Сценарій тижня математики "До ювілею Ейлера"

Опис документу:
Ознайомити учнів з відомим математиком Леонардом Ейлером, видатним вченим ХVІІІ століття, яке в галузі математики справедливо може бути названим століттям Ейлера.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

ДО ЮВІЛЕЮ ЛЕОНАРДА ЕЙЛЕРА

В.Серветник

учитель-методист

Мурованокуриловецького НВК

СЗШ І-ІІІ ступенів №1-гімназія”

смт. Муровані Курилівці

2010 р.

Є декілька імен в історії сучасної математики, які відомі кожній освіченій людині. До їх числа належить й ім’я відомого математика Леонарда Ейлера, видатного вченого ХVІІІ століття, яке в галузі математики справедливо може бути названим століттям Ейлера. Ейлер виконав головні відкриття майже в усіх галузях математики.

Учні й зараз вивчають теорію логарифмів і тригонометрію за Ейлером, студенти наших днів вивчають аналітичну геометрію, диференціальне та інтегральне числення, механіку за посібниками, що основані на трактатах відомого вченого.

Ейлер, на думку Лапласа, був батьком сучасного аналізу, заклав фундамент ряду нових математичних наук.

Наукова діяльність Ейлера мала надзвичайний вплив на розвиток математичних наук XVIII століття.

« Читайте, читайте Ейлера: це наш спільний вчитель,» говорив своїм учням П’єр Сімон Лаплас, молодший сучасник Ейлера і один з найвидатніших математиків Франції.

І нині, майже через три століття, його величезна наукова спадщина вивчена ще далеко не повністю.

15 квітня 2017 р. виповнилося 310 років з дня народження Леонарда Ейлера. Поділюся досвідом підготовки і проведення тижня математики, присвяченого основоположнику сучасної математики, неперевершеному обчислювачу Леонарду Ейлеру. Матеріал, пов'язаний з його творчістю, з успіхом і користю можна використати у позакласній роботі.

Такі заходи розвивають і поглиблюють інтерес учнів до математики, допомагають учням краще зрозуміти роль математики в сучасному суспільстві, розширюють кругозір учнів та підвищують їхню загальну культуру, заохочують до прояву в різних галузях науки. Це своєрідний звіт про творчу співпрацю вчителів і учнів, роботу гуртків, факультативів, науково-дослідницьку діяльність учнів та педагогів.

На початку навчального року на одному із засідань ради кабінету математики, куди входять по 1-2 учні 5-11-х класів:

  • склали план підготовки до тижня математики і розподілили між собою обов'язки;

  • повідомили всіх учнів, що в листопаді відбудеться тиждень математики. Серед заходів тижня будуть математичні змагання між командами класів; шанси на перемогу більші в тих, хто почне вчасно готуватися;

  • був випущений спеціальний номер газети «Юний математик», передова стаття в якому присвячена Ейлеру, а в інших статтях уміщені різні головоломки, цікаві геометричні задачі і перелік літератури, рекомендованої учням для позакласного читання з питань, що стосуються життя і діяльності Л. Ейлера;

  • одночасно була випущена листівка, в якій повідомлялися терміни проведення тижня математики і зміст намічених заходів. Кожному дню тижня присвячувалась замітка, яка мала свій епіграф і була проілюстрована відповідними малюнками. Наприклад, до математичних змагань з розв'язування задач епіграфом взято слова: «математика - це гімнастика розуму», а до математичного турніру КВК - слова Л.М.Толстого «Намагайся дати розуму якнайбільше страви».

Наступний етап підготовки тижня - це засідання ради кабінету математики з детальним обговоренням плану проведення тижня. На засіданні склали і затвердили перелік обов'язків кожного класу і окремих учнів з підготовки і проведення цих заходів.

1. Оформлення шкільного вестибуля, коридорів, кабінету математики і актового залу.

2. Випуск спеціального номера математичної газети, присвяченої умовам проведення тижня математики.

3. Випуск математичного бюлетеня «Основні дати з життя і діяльності Л. Ейлера».

4. Розробка плану математичного КВК і відбір команд-учасниць.

5. Захист рефератів «Маленькі відкриття XХI століття».

6. Математичні змагання імені Л. Ейлера у два тури: заочний та очний..

7. Конкурс ерудитів «Що ви знаєте про Ейлера?»

8. Науково-практична конференція на тему «Математик усіх часів і народів» для учнів 9-11 класів.

9. Підготовка «десятихвилинок цікавої математики» для 2-4-х класів (математичний десант).

З особливим захопленням готувалися учні до проведення «десятихвилинок цікавої математики». (її організацію доручили групі учнів 10-11-х класів.) Знайомлячись із запропонованими книжками, вони зупинялися не тільки на тому, що я їм рекомендував, а й на всьому, що привертало їхню увагу. Цікаві запитання, вікторини, задачі, головоломки, ребуси викликали в учнів бажання відразу випробувати свої сили. Для математичного активу школи підготовка тижня, мабуть, дала більше, ніж сам тиждень, якщо врахувати інтерес до вивчення математики, ознайомлення з математичною літературою, радість від розгадування математичних головоломок. Особливо старанно готувалися до конференції, присвяченої життю і відкриттям Ейлера.

У математичній газеті час від часу наводилися підготовчі задачі із зазначенням кількості балів за розв'язання. Учні розв'язували їх і показували письмові розв'язання своїм учителям математики. Так підбиралася команда від класу для участі в конкурсі розв'язування задач від Ейлера.

За наперед визначеним графіком різні класи почергово випускали математичні газети з поміткою «На конкурс». Кожний клас намагався перевершити інших в яскравості графічного оформлення, цікавості змісту, пізнавальній глибині матеріалу.

Приблизно за 2 тижні до початку тижня математики увазі учнів 5 – 11-х класів був запропонований заочний тур математичних змагань імені Леонарда Ейлера, який містив задачі підвищеної складності, причому більшість з них взяті із збірників задач самого Ейлера. Результати підводились під час тижня математики.

Напередодні проведення тижня намічений план ще раз повідомили через шкільне радіо, а також гарно оформили і помістили на загально шкільній Дошці оголошень. Крім того по радіо передали звернення ради кабінету математики до учнів школи.

У коридорах школи розмістили малюнки математичної тематики і красивий плакат «Йде тиждень математики». Це створило в школі «налаштування на математику». Крім того, школу прикрасили плакатами математичного змісту і плакатами з висловлюваннями Ейлера і про нього.

Наведу деякі з висловлювань Ейлера:

«...саме математика передусім захищає нас від обману чуттів і вчить, що одна справа - як насправді побудовані предмети, що сприймаються чуттями, інша справа - якими вони здаються»;

«...усі явища природи підпорядковуються якому-небудь закону максимуму або мінімуму»;

«Математика є наукою, яка не тільки показує в кожному випадку відношення, але й визначає причини, від яких вони залежать за природою самих речей»;

«Деякі найпоширеніші види трансцендентних функцій, зокрема показникові, відкривають доступ до багатьох досліджень»;

«Немає науки, не пов’язаної з математикою».

А тепер - деякі з висловлювань про Леонарда Ейлера:

Вивчення творів Ейлера буде найкращою школою в різних галузях математики, і ніщо інше не може замінити його. (Карл Гаусс,

німецький математик)

...Ейлер повів за собою наступні покоління і навчив їх думати і писати так, як думав і писав він сам. Читання його праць - найлегша і найкорисніша справа. Він поєднав у своїй особі славу великого перетворювача із славою дуже зрозумілого і дуже витонченого письменника.

Ейлер створив сучасний аналіз, один збагатив його більше, ніж усі його послідовники разом узяті, і зробив його наймогутнішим знаряддям людського розуму. Він один зумів охопити аналіз у всій його повноті і знайшов йому найчисленніші і найрізноманітніші застосування.

(Михайло Остроградський,

український математик)

Читайте, читайте, читайте Ейлера! Він усім нам учитель!

(П’єр Лаплас, французький математик і астроном)

Діяльність Ейлера багатогранна і різностороння. Він займався майже всім, що цікавило тоді математиків.

(Сергій Вавилов,

російський фізик)

...для Ейлера аніскільки не були обтяжливими обчислення, і ніякі формули, які б вони не були неосяжні, ніколи не утруднювали його: такою була прозірливість Ейлера, що найбільш громіздка формула гнулась в його сильних руках, як м'який віск, і слухняно давала під його зусиллями все, що вгадувала в ній його проникливість. Можна без перебільшення сказати, що в очах Ейлера математичні формули жили своїм власним життям і розповідали найглибші речі про явища природи і що йому досить було лише доторкнутись до формул, щоб вони з німих перетворились на такі, що говорять і дають відповіді, сповнені глибокого змісту.

(Микола Лузін,

російський математик)

Кому не відоме ім'я Ейлера? Хто ще на шкільній лаві не звик дивитись на ім'я Ейлера в сузір'ї імен Гюйгенса, Ферма, Лейбніца, Ньютона, Бернуллі, д'Аламбера? Але мало хто з учених знає, яка значна була стихійна творча сила цієї людини, що зближувала його з такими людьми XVI ст., якими були Леонардо да Вінчі і Мікеланджело. І мало хто навіть з математиків знає, наскільки міцними зв'язками з'єднані вони і зараз з працями Ейлера і з якою силою тяжіє над ними навіть тепер думка Ейлера.

(Микола Лузін,

російський математик)

Ейлер належить до числа геніїв, чия творчість стала надбанням всього людства.

(Михайло Лаврентьєв,

російський математик)

Ейлер був насамперед математиком, який сприймав і розвивав математику як єдине ціле, але він знав, що ґрунтом, на якому розквітає математика, є практична діяльність.

(Михайло Лаврентьєв,

російський математик)

...ми шануємо в Ейлері великого вченого, який дав могутній поштовх розвитку математики, як найважливішого засобу дослідження природознавства і техніки і підкорення природи людиною.

(Михайло Лаврентьєв,

російський математик)

Із самого початку, який можна зв'язати з появою (опублікуванням) близько 100 років тому праці Леонарда Ейлера з математичної теорії кровообігу, математична біологія розвивалася майже виключно завдяки розробці фізико-математичних і суто формальних математичних моделей різних біологічних явищ.

(Н. Крашевський,

американський учений)

Ейлер обчислював без усякого видимого зусилля, як люди дихають, як орли тримаються в повітрі.

(Домінік Араго, французький астроном і фізик)

Ейлер вніс значний внесок буквально в усі області математики. Деякі з його найпростіших відкриттів такі, що можна уявити собі дух Евкліда, запитавши: «Чому за життя на Землі я не додумався до цього?».

(Гарольд Кокстер, англійський математик)

...створивши нові методи, показавши їх застосування до розв'язання нових питань, Ейлер, так би мовити, проклав нові шляхи для швидкого руху науки вперед. За ним ідуть такі великі математики, як Лагранж, Лаплас, Лежандр, Гаусс, Коші, Пуассон, Якобі, Абель і багато інших, а якою мірою вони високо ставили Ейлера, можна судити із слів Лапласа: «Читайте Ейлера, читайте, - він учитель усіх нас».

(Олексій Крилов, російський математик)

Ейлерова слава й популярність є наслідок не тільки незрівнянної сили його генія. До них спричинилась надзвичайна ширина його засягу в науці; важко вказати таку ділянку математичних наук, де б він не утворив нової галузі або могутньо не посунув наперед її розвиток. Цей, за висловом д'Аламбера, «диявол у людській подобі», натворив за своє життя (при тім довгі роки у сліпому стані) більше, аніж за цей час середня людина могла б просто списати.

(Михайло Кравчук,

український математик)

У вестибулі та коридорах школи вивішені красиво і з любов'ю оформлені оголошення:

І. «Тим, хто вивчає математику,

тим, хто навчає математики,

тим, хто любить математику,

тим, хто ще не знає,

що може любити математику,

тиждень математики присвячується».

«Математика потрібна дуже, у тижні математики візьми участь, друже!»

ІІ. ХОЧЕТЕ, ЩОБ МАТЕМАТИКА

СТАЛА СПРАВЖНІМ СВЯТОМ?

Тоді запрошуємо вас на тиждень

МАТЕМАТИКИ!

Математика не дарма вважається

«ЦАРИЦЕЮ УСІХ НАУК»

Математика, що є найдавнішою з усіх наук, разом з тим залишається завжди молодою наукою, яка бурхливо розвивається, яка весь час розширює галузі свого застосування.

Будучи учасником математичного свята, ви переконаєтесь в її несподіваності, красі, чарівності.

Вашу увагу заполонять вікторини, конкурси, фокуси, казкові персонажі, влучні жарти, веселі частівки, дотепні розіграші в найнесподіваніших математичних ситуаціях.

Пропонуємо взяти активну участь в цих заходах. Не безкоштовно! Плата– спеціальна грошова одиниця «ейлерик».Зароблені десять «ейлериків» - це додатковий бал за одну з тем математики.

Оцінюватиме роботи Рада наймудріших. У її складі учні – переможці районних олімпіад з математики та вчителі.

Отже, дерзайте, творіть! Успіхів вам!

СВЯТКОВОГО ВАМ НАСТРОЮ

НА ТИЖДЕНЬ МАТЕМАТИКИ!

Усе це завжди викликає інтерес в учнів. Вони із задоволенням розглядають малюнки, читають цікаві статті в газетах, але бажання самостійно розв'язати що-небудь із запропонованого виникає далеко не у всіх. Тому в цьому навчальному році ми спробували внести дещо нове в усталену форму роботи. А саме: запропонували учням як кульмінацію тижня аукціон.

Це незвичайний аукціон. Для його проведення була введена місцева шкільна «валюта». Учитель математики та учні розробили дизайн і випустили математичну «валюту» - «ейлерики». Це банкноти номіналом 1, 2, 5, 10 одиниць. Від підробки всі банкноти захищені спеціальною печаткою.

Заробити «гроші» можна було багатьма способами: це і участь у вікторинах, конкурсах, які проводилися протягом тижня, і виготовлення газет, кросвордів, плакатів, наочності для кабінетів математики, і оформлення школи та класних кімнат до тижня математики. Але найбільшу кількість «грошей» можна було заробити, розв'язуючи задачі математичних змагань імені Л. Ейлера, умови яких вивішені на стінах коридорів школи.

Кожна газета, ребус, кросворд мали свій номер, завдання були оцінені відповідно до складності певною кількістю балів. Тому учень мав змогу підрахувати самостійно, яку кількість балів він набере за умови правильного розв'язування завдання. Розв'язання завдань приймалися без обмеження кількості протягом кількох днів: з понеділка до 14.00 год. четверга.

Учнів попередили, що роботи перевірятимуться лише за умови, що в них правильно названі прізвища учасників, номери газет та завдань.

У четвер оргкомітет перевірив отримані розв'язки, і в п'ятницю всі ті, хто правильно розв'язав завдання, отримали «гроші».

Умови аукціону і перелік лотів, які виносилися на торги, були оголошені на початку тижня.

На торги виставлялися такі лоти:

• додатковий бал до оцінки за усну відповідь (крім початкового рівня) (вартість - 5 ейлериків);

• додатковий бал до оцінки за тему (крім початкового рівня) (вартість – 25 ейлериків);

• додатковий бал до оцінки за І семестр (крім початкового рівня) (вартість - 100 ейлериків).

Кожний учитель, який бажав виставити свої лоти на торги, зазначав початкову вартість.

Купити лоти було дуже заманливо, а тому активність учнів протягом цього тижня була дуже високою. Отже, всі, хто брав участь у класних та позакласних заходах у рамках тижня, отримували за це відповідну кількість балів, які потім давали змогу отримати «гроші».

Перед початком аукціону актовий зал школи був переповнений. Щоб підтримувати інтерес учнів, у програмі були розважальні номери. До початку торгів можна було «підзаробити грошиків» на вікторині. Для цього зал поділили на сектори, у кожному секторі був свій спостерігач, що дало можливість провести вікторини чесно. За кожну правильну відповідь учень отримував 1-2 «ейлерики» залежно від складності запитання.

Після вікторини удар гонга сповістив про початок аукціону. Залежно від вартості лота торги починалися з 5, 25, 100 і т. д. «ейлериків». Торги йшли жваво, ажіотаж був страшенний.

Одразу після оплати купленого лоту учень отримував розписку вчителя, який виставляв свій лот, що підтверджувало покупку. Надалі ця розписка вилучалася при використанні купленого.

Аукціон ми провели у нашій школі вперше, але така форма роботи сподобалася і вчителям, і учням, а тому ми й надалі маємо намір її проводити.

По-перше, такого інтересу в учнів і такого бажання розв'язувати запропоновані задачі, ребуси, шаради, розгадувати кросворди ми не спостерігали вже дуже давно.

По-друге, ця нетрадиційна форма спілкування дала можливість виявити учнів, які мають гарні здібності до вивчення математики, але з різних причин раніше себе не проявляли.

По-третє, у деяких учнів інтерес, який виник під час проведення тижня математики, переріс у стійке бажання займатися предметом серйозно.

Пропоную колегам-учителям математики організувати тиждень, присвячений математику всіх часів і народів Леонарду Ейлеру, під час якого можна провести такі заходи.

План проведення тижня

Понеділок

1. Урочисте відкриття тижня.

2. Математичні десятихвилинки в 5-11-х класах на уроках математики «До ювілею Леонарда Ейлера».

3. Математичний десант старшокласників у 2-4 класах «Видатний математик Леонард Ейлер».

4. Математичні змагання імені Леонарда Ейлера (очний тур).

5. Радіопередача «Чи знаєте ви, що…»

Вівторок

1. Конкурс ерудитів «Що ви знаєте про Ейлера».

2. Заняття гуртка «Пізнайко» (5 клас) на тему «Задача про мости і безперервне малювання».

3. Математичне інтелект-шоу «Еврика» для учнів 11-х класів.

4. Конкурс математичних кросвордів, ребусів, загадок.

5. Заняття гуртка «Ерудит» (7-і класи) на тему «Шахові задачі Ейлера».

Середа

1. Веселі математичні перерви (конкурс віршів, пісень, гуморесок про математику).

2. Заняття гуртка «Квантик» (6 клас) на тему «Рятівні круги великого Ейлера».

3. Заняття гуртка «Ерудит» (8-і класи) на тему «Славнозвісний петербурзький академік Леонард Ейлер».

4. Розв’язування задач від Ейлера (9 – 11 класи).

Четвер

1. КВК для учнів 8-х класів.

2. «Маленькі відкриття XXI ст.» - захист учнівських науково-дослідницьких робіт учнів 9-11-х класів - членів шкільного Клубу Любителів Математики.

3. Зустріч з переможцями районних математичних олімпіад та випускниками школи - переможцями та учасниками обласних олімпіад.

П'ятниця

1. Читацька конференція на тему «Математик всіх часів і народів Леонард Ейлер» для учнів 9-11-х класів.

2. Підсумки очного туру математичних змагань імені Л. Ейлера (нагородження переможців).

3. Підсумки конкурсів газет, кросвордів, ребусів, загадок.

4. Математичний аукціон.

Використана література

Бевз В.Г. Історія математики. Харків, «Основа», 2006.

Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. К. «Радянська школа», 1978.

Бородин А.И. Из истории арифметики. К. «Вища школа», 1986.

Глейзер Г.И. История математики в средней школе. М. «Просвещение», 1970.

Депман И.Я. Істория арифметики. М. Учпедгиз, 1959.

Зоря А.С., Кіро С.М. Про математику і математиків. К. «Радянська школа», 1981.

Конфорович А.Г. У пошуках інтеграла. К. «Радянська школа», 1990.

Лоповок Л.М. Збірник математичних задач логічного характеру. К. «Радянська школа», 1972.

Олейник С.Н. Старинные занимательные задачи. М. «Наука», 1988.

Підручна М.В. Позакласна робота з математики у неповній середній школі. Тернопіль, 1997.

Тиле Р. Леонард Эйлер. К. «Вища школа», 1983.

Федак І.В. Довжини, кути, площі, цікаві лінії і точки. Тернопіль, 1998.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М. «Наука», 1981.

Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М. «Просвещение», 1983.

Тиждень математики - це п'ять днів математичного свята школи, огляду математичних талантів, змагань класів у міцності математичних знань, кмітливості, наполегливості, волі і сили духу.

На одному з плакатів розмістилася «вікторина ерудитів» - любителів читати книжки про математику. Для відповіді на запитання вікторини треба було прочитати кілька книжок. Щоб залучити учнів до читання цих книжок, у дужках до кожного запитання була вказана література, в якій можна знайти відповідь. Ця вікторина викликала великий інтерес у старшокласників.

Пропоную деякі матеріали до тижня математики.

Радіопередача «Чи знаєте ви, що…»

Учень. Увага, увага! Говорить шкільний радіовузол. В ефірі передача «Чи знаєте ви, що…»

Учениця. Любі друзі! Усі ви знаєте про найцікавішу з наук – математику. Це – цариця наук. На уроках математики ви не тільки вивчаєте формули, теореми, не тільки вчитесь розв’язувати вправи та задачі, а й ознайомлюєтеся з історією розвитку математики, біографіями людей, які своє життя присвятили цій чудовій науці.

Учень. У математичній науці є зірки різної величини. Вам добре відомі імена Архімеда, Піфагора, Евкліда, Фалеса, Декарта, Ньютона, Лейбніца, наших видатних українців Михайла Остроградського та Михайла Кравчука. Сьогодні наша розповідь про зірку світової величини – Леонарда Ейлера, одного з найбільших математиків усіх часів і народів, наукові праці якого належать до математики і механіки, фізики і астрономії.

Учениця. Батько Леонарда Ейлера, Пауль Ейлер був пастором (священиком) і готував сина до духовного звання, але коли помітив у сина математичні здібності, дозволив також займатись улюбленою наукою.

Учень. В 13-ти річному віці Ейлер поступив у Базельський університет на факультет мистецтв.

Учениця. В 16-ти річному віці Ейлер отримав вчений ступінь магістра.

Учень. В 19-ти річному віці Ейлер опублікував першу наукову роботу і взяв участь в оголошеному Паризькою академією наук конкурсі на тему про найкраще розміщення щогл на кораблі. У Швейцарії Ейлер бачив морські кораблі хіба що на малюнках. Математика допомогла молодому вченому так глибоку цю важливу для навігації тему, що його працю було схвалено і надруковано в збірнику конкурсних праць.

Учениця. В 20-ти річному віці Ейлера призначають на посаду ад’юнкта математики ( помічника професора) в Петербурзі за рекомендацією Данила Бернуллі.

Учень. В 28-ти річному віці Ейлер виконував одне невідкладне доручення картографів. Від надмірної праці він захворів на нервову гарячку, внаслідок чого на правому оці утворився нарив і воно витекло. Молодий учений став напівсліпим. Та це не зламало його.

Учениця. За все своє життя Ейлер написав 886 робіт з різних галузей науки. Причому кожна з них мала вагоме значення у розділі науки і зробила б честь будь-якому математику найвищого рівня.

Учень. Ейлер був дуже скромним і доброзичливим. Він ніколи не намагався виставити себе поверх інших, охоче давав поради друзям та тішився їхніми успіхами.

Учениця. Леонард Ейлер – швейцарець, та ми вважаємо його російським вченим. Він подарував Росії найвизначніші свої праці, прожив 30 років і помер у Петербурзі.

Учень. Диктуючи свою останню роботу, Ейлер не знав, що вона заходить в галузь аеродинаміки – тоді не було навіть такого слова. Просто надто багато було балачок про ці аеростати. Сліпий з ХVIII століття, він прозирав у століття ХХ.

Учениця. Немає вченого, ім’я якого згадувалося б так часто, як ім’я Ейлера. В енциклопедії є відомості про 16 формул, рівнянь, теорем, що носять ім’я Ейлера.

Учень. Ейлер застосовував математику в найрізноманітніших галузях знань: в теорії звуку, світла, магнетизму, механіки, астрономії, географії. Йому належать основоположні праці по кораблебудуванню і кораблеводінню, теорії стрільби та пружності, механіці рідких тіл ( він засновник науки гідродинаміки), по руху небесних тіл, теорії музики і в багатьох інших областях.

Учениця. «Ейлер обчислював без всякого видимого зусилля, як людина дихає або як орел ширяє над землею» ,- так писав видатний французький фізик, астроном Домінік Араго. Про його феноменальну працездатність складали легенди.

Учень. Якось Л.Ейлер висловив припущення, що 1 000 009 — просте число. Щоб перевірити, чи це справді так, вчений виконав обчислення і виявив, що воно є добутком двох чисел: 293 і 3413. Вказані обчислення Л. Ейлер виконав у 70 років, коли він був уже сліпий. Розрахунки він робив усно.

Учениця. Леонард Ейлер мав надзвичайну пам'ять до чисел. Він пам'ятав, наприклад, шість степенів перших ста натуральних чисел

Учень. Ейлер був багатогранним ученим. Йому належать найважливіші відкриття в усіх областях сучасної йому математики, математичної фізики, механіки, астрономії, оптики, артилерії, теорії музики, тощо.

Учениця. Ейлер був надзвичайно ерудованим. Він добре знав кращих письменників давнини, стародавню літературу з математики, історію всіх часів і народів, володів багатьма мовами стародавнього світу і сучасної Європи.

Учень. Для нас, українців, приємно знати, що Ейлер знав напам’ять «Енеїду» Івана Котляревського від початку і до кінця. Крім того, його син, Христофор Ейлер, згодом генерал російської армії, був почесним воїном Січі Запорізької. Атестат про це підписав 1770 р. Петро Калнишевський.

Учениця. Українські математики Михайло Остроградський і Віктор Буняковський доклали багато зусиль, щоб зробити праці Ейлера доступними математичній громадськості.

Учень. .Ейлер добре розумівся на проблемах фізики, хімії, ботаніки знав астрономію і медицину. І всіма цими знаннями він володів на такому рівні, що дівував навіть фахівців.

Учениця. Ейлер мав велику сім’ю. він одружився у 25 років і мав 13 дітей, з яких 8 померло в ранньому віці. А перед смертю в нього було 26 онуків. І в наш час в Росії ще живуть його нащадки, які мають таке саме прізвище.

Учень. Ейлер виклав курс вищої математики так докладно і чітко, що його видавали ще 150 років після смерті вченого без будь-яких змін.

Учениця. У працях Ейлера тригонометрія набрала сучасного вигляду, він розробив її як науку про тригонометричні функції. Посібники з арифметики і алгебри, які склав Ейлер, були зразком для пізніших шкільних видань з цих предметів.

Учень. Відомо, що грецьке число π – це відношення довжини кола до його діаметра. Символ π став загальновизнаним з 40-х років ХVІІІ століття завдяки Ейлеру.

Математичні змагання імені Леонарда Ейлера

Заочний тур

Спробуйте розв’язати деякі цікаві задачі, більшість з яких вперше ввів Леонард Ейлер.

5 клас

1. В записі 1 7 0 7 розставити між цифрами знаки арифметичних дій та дужки так, щоб в результаті дістати різні числа. Хто знайде більше способів?

2. Обійти всю шахівницю ходом коня і на 64-му ході повернутися в початкове положення (Ходи записувати за правилами шахової нотації). Ейлер присвятив цій задачі велику статтю.

3. Розшифруйте ребус:

4. В двох п’ятих класах 35 учнів. З них 20 відвідують математичний гурток, 11 - фізичний, 10 учнів не відвідують жодного з цих гуртків. Визначте:

а) скільки учнів відвідують обидва гуртки;

б) скільки учнів відвідують тільки математичний гурток.

(Розв’яжіть задачу за допомогою кругів Ейлера).

5. Є три будинки, голубник, колодязь і навіс для сіна; вимагається прокласти від кожного будинку стежини до голубника, колодязя і навісу так, щоб стежини між собою не перетиналися.

6 клас

1. Доведіть, що число 1 000 009 складене. Л.Ейлер це зробив усно в 70-річному віці.

2. «Формула Ейлера». Перевірте, що числа виду а 2 + а + 41 є простими, якщо 0≤а≤39.

3. Французький математик Ферма висував гіпотезу, що всі числа виду bп = прості, але в 1732 р. Ейлер помітив, що , тобто вже при п=5 число b5 не просте. Знайдіть b5.

4. Ейлер довів теорему про представлення простого числа вигляду 4п + 1 як суми двох квадратів. Перевірте це на прикладі 10 чисел.

5. Чи можна, здійснюючи прогулянку по місту, пройти всі 7 мостів, не проходячи ні по жодному з них двічі? А якби не було третього і четвертого мостів? (Розв’яжіть задачу за допомогою графів).

7 клас

1. На уроці літератури вчитель вирішив дізнатися, хто з 25 учнів класу читав книжки А, В, С. Результати опитування виявилися такими: книжку А читали 12 учнів, книжку В також 12, книжку С - 15. Книжки А або В (принаймні одну з двох) читали 18 учнів, А або С (принаймні одну з двох) - 20, В або С (принаймні одну з двох) - 19; усі три книжки прочитали 5 учнів. Установіть:

а) скільки учнів прочитали тільки по одній книжці;

б) скільки учнів не читали жодної з цих книжок.

(Розв’яжіть задачу за допомогою кругів Ейлера).

2. Дві селянки принесли на базар разом 100 яєць, одна більше, ніж друга: обидві вторгували однакові суми. Перша мовила тоді другій: «Коли б у мене були твої яйця, я вторгувала б 15 крейцерів». Друга відповіла: «А якби твої яйця були в мене, я вторгувала б за них 62/3 крейцера». Скільки яєць було в кожної? (Задача Ейлера)

3. Довести, що число п4 - 1, де п - просте число, більше за 5, ділиться без остачі на 240. (Задача Ейлера)

4. Проблеми Гольдбаха і Ейлера поєднують у таке твердження: довести, що кожне натуральне число N > 1 можна подати у вигляді суми не більш як трьох простих чисел. Перевірте це на прикладі 10 чисел.

5. Квадрат, в якому кожна стрічка є перестановкою деякого набору різних букв або чисел, причому в кожному стовпчику букви або числа різні, називається латинським квадратом. Ця назва пов’язана з тим, що Ейлер, вивчаючи такі квадрати, розставляв в їх клітках латинські букви. В квадраті 4х4 розставити букви а, b, с, d так, щоб в кожному горизонтальному ряду і в кожному вертикальному ряду кожна з цих букв а, b, с, d зустрілася тільки один раз. Скільки існує різних розстановок букв?

8 клас

1. Побудуйте гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники. Проведіть в кожному з них висоти і медіани та опишіть коло. Нехай Н – точка перетину висот, М – точка перетину медіан і О – центр описаного кола. Яка особливість розміщення точок Н, М і О і як це пов’язано з іменем Ейлера?

2. Квадрат, в якому кожна стрічка є перестановкою деякого набору різних букв або чисел, причому в кожному стовпчику букви або числа різні, називається латинським квадратом. Ця назва пов’язана з тим, що Ейлер, вивчаючи такі квадрати, розставляв в їх клітках латинські букви. В квадраті 5х5 розставити букви а, b, с, d, е так, щоб в кожному горизонтальному ряду і в кожному вертикальному ряду кожна з цих букв а, b, с, d, е зустрілася тільки один раз. Скільки існує різних розстановок букв?

3. В деякій місцевості через протоки перекинуто 15 мостів. Чи можна обійти всі мости, пройшовши по кожному з них тільки один раз?

4. Ейлер показав, що добуток двох чисел, серед яких кожне є сумою чотирьох квадратів, є також сумою чотирьох квадратів:

(а2 + b2 + с2 + d2)(m2 + n2 + p2 + q2) = (ап + bт + сq + dр )2 + (ат – bп + ср - dq)2 + (ар – bq + ст + dп)2 + (аq – bр – сп + dт)2. Наведіть приклади таких чисел.

5. Серед багатьох тотожностей, які належать знаменитому математику Л. Ейлеру, є така:

9 клас

1. Побудуйте гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники. Знайдіть в них середини сторін, основи висот і середини відрізків, які з’єднують точку Н перетину висот з вершинами кожного з трикутників. Яка особливість розміщення цих дев’яти точок і як це пов’язано з іменем Ейлера?

2. Квадрат, в якому кожна стрічка є перестановкою деякого набору різних букв або чисел, причому в кожному стовпчику букви або числа різні, називається латинським квадратом. Ця назва пов’язана з тим, що Ейлер, вивчаючи такі квадрати, розставляв в їх клітках латинські букви. В квадраті 6х6 розставити букви а, b, с, d, е, f так, щоб в кожному горизонтальному ряду і в кожному вертикальному ряду кожна з цих букв а, b, с, d, е, f зустрілася тільки один раз. Скільки існує різних розстановок букв?

3. В будь-якому чотирикутнику сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей, доданій до почетвереного квадрата відрізка, що з’єднує середини діагоналей. (Задача Ейлера)

4. Серед багатьох тотожностей, які належать знаменитому математику Л. Ейлеру, є така:

5. В деякій місцевості через протоки перекинуто 15 мостів. Чи можна обійти всі мости, пройшовши по кожному з них тільки один раз?

10 клас

1. Що вам відомо про точки Ейлера в трикутнику?

2. Доведіть, що відстань d між центрами вписаного і описаного кіл трикутника виражається формулою d2 = R2 - 2 Rr, яка називається формулою Ейлера.

3. Квадрат, в якому кожна стрічка є перестановкою деякого набору різних букв або чисел, причому в кожному стовпчику букви або числа різні, називається латинським квадратом. Ця назва пов’язана з тим, що Ейлер, вивчаючи такі квадрати, розставляв в їх клітках латинські букви. В квадраті 7х7 розставити букви а, b, с, d, е, f, g так, щоб в кожному горизонтальному ряду і в кожному вертикальному ряду кожна з цих букв а, b, с, d, е, f, g зустрілася тільки один раз. Скільки існує різних розстановок букв?

4. Серед багатьох тотожностей, які належать знаменитому математику Л. Ейлеру, є така:

5. Центр кола Ейлера лежить на середині відрізка, який сполучає ортоцентр з центром описаного кола. Радіус кола Ейлера дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо ΔABC.

11 клас

1. Що вам відомо про число Ейлера?

2. Що вам відомо про теорему Ейлера для многогранників?

3. Які сторони перетинає пряма Ейлера в гострокутному і тупокутному трикутниках. (Задача Ейлера)

4. Обчисліть похідну функції у = ех хп. (Приклад Ейлера)

5. Знайдіть раціональні корені рівняння: ху = ух. (Приклад Ейлера)

Очний тур

5 клас

1. Розшифруйте арифметичний ребус:

2. Обчисліть і запишіть у звичному для нас вигляді результат такої дії над числами: М + М + V + І + І.

3. «Гра в офіцерів» Як вишикувати офіцерів п’яти полків по одному полковнику, підполковнику, майору, капітану і поручику від кожного полку так, щоб ні в одній шерензі і ні в одному ряду не повторювалися ні звання, ні полки?

4. «Шлях Ейлера». Не відриваючи олівця від паперу і не проводячи одну до ту ж лінію двічі, пройти шлях по кожному відрізку тільки один раз.

5. Леонард Ейлер помітив, що всяке парне натуральне число, більше за 2, можна записати у вигляді суми двох простих чисел. Наприклад, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=7+7. Перевірте це твердження для чисел, які задовольняють нерівність 18 <х < 38.

6 клас

1. Чи є число 2007 простим?

2. Ейлер довів теорему про представлення простого числа вигляду 4п+1 як суми двох квадратів. Перевірте це на прикладі 10 чисел.

3. Не відриваючи олівця від паперу і не проводячи одну до ту ж лінію двічі, спробуйте накреслити одним розчерком наступні фігури

«Підпис Магомета», «Аусекліс» (ранкову зірку):

4. У класі 30 учнів: 5 відмінників, 10 спортсменів і 15 учасників художньої самодіяльності; 2 є відмінниками та спортсменами, 6- спортсменами та учасниками художньої самодіяльності, 3 - відмінниками та учасниками художньої самодіяльності, а 1 є відмінником, спортсменом і учасником художньої самодіяльності. Визначте:

а) скільки учнів не є ані відмінниками, ані спортсменами, ані учасниками художньої самодіяльності;

б) скільки учнів є тільки відмінниками;

в) скільки учнів є відмінниками або спортсменами (принаймні одне з двох);

г) скільки учнів є відмінниками або спортсменами (тільки одне з двох). (Розв’яжіть задачу за допомогою кругів Ейлера).

5. Л.Ейлер в 1750 році довів, що всі парні досконалі числа можуть бути записані у вигляді добутку 2р-1 ∙ (2р - 1), де р і 2р – 1 – деякі прості числа.

Подайте кожне з відомих вам досконалих чисел у вигляді добутку за формулою Ейлера і їх же запишіть у двійковій системі. Яку цікаву закономірність в кількості одиниць і нулів та їх розміщення ви помітили?

7 клас

1. Дано чотири множини: А - множина школярів Мурованих Куриловець, В - множина учнів 7 класу нашої школи, С - множина учнів нашої школи, К - множина учнів України. Запишіть ці множини в такому порядку, щоб перша входила до другої, друга - до третьої, а третя - до четвертої. Побудуйте діаграму.

2. На фірмі працює 35 осіб. З них 18 знають англійську мову, 15 - німецьку, 14 - французьку, 7 осіб знають французьку і німецьку мови, 9 - французьку та англійську, 6 - німецьку та англійську, 4 особи знають усі три мови. Визначте:

а) скільки осіб не знають жодної з цих мов;

б) скільки осіб знають тільки французьку мову;

в) скільки осіб знають не менше двох із цих мов

(Розв’яжіть задачу за допомогою кругів Ейлера).

3. Обчисліть значення виразу:

4. В 1742 р. в листі до Ейлера академік Х. Гольдбах висловив припущення, що будь-яке число виду 4а4 + 1 (а – натуральне число) може бути простим числом тільки при а = 1. Ейлер довів цю формулу. Спробуйте й ви також це зробити!

Довести формулу: 4а4 + 1 = (2а2 + 2а + 1)( 2а2 - 2а + 1).

5. У науковій спадщині Л. Ейлера 19 томів присвячено математичному аналізу, 4,5 – теорії чисел, 4 - геометрії, 2,5 – алгебрі, 1 – комбінаториці й теорії ймовірностей. Побудуйте кругову діаграму об’єму наукової спадщини Ейлера.

8 клас

1. Мул і осел несли вантаж в декілька сотень якихось одиниць. Осел, скаржачись на свою долю, сказав мулу:

«Мені потрібно тільки сто одиниць твоєї ноші, щоб я був навантажений удвічі важче тебе».

Мул заперечив:

«Так, вірно, але якби ти віддав мені сто одиниць з твоєї ноші, я б був навантажений втричі більше тебе».

Скільки одиниць вантажу ніс осел і скільки — мул? (Задача Ейлера)

2. Розв’язати приклад, узятий з «Алгебри» Л. Ейлера:

3. У будь-якому чотирикутнику сума квадратів його сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей, складеній з почетвереним квадратом відрізка, який сполучає середини діагоналей.

4. Ферма вважав, що для довільного nN числа Fn = (їх тепер називають числами Ферма) прості. Тільки в 1732 р. Ейлер спростував це твердження, показавши, що F5 ділиться на 641. Перевірте обчислення Ейлера.

5. В 1742 р. в листі до Ейлера академік Х. Гольдбах висловив припущення, що будь-яке число виду 4а4 + 1 (а – натуральне число) може бути простим числом тільки при а = 1. Ейлер довів цю формулу. Спробуйте й ви також це зробити!

Довести формулу: 4а4 + 1 = (2а2 + 2а + 1)( 2а2 - 2а + 1).

9 клас

1. Знайти випадки, в яких значення тричлен х2 + 3х + 2 стають максимальними або мінімальними. (Задача Ейлера)

2. Ферма вважав, що для довільного nN числа Fn = (їх тепер називають числами Ферма) прості. Тільки в 1732 р. Ейлер спростував це твердження, показавши, що F5 ділиться на 641. Перевірте обчислення Ейлера.

3. Розв’язати приклад, узятий з «Алгебри» Л. Ейлера:

4. У будь-якому чотирикутнику сума квадратів його сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей, складеній з почетвереним квадратом відрізка, який сполучає середини діагоналей.

5. Обчисліть значення виразу:

10 клас

1. Нехай Н - точка перетину висот трикутника ABC, О - центр описаного кола, М - точка перетину медіан. Довести, що точка М лежить на відрізку ОН, причому ОМ:МН = 1:2. (Задача Ейлера)

2. Довести: sin (30° + z) = cos z - sin (30° - z). (Приклад Ейлера)

3. У будь-якому трикутнику точка перетину медіан, ортоцентр (точка перетину висот) і центр описаного кола лежать на одній прямій (прямій Ейлера). (Задача Ейлера)

4. Розв’язати приклад, узятий з «Алгебри» Л. Ейлера:

5. В 1742 р. в листі до Ейлера академік Х. Гольдбах висловив припущення, що будь-яке число виду 4а4 + 1 (а – натуральне число) може бути простим числом тільки при а = 1. Ейлер довів цю формулу. Спробуйте й ви також це зробити!

Довести формулу: 4а4 + 1 = (2а2 + 2а + 1)( 2а2 - 2а + 1).

11 клас

1. Що вам відомо про топологію і чому Ейлера вважають творцем топології?

2. Гранями опуклого многогранника є тільки трикутники. Скільки у нього вершин і граней, якщо він має 12 ребер? Намалюйте цей многогранник.

3. Довести, що середини сторін трикутника, основи висот і середини відрізків, які з'єднують точку Н перетину висот з вершинами трикутника, лежать на одному колі, причому центр Р цього кола є серединою відрізка ОН, де О - центр кола, описаного навколо заданого трикутника ABC. (Задача Ейлера)

4. Довести: (Приклад Ейлера)

5. Знайти випадки, в яких вираз х3ах2 + с набуває максимальне або мінімальне значення. (Приклад Ейлера)

Відповіді та вказівки до розв’язань

Заочний тур

5 клас

1. Окремі випадки 1 ∙ 7 ∙ 0 ∙ 7 = 0; 1 + 7 – 0 – 7 = 1; 1 + 7 ∙ 0 ∙ 7 = 1;

1 ∙ 7 : (0 + 7) = 1; 1 + (7 + 0) : 7 = 2; 1 ∙ 7 + 0 ∙ 7 = 7; (1 + 7) ∙ 0 + 7 = 7; 1 + 7 + 0 ∙ 7 = 8; 1 ∙ 7 + 0 + 7 = 14; 1 + 7 + 0 + 7 = 15; 1 ∙ 7 ∙ (0 + 7) = 49; 1 + (7 + 0) ∙ 7 = 50; (1 + 7) ∙ (0 + 7) = 56.

2. Один з можливих варіантів: d4 – с2 – а1 – b3 – с1 – а2 – b4 – d3 – с5 – -а6 – b8 - d7 – f6 – е8 – g7 – h5 – g3 – h1 – f2 – е4 – d6 – b5 – а7 – с8 – е7 – g8 – -h6– f5 – h4 – g2 – е1 – f3 – е5 – f7 – h8 – g6 – f8 – h7 – g5 – е6 – f4 – h3 – g1 – е2- -с3 – d1 – b2 – а4 – b6 – а8 – с7 – d5 – е3 – g4 – h2 – f1 – d2 – b1 – а3 – с4 – а5 – -b7 – d8 – с6 – d4.

3. 3 ∙ 3 ∙ 223 = 2007.

4. Відповідь. 6 учнів і 14 учнів.

6 клас

1. 1000009 = 293 ∙ 3413.

Отже, число 1000009 – складене.

3. - число складене.

5. Відома стара головоломка — обвести контур фігури, не відриваючи олівця від паперу і не обводивши жодної лінії контура двічі. На малюнку зображена фігура, яку вдається обвести так само.

Ейлер став цікавитися такими фігурами, коли йому запропонували задачу про мости міста Кенігсберга (нинішнього Калінінграда): чи можна обійти місто так, щоб пройти по семи його мостах рівно по одному разу?

Якщо позначити через А острів, через В - лівий берег ріки, через С- правий і, нарешті, через D - простір між двома рукавами верхньої течії, то задача зводиться, очевидно, до накреслення з одного розчерку рисунка, що складається з семи ліній.

Але це неможливо: хоч би які дві з чотирьох точок А, В, С і D ми не вибрали як вихідну і кінцеву, нам довелося б пройти по дорозі ще через дві точки і при кожному такому переході ми креслили б лінію, яка «входить» в одну з цих точок і «виходить» з неї Але оскільки в кожній з чотирьох точок нашого рисунка сходиться три або п'ять (непарне число) ліній, то деякі лінії залишаться не накресленими і, отже, деякі мости - не пройденими.

Якби не було третього і четвертого мостів, то решту мостів можна було б обійти так, як це вимагається в задачі.7 клас

1. Відповідь. 12 учнів прочитали тільки по одній книжці і 2 учні не читали жодної з цих книжок.

2. Розв’язання. Нехай у першої селянки було х яєць, тоді в другої 100 - х. Якби перша мала 100 - х яєць, то вона виторгувала б 15 крейцерів. Отже, перша продавала яйця по 15:(100 - х) за штуку. Аналогічно міркуючи, знаходимо, що друга селянка продавала яйця по ціні за штуку.

Тепер визначимо справжній виторг кожної селянки: першої - х (15:(100 - х)) = 15х:(100 - х), другої - (100 - х) 20/3х = (20 (100 - х)):3х. Оскільки виторги були однакові, то 15:(100 - х) = (20 (100 - х)):3х. Після перетворень отримуємо рівняння х + 160х - 8000 = 0, яке має корені х = 40, х = -200. Умову задачі задовольняє лише перший корінь. Перша селянка принесла 40 яєць, друга - 60.

Другий спосіб розв'язування. Припустимо, що друга селянка принесла в k разів більше яєць ніж перша. Оскільки вторгували вони однаково, то це означає, що перша селянка свої яйця продавала в k разів дорожче, ніж друга. Коли б вони перед торгівлею помінялися місцями, то перша мала б у k разів більше яєць, ніж друга, і продавала б їх у k разів дорожче. Це означає, що вона виторгувала б у k разів більше грошей, ніж друга. Отже, маємо k 2 = 15: Звідси k =

Залишається 10 яєць поділити у відношенні 3:2. У результаті отримуємо, що перша селянка мала 40, а друга 60 яєць.

3. З трьох послідовних чисел п - 1, п, п + 1 одне обов'язково ділиться на 3. Оскільки число п є простим, то на 3 ділиться п - 1 або п+ 1. Отже, на 3 ділиться число п 4 - 1 = (п 2 + 1)( п + 1)( п - 1). Число п 4 - 1 ділиться також на 5. Щоб довести це, можна скористатися так званою «малою теоремою» Ферма: число а р-1 - 1, де р - просте число і а ціле число, що не ділиться на р, ділиться на р. У нашому випадку р = 5, а — просте = п ) не ділиться, на 5 (п > 5).

Число п є простим і, отже, непарним. Тому його можемо подати як п = 2q + 1. Звідси п4 - 1 = (п 2 + 1) (п + 1) (п - 1) = 23 (2 q2 + 2q+1)(q+1)q.

Враховуючи, що одне з чисел q+1, q ділиться на 2, ми й доводимо подільність числа п 4 - 1 на 24.

5. Відповідь. 576 різних розстановок букв.

8 клас

1. Точки Н, М і О знаходяться на одній прямій – прямій Ейлера.

2. 1! ∙2! ∙3! ∙4! ∙5! = 1∙2∙6∙24∙120 = 34560 різних розстановок букв.

3. Відповідь. Можна. Треба побудувати граф системи.

4. 10 ∙ 7 = (12 + 12 + 22 + 22)( 12 + 12 + 12 + 22) = 70 = 82 + 22 + 12 + 12;

110 ∙ 94 = (12 + 32 + 82 + 62)( 22 + 42 + 52 + 72) = 10340 = 962 + 242 + 82 + 222.

5.

9 клас

1. Ці 9 точок розміщені на колі, яке називається колом Ейлера.

2. 1! ∙2! ∙3! ∙4! ∙5! ∙ 6! = 1∙2∙6∙24∙120 ∙ 720 = 24883200 різних розстановок букв.

4. (8 клас. Задача 5.)

10 клас

1. Найпростіший з многокутників - трикутник - відіграє в геометрії особливу роль. У четвертій книзі «Початків» Евкліда вже доводиться, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного кола; серединні перпендикуляри до сторін трикутника теж перетинаються в одній точці - центрі описаного кола. Ще однією особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром ваги (барицентром) трикутника. У «Початках» не згадується про те, що три висоти трикутника також перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (від грецького «ортос» - прямий, правильний). Однак, це твердження було відомо ще Архімеду, Паппу, Проклу.

На вищезгадані чотири точки була звернена особлива увага, починаючи з 18 ст. Вони були названі «чудовими» точками, які посідають особливе місце в геометрії трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних з цими та іншими точками, послужило початком для створення нової галузі елементарної математики - «геометрії трикутника», або «нової геометрії трикутника», одним з родоначальників якої був Леонард Ейлер. Як сказав Г. Коксетер, «Ейлер зробив значний внесок буквально в усі галузі математики. Деякі з його найпростіших відкриттів такі, що можна уявити собі дух Евкліда, який ніби запитує: «Чому при житті на землі я не додумався до цього?»

2. Спочатку розглянемо рівнобедрений трикутник ABC. Хай АС = ВС. Тоді діаметр CD описаного кола є віссю симетрії трикутника. Центр О описаного кола і центр J вписаного в трикутник кола належать CD.

Легко довести, що кути трикутника ADJ при вершинах А і J рівні (кожний з них рівний півсумі кутів А і С трикутника ABC). Отже, AD = DJ.

Нехай коло, вписане в трикутник, торкається сторони АС в точці К. Прямокутні трикутники ACD і KCJ подібні, тому .

Враховуючи, що JK = r, CD = 2R і AD = DJ, отримаємо:

CJ ∙ DJ = 2Rr.

Але CJ ∙ DJ = (R + d) (R - d)= R2d2.

Отже, R2 d2 = 2Rr

Звідки d2 = R2 2Rr.

Якщо ABC— довільний трикутник, то доведення аналогічне і лише трохи ускладнюється.

Позначимо через D точку перетину бісектриси кута С трикутника з описаним колом (мал.). Використовуючи теорему про вимірювання вписаних кутів, доведемо, що AD = DJ. Через точку J проведемо діаметр кола. Тоді добуток відрізків хорди CD дорівнює добутку відрізків діаметра. Отже, CJ DJ = R2 - d2. Доведемо, що CJ ∙ DJ = 2Rr.

Для цього проведемо діаметр DE і, так само, як у разі рівнобедреного трикутника, виведемо це співвідношення з подібності трикутників AED і KCJ, де JК АС. Отже,

R2 - d2 = 2Rr.

3. 1! ∙2! ∙3! ∙ 4! ∙ 5! ∙ 6! ∙ 7! різних розстановок букв.

4. (8 клас. Задача 5.)

11 клас

1. Число е зустрічається у шкільному курсі рідше, ніж π, та у вищій математиці воно відіграє важливу роль і зустрічається дуже часто.

Припустимо, що хтось поклав 1$ у банк, який сплачує 4% річних. Якщо відсотки складні, то після кожного їх нарахування кількість грошей збільшуватиметься і відсотки кожного наступного разу нараховуватимуться від збільшеної загальної суми. Чим частіше робитимуть перерахунки, тим швидше збільшуватиметься вклад. Коли щороку нараховувати складні відсотки, 1$ за 25 років перетвориться у (1+ 0,04)25, тобто у 2,66$. Коли нараховуватимуть складні відсотки кожні півроку, то за 25 років долар перетвориться у (1 + 0,02)50, або 2,69$.

У рекламних проспектах банків їх автори особливо підкреслюють, скільки разів на рік нараховуються відсотки. Може скластися враження, що коли досить часто нараховувати відсотки (наприклад, мільйон разів на рік), то за 25 років долар перетвориться у досить велику суму грошей. Насправді ж цього не відбудеться. Через 25 років долар виріс би до величини , де п- кількість нарахувань прибутку. При п, що прямує до нескінченності, цей вираз прямуватиме до границі, яка дорівнює 2,718..., що лише на 3 центи більше за ту суму, яку б отримали, коли б прибуток нараховувався один раз кожні півроку. Ця границя і називається числом е.

Як і число π, число е - трансцендентне, тобто воно не може бути коренем якогось алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Перші 20 знаків числа е такі:

е 2,71828182845904523536.

Щоб запам'ятати їх, необхідно помітити, що після цифри 7 двічі записано рік народження Л.Толстого, а потім - кути рівнобедреного прямокутного трикутника.

Першим запровадив символ е Л.Ейлер. Йому належить так багато відкриттів, пов'язаних з числом е, що зрештою число е стали називати «числом Ейлера».

2. Одна з найцікавіших властивостей опуклих многогранників описується теоремою Ейлера. Історики математики називають її першою теоремою топології - розділу геометрії, в якому вивчаються властивості фігур, що не змінюються при неперервних деформаціях, розтягах і стисках, але без розривів і додаткових склеювань.

Для многогранників справджується рівність В-Р+Г=2. Вперше цю властивість опуклих многогранників довів Л.Ейлер у 1752 р. Вона й отримала назву теореми Ейлера.

Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого многогранника має місце рівність :

В-Р+Г=2, (*)

де В - кількість вершин, Р - кількість ребер, Г - кількість граней даного многогранника.

4. уІ = (ех ∙ хп)І = (ех)І ∙ хп + ех ∙ (хп)І = ех ∙ хп + ех ∙ п ∙ хп-1 = ех ∙ хп-1 ∙ (х + п).

5. Виконавши заміну у = ах, дістанемо рівняння: хах = (ах)х, звідки і . Якщо , то

Очний тур

5 клас

1. L=1, Е=2, О=3, N=4, Н=5, А=6, R=7, D=8, U=0.

2. 1000=1000=5=1=1.

4. 1 – 6 – 3 – 7 – 5 – 4 – 8 – 2.

6 клас

1. Ні, бо 2007 = 9 ∙ 223

4. а) 10 учнів; б) 1 учень; в) 13 учнів; г) 4 учні.

5. 6 = 2 ∙ (22 – 1) = 2 ∙ 3;

28 = 22 ∙ (23 - 1) = 4 ∙ 7;

496 = 24 ∙ (25 - 1) = 16 ∙ 31;

8 128 = 26 ∙ (27 - 1) = 64 ∙ 127;

33 550 336 = 212 ∙ (213 - 1) = 212 ∙ 8 191;

6 589 869 056 = 216 ∙ (217 - 1) = 216 ∙ 131 071;

137 438 691 328 = 218 ∙ (219 - 1) = 218 ∙ 524 237;

2 305 843 008 139 952 128 = 230 ∙ (231 - 1) = 230 ∙ 2 147 483 647.

Останні чотири числа довів Ейлер.

7 клас

1.

2. Відповідь. а) 6 осіб; б) 2 особи; в) 14 осіб.

3. Відповідь. 2. Вказівка. Враховую, що , де

.

4. (2а2 + 2а + 1)( 2а2 - 2а + 1) = (2а2 + 1)2 – (2а)2 = 4а4 – 4а2 + 1 – 4а2 = =4а4 + 1.

5.

8 клас

1. Нехай х одиниць вантажу ніс осел, у одиниць - мул. Складемо систему рівнянь

5х = 1100, х = 220;

2у = 520, у = 260.

Відповідь: 220 одиниць вантажу ніс осел, 260 одиниць вантажу ніс мул.

2.

Що й треба було довести!

5. (7 клас. Задача 4.)

9 клас

1. Спосіб 1. Виділимо квадрат двочлена з даного квадратного тричлена:

х2 + 3х + 2 = - + 2 = Оскільки , то даний квадратний тричлен набуває мінімального значення, що дорівнює при

Спосіб II. Побудуємо графік квадратичної функції у = х2 + 3х + 2.

1) Графік — парабола, вітки якої направлені вгору.

2) Координати вершини:

3) Нулі функції:

у = 0, х2 + 3х + 2 = 0 при х = -2 і х = -1. Використовуючи графік, переконуємося, що мінімальне значення функції дорівнює .

3. (8 клас. Задача 2.)

5. (7 клас. Задача 3.)

10 клас

2. Скористаємося формулою sin + β) = sin а cos β ± cos а sin β.

Перетворимо праву і ліву частини рівності:

sin (30° + z) = sin 30° cos z + cos 30° sin z =

Ліва і права частини виразу рівні, отже, тотожність доведена.

4. (8 клас. Задача 2.)

5. (7 клас. Задача 4.)

11 клас

1. Дуже важлива частина сучасної геометрії - топологія. Вона вивчає властивості фігур, які не змінюються в результаті топологічних перетворень, тобто в результаті перетворень, які зберігають нескінченну близькість точок. Якщо топологічне перетворення відображає точки А і В, відстань між якими нескінченно мала, на точки А1 і В1, то відстань АІВ1 теж нескінченно мала. Таке перетворення може відобразити, наприклад, куб на піраміду, на кулю, на довільну фігуру у формі картоплини. Для топології всі ці фігури - одного типу. Тор, гиря з однією ручкою, деталь з одним отвором - фігури другого типу. Приклад топологічної теореми теорема Ейлера. Цей видатний математик є творцем топології.

4. Запишемо відому формулу (а + b)3 в іншому вигляді:

(а + b)3 = а3 + 3а2 b + 3аb2 + b3 = а3 + b3 +3аb(а + b).

Використовуючи цю формулу, зведемо ліву частину даної рівності в третій ступінь:

Зведемо праву частину рівності до третього степеня: 43 = 64. Ліва частина рівна правій, тотожність доведена.

5. Відповідь. при

при

В п’ятницю були підведені підсумки конкурсів на кращу математичну газету, розгадування кросвордів, ребусів і загадок, читання віршів і гуморесок, виконання пісень про математику. Відзначили нагородами команду-переможницю КВК («Золоті монети» - шоколадні медальйони та «Смачні очки» - в’язанка бубликів), окремих учнів – переможців вікторин і конкурсів та найактивніших учасників проведеного тижня математики пам’ятними медалями імені Леонарда Ейлера та Орденом Семи Мостів. Зачитали витяг з наказу директора школи з переліком прізвищ учнів, яким оголошено подяку за активну участь в підготовці та проведенні тижня математики. Потім цей наказ помістили на інформаційному стенді.

Математичний аукціон

«Аукціон» - останній захід тижня. Про зміст лотів, що виставлялися на торги, учням повідомили заздалегідь.

Перед початком торгів ведучий ознайомив учасників з їх загальними правилами:

1) ведучий називає початкову ціну;

2) якщо ви готові придбати лот за цю ціну, повинні підняти руку;

3) якщо це зробив хтось інший, цей лот ви можете придбати вже за більшу ціну;

4) лот придбає той, хто назве найбільшу ціну.

Крім того, ведучий радив друзям або однокласникам об’єднати свої «капітали», що збільшить їхні шанси на придбання бажаної речі. Перед тим, як виставляти на продаж, ведучий у жартівливій формі рекламував кожну річ.

1-й ведучий. Ми завершуємо тиждень математики, присвячений Леонарду Ейлеру. Усе життя Леонарда Ейлера є зразком служіння науці. Цей вчений писав свої праці так легко, як досвідчений літератор пише листи друзям. Навіть повна сліпота протягом останніх 17 років життя не зменшила його творчої активності. Обсяг наукової спадщини вченого не був точно відомий до 1936 року, але робилося припущення, що вона становитиме 60 – 80 томів. Його математична діяльність почалася в рік смерті І. Ньютона. Аналітичній геометрії було на той час уже 90 років, математичному аналізу – 50, а закону всесвітнього тяжіння І. Ньютона, що є ключем до вивчення всесвіту, - біля 40 років. Академік Сергій Вавилов сказав: «Ейлер належить до геніїв, чия творчість стала надбанням усього людства».

2-й ведучий. Дорогі друзі! Тиждень завершився. Хтось почув щось нове, цікаве для себе, хтось повторив йому вже відоме. Дякуємо всім за участь в тижні математики.

1-й ведучий. Бажаємо і вам наполегливості, працьовитості і терпіння на складних дорогах математики. Нехай цариця наук буде прихильною до вас і подарує чудові хвилини задоволення правильними розв’язаннями і гарними оцінками.

Підсумок

Тиждень математики став активною формою пропаганди математичних знань. Він сприяв розширенню кругозору учнів, розвиткові уміння самостійно й творчо працювати з навчальною, науково-популярною літературою, формуванню в дітей інтересу до математики, а також поглибленню знань. Школярі довели, що вони не тільки вміють добре вчитися, а й можуть цікаво розважатися, поєднуючи приємне з корисним. В школі панувала атмосфера творчості та свята.

Використана література

1. Бевз В.Г. Історія математики. - X.: Основа, 2006. – 212 с.

2. Бородін 0.1. Історія розвитку поняття про число і системи числення. - К. Рад. шк., 1978. – 116с.

3. Бородин А.И. Из истории арифметики. - К.: Вища шк., 1986. – 104 с.

4. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. - М.: Просвещение, 1970. – 326 с.

5. Голованов Я. Світочі науки. Етюди про вчених. К., «Веселка», 1970. – 124 с.

6. Депман И.Я. История арифметики. - М.: Уч-педгиз, 1959. – 280 с.

7. Зоря А.С., Кіро С.М. Про математику і математиків. - К.: Рад. шк., 1981. – 232 с.

8. Конфорович А.Г. У пошуках інтеграла. - К.: Рад. шк. 1990. – 204 с.

9. Котек В.В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961 г. – 64 с.

10.. Лоповок Л.М. Збірник математичних задач логічного характеру. – К.: Рад. шк., 1972. – 156 с.

11. Олейник С.Н. Стариннне занимательные задачи. - М.: Наука, 1988. – 96 с.

12. Підручна М.В. Позакласна робота з математики у неповній середній школі. - Т.: Навчальна книга — Богдан, 1997. – 84 с.

13. Тиле Р. Леонард Эйлер. - К.: Вища шк., 1983. – 208 с.

14. Федак І.В. Довжини, кути, площі, цікаві лінії і точки. - Т.: Навчальна книга - Богдан, 1998. – 156 с.

15. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. - М.: Наука, 1981. – 184 с.

16. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. - М.: Просвещение, 1983. – 106 с.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
2
дн.
1
8
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!