Розв'язування задач на тему "Теорема Піфагора"

Геометрія

Для кого: 8 Клас

05.12.2020

726

17

0

Опис документу:
Мета: навчальна: навчити формувати і доводити теорему Піфагора та теорему, обернену до теореми Піфагора; формувати вміння використовувати отримані знання на практиці і в повсякденному житті; розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні властивості, пам’ять, спостережливість, логічне мислення, увагу, зібраність, організованість; виховна: виховувати культуру математичних записів, охайність, наполегливість.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Тема уроку: Теорема Піфагора

Мета уроку:

1) навчальна: навчити формувати і доводити теорему Піфагора та теорему, обернену до теореми Піфагора; формувати вміння використовувати отримані знання на практиці і в повсякденному житті;

2) розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні властивості, пам’ять, спостережливість, логічне мислення, увагу, зібраність, організованість;

3) виховна: виховувати культуру математичних записів, охайність, наполегливість.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація уроку «Теорема Піфагора».

План уроку

1. Організаційний момент 1хв.

2. Перевірка домашнього завдання 1хв.

3. Актуалізація опорних знань і вмінь 2хв.

4. Виклад нового матеріалу 13хв.

5. Розв’язування вправ 25хв.

6. Підсумок уроку 2хв.

7. Домашнє завдання 1хв.

Девіз уроку:

«Геометрія володіє  

багатьма скарбами:

один з них – це

теорема Піфагора»

Йоганн Кеплер

Хід уроку

  1. Організаційний момент.

Вітаюсь з учнями. Перевіряю готовність класу до уроку (чистоту дошки, наявність крейди, ганчірки), з’ясовую хто черговий, відмічаю відсутніх.

2. Перевірка домашнього завдання.

3. Мотивація навчальної діяльності.

Оголошення теми і мети уроку. На сьогоднішньому уроці ми з вами закріпимо теорему Піфагора; навчимося застосовувати набуті знання та вміння до розв’язування стародавніх задач. Зробимо екскурс в історію з життя Піфагора. Проаналізуємо чи отримала дана тема подальший розвиток і застосування у житті людини.

  1. Актуалізація опорних знань.

Який трикутник називають прямокутним?

Як називаються сторони прямокутного трикутника?

Як вони розташовані?

А якщо катет лежить проти кута ?

  1. Виклад нового матеріалу.

Однією з найважливіших і найвідоміших теорем евклідової геометрії є теорема Піфагора. Вона звучить наступним чином: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Відомо більше сотні її різних доведень. Одне з найпростіших таке:

Дано: ;

Довести: .

Доведення: Проведемо з вершини прямого кута висоту . Кожен катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу. Отже і . Додавши рівності почленно, отримаємо: . Далі, .

Отже, .

Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють і , а довжина гіпотенузи дорівнює , то теорему Піфагора можна записати таким чином:

Теорема Піфагора дає змогу за двома сторонами прямокутного трикутника знайти його третю сторону:

;

;

.

Наприклад:

1) 5см, 12см, тоді (см);

2) 2см, 1см, тоді (см).

З рівності також випливає, що і , звідси і , тобто гіпотенуза більша за будь-який з катетів.

Правильна і теорема, обернена до теореми Піфагора: якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник – прямокутний.

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник зі сторонами 3см, 4см і 5см – прямокутний, оскільки . Такий трикутник інколи ще називають єгипетським.

  1. Розв’язування вправ.

Задача 1

Знайдіть катети рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 8см.

Дано: ; ;

=8см.

Знайти: .

Розв’язання

Нехай , тоді з того, що , матимемо, що і .

За теоремою Піфагора: .

Підставимо дані, отримаємо: ;

;

;

;

(см).

Тобто, (см).

Відповідь. см.

Задача 2

Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, якщо бічна сторона і основа відповідно дорівнюють 26см і 20см.

Дано: - рівнобедрений; =26см;

=20см; - висота .

Знайти: .

Розв’язання

- рівнобедрений, тоді - висота, бісектриса і медіана.

1) =10(см) (за властивістю медіани);

2) (за теоремою Піфагора). Тоді

Підставивши дані, отримаємо:

;

;

;

;

=24(см).

Відповідь. 24см.

Задача 3

Через точку А до кола з центром О проведено дотичну АВ, де В – точка дотику. Знайдіть радіус кола, якщо відрізок дотичної АВ дорівнює 8см, а відстань від точки А до центра кола – 17см.

Дано: ; - дотична до кола;

=8см; =17см.

Знайти: .

Розв’язання

1) (за властивістю дотичної до кола);

2) - прямокутний ;

3) (за теоремою Піфагора). Тоді .

Підставивши дані, отримаємо:

;

;

;

;

=15(см).

Відповідь. 15см.

Задача 4

Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5см, а другий – менший від гіпотенузи на 1см. Знайдіть сторони трикутника.

Дано: ;

=5см; 1см.

Знайти: , .

Розв’язування

Нехай , тоді .

За теоремою Піфагора, матимемо: .

Підставивши дані, отримаємо: ;

;

;

(см).

Тобто, (см). Тоді (см).

Відповідь. 12см, 13см.

Задача 5

Периметр прямокутного трикутника дорівнює 36см, а катети відносяться, як 3 : 4. Знайдіть сторони трикутника.

Дано: ;

=36см; .

Знайти: , , .

Розв’язання

1) Нехай - коефіцієнт пропорційності. Тоді з того, що , будемо мати , .

2) Оскільки , то . Тобто, ;

.

3) (за теоремою Піфагора);

;

;

;

|24;

;

;

;

Тоді , , .

Відповідь. 9см, 12см, 15см.

  1. Підсумок уроку.

Сьогодні на уроці ми ознайомилися з теоремою Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. І оберненою теоремою до теореми Піфагора: Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник – прямокутний.

  1. Домашнє завдання.

Бурда: §20 ст.164-165; № 845(2), № 846(2), № 850(2), № 852(2).

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.