не справджується: не існує жодного натурального числа, яке б дорівнювало наступному натуральному числу.

3. Учень розв’язував систему рівнянь:

Від першого рівняння він почленно відняв друге рівняння. Отримав –, звідки . Підставивши значення х у кожне з рівнянь системи, учень переконався, що воно не є коренем жодного з цих рівнянь. Чому?

Рівняння є тільки наслідком системи, але воно не еквівалентне їй: будь-який розв’язок системи є розв’язком рівняння, але не навпаки. Тому поки що можна зробити лише такий висновок: якщо система має розв’язок, то він єдиний і є розв’язком рівняння. Підставивши значення в систему, робимо остаточний висновок: вона розв’язків не має.

4. Для доведення тотожності (1) учень виконав такі перетворення: підніс до кубу обидві частини рівності і одержав

або (2)

потім підставив значення числового виразу в дужках , записав (3). «Що і потрібно було довести», – сказав учень. Але вчителя таке доведення не задовольнило.

Тотожність не доведено. В процесі міркувань допущено логічну помилку («круг в доведенні»): при переході від рівності (2) до (3) використано рівність (1), істинність якої потрібно було довести. Для доведення тотожності (1) можна міркувати так: або , або Оскільки (цей факт ми приймаємо без доведення, а тому логічної помилки тут немає), то , або .

Тотожність доведено, бо очевидно єдиний дійсний корінь рівняння.

5. Розв’язати рівняння (1). Виконаємо наступні перетворення: або

Усі перетворення виконано вірно. Але, записавши рівняння (1), ми ще не знаємо, чи існує у нього корінь. Припустивши існування цього кореня, записали рівняння (1) і правильно виконали всі передбачені алгоритмом розв’язання рівнянь перетворення. Неправильна рівність 8 = 6 свідчить про те, що наше припущення про існування кореня рівняння (1) хибне.

Рівність (1) таким чином неправильна, як і та очевидна, до якої вона нас привела.

Усе це був невеликий острівець галактики софістично-парадоксальних конструкцій думки, автори яких – невтомні шукачі істини або випадкові мадрівники в логічних лабірінтах. Вже багато віків математичні софізми бентежать людську думку, прокладають шлях до істини в хащах помилок, дають поштовх творчості, заманюють несподіванками, вчать логічному мисленню, привчають до красоти бездоганних доведень.

Література

1. А. Г. Конфорович “Математичні софізми і парадокси” К.: Радянська школа, 1983.

2. Математика после уроков. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971 (стор. 151 - 153).

3. М. Гарднер “Математические игрі и развлечения” (глава 13).

4. Толковый словарь математических терминов под редакцией В. А. Диткина М.: Просвещение 1965 (стор. 423).

5. Библер В.С. К философской логике парадокса [Текст] / В.С. Библер // Вопросы философии. – 1988. - №1. – (стор.28-42.)

6. Винокур В.Г. Парадоксы древней науки [Электронный ресурс] / В.Г. Винокур. – http: // www.stq.ru/realiste/index. (21 чер.2008).

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
невеликий острівець галактики софістично-парадоксальних конструкцій думки, автори яких – невтомні шукачі істини або випадкові мадрівники в логічних лабірінтах. Вже багато віків математичні софізми бентежать людську думку, прокладають шлях до істини в хащах помилок, дають поштовх творчості, заманюють несподіванками, вчать логічному мисленню, привчають до красоти бездоганних доведень
  • Додано
    23.02.2018
  • Розділ
    Математика
  • Тип
    Стаття
  • Переглядів
    7477
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    KX284668
  • Вподобань
    0
Курс:«Інтернет-ресурси для опитування і тестування»
Левченко Ірина Михайлівна
24 години
1200 грн
360 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №KX284668
За публікацію цієї методичної розробки Деркач Наталія Ярославівна отримав(ла) свідоцтво №KX284668
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Осінь – 2018»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти