Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Опис документу:
У цьому документі йде мова про розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а також про ітераційні та точні методи розв'язування СЛАР.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Нехай дано систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n змінними

ax= b (i = 1,2,…n). (1)

Систему (1) можна записати у вигляді одного матричного рівняння АХ=В,

де А = (а) = – матриця коефіцієнтів а (індекс і вказує рівняння, якому належить коефіцієнт, а індекс j – змінну, при якій він стоїть),

В = , Х = – відповідно стовпець вільних членів і стовпець змінних.

Упорядкована сукупність n чисел с, с, …, с, яка, будучи підставленою в систему (1) замість х, х , …, х, перетворює всі рівняння в правильні числові рівності, називається розв’язком системи (1).

Якщо визначник системи (1)

= det A = 0,

то вона має єдиний розв’язок. Його можна обчислити за формулами Крамера

х = , (к = 1, 2, …, n),

де матрицю А дістають з матриці А, замінивши її к-й стовпець стовпцем вільних членів.

Методи розв’язування систем ліній них рівнянь можна поділити на дві групи: точні й ітераційні.

Точними називають такі методи, які дають змогу знайти точний розв’язок системи (1) за допомогою виконання скінченої кількості арифметичних операцій у припущенні, що всі обчислення, виконуються точно (без округлень), а коефіцієнти системи і вільні члени – точні числа. Але на практиці всі обчислення виконуються з обмеженою кількістю десяткових розрядів, а ірраціональні коефіцієнти і вільні члени, якщо такі є, замінюються раціональними числами. Тому в процесі обчислень вдаються до округлень, а це означає, що розв’язки, які обчислюються за точними методами, фактично є наближеними числами з певними похибками (похибками округлень). До точних належать метод Гауса, метод квадратних коренів, правило Крамера, тощо.

Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв’язок системи (1) із заздалегідь указаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитися і без округлень, коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв’язок системи (1) за допомогою ітераційних методів можна знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченого процесу. Розв’язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати також похибку методу. До ітераційних належать метод ітерації, метод Зейделя тощо.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
2
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!