Розділені різниці і їхні властивості

Опис документу:
У цьому документі йде мова про розділені різниці, їхні властивості та наслідки до їхніх властивостей.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Розділені різниці і їхні властивості.

Введемо поняття розділені різниці. Візьмемо деяку функцію f R і систему вузлів інтерполяції х0, x1, х2,…,хп, хi ≠ хj, при i ≠ j, xi Є [а, b]. Для цієї функції й вузлів утворимо всілякі відношення

(1)

Такі відношення називають розділеними різницями першого порядку. Одержавши розділені різниці першого порядку, ми можемо утворити відношення

(2)

Ці відношення називають розділеними різницями другого порядку. Взагалі, якщо ми вже визначили розділені різниці k-го порядку f(хi; xi+1; .. .; xi+k), то розділені різниці (k+1)-го порядку знаходяться за допомогою формули

(3)

Іноді замість f(xi; xi+1; ...; fi+k) для позначення розділених різниць використовують вираз [хi; xi+1; ...; xi+k]. Умовимося розташовувати таблицю розділених різниць у такий спосіб:

x0

f(x0)

f (x0;x1)

x1

f (x1)

f(x0;x1;x2)

f(x1;x2)

f(x0;x1;x2;x3)

x2

f(x2)

f(x1;x2;x3)

f(x2;x3)

f(x1;x2;x3;x4)

x3

f (x3)

f(x2;x3;x4)

f(x3;x4)

x4

f (x4)

Так, для f(x) = x3; x0 = 0; x1=2; x2 = 3; x3==:5; x4 = 6; x5 = 1 ця таблиця прийме наступний вид:

xi

f(xi)

f(xi;xi+1)

f(xi;xi+1;xi+2)

f(xi;xi+1;xi+2;xi+3)

0

0

4

2

8

5

19

1

3

27

10

49

1

5

125

14

91

1

6

216

12

43

1

1

Нам буде потрібно використовувати деякі властивості розділених різниць.

Насамперед доведемо, що розділена різниця k-го порядку f(xi; xi+1;…; xi+k) дорівнює

(4)

Доведення будемо проводити по індукції. Для k-1 це твердження справедливо, тому що

Припустимо, що воно справедливо для k = l-1, і доведемо його справедливість для k = l. Справді,

=

В отриманому виразі f(xi) і f(xi+l) зустрічається по одному разу й притому у вигляді

тобто вони повинні входити в доказувану рівність (4). Всі інші f(xj) входять двічі. Поєднуючи ці члени попарно, одержимо:

що нам і потрібно довести.

З доведеного випливає ряд наслідків.

Наслідок 1. Розділена різниця суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці розділених різниць доданків, відповідно зменшуваного й від'ємника.

Наслідок 2. Постійний множник можна виносити за знак розділеної різниці.

Наслідок 3. Розділена різниця є симетрична функція своїх аргументів, тобто

. . .

Наслідок 4. Якщо x і t пов’язані лінійним співвідношенням x=t+, то , де g(t)=f(t+) і

Розділені різниці володіють ще однією властивістю, а саме: розділені різниці k-гo порядку від хп є однорідними багаточленами відносно своїх аргументів ступеня п - k; при k=п рівні 1 і при k > п рівні 0.

Доведемо це.

Для різниць першого порядку маємо:

Далі, якщо для будь-яких i ,то

Властивість доведена.

На підставі її й наслідків 1 і 2 маємо, що розділені різниці порядку п від багаточлена n-го степеня постійні, а різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. Останнім зауваженням можна користуватися для виявлення помилок у таблицях багаточленів або функцій, близьких до них.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
0
дн.
1
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!