і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Рівняння з одним невідомим

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Рівняння з одним невідомим. Постановка задачі. Аналіт. і граф. методи.

Нехай задано рівняння з однією змінною f(x) = 0 (1)

де функція f(x) визначена і неперервна на деякому проміжку <а;b>.

Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень із <а;b>, при яких рівняння (1) перетвориться в тотожність. Корінь рівняння (1) називають ще нулем функції f(x). Якщо функція f(x) — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) нази­вається алгебраїчним. Якщо функція f(x) містить тригонометричні, по­казникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (1) називають трансцендентним. Задача знаходження коренів рівняння (1) вважається розв’язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Нехай х* — точний корінь, а х — його наближене значення. Кажуть, що корінь х обчислено з наперед заданою точністю ε, якщо |x* - x| < ε. Знаходження наближених коренів рівняння (1) складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто знаходження досить малих відрізків, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю.

Перший етап називають ще задачею визначення відрізків ізоляції коренів, а другий — уточненням наближених коренів.

Відокремлення коренів аналітичним і графічним методами

Графічний метод. Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції у = f(x) і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння (1) записують у вигляді (х) = g(x) і будують гра­фіки функцій = (х) і = g(x), потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Аналітичний метод. Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах.

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на <а;b> і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто f(a) f(b) < 0, то всередині відрізка <а;b> існує хоча б один корінь рівняння f(x)=0.

На малюнку зображено графік функції у = f(x), яка за­довольняє усі вимоги теореми 1 і має на <а;b> чотири нулі. У досить малому околі точки теорему існування кореня застосувати не можна, бо при пере­ході зліва направо через точку x3 знак функції f(x) не змінюється. Точка x3 — кратний корінь рівняння (1) і його не можна відокремити, користуючись теоремою 1. Тому далі вважатимемо, що f '(x) ≠ 0 для всіх х <а;b>.

Теорема 2 (теорема існування і єдиності кореня). Якщо функція f(x), неперервна і диференційована на <а;b>, набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна f '(x) зберігає сталий знак всередині відрізка <а;b>, то рівняння f(x) = 0 на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 1 і 2 алгоритм відокремлення коренів рівняння (1) можна сформулювати так:

  1. Знайти область визначення рівняння.

  2. Знайти критичні точки функції f(x).

  3. Записати інтервали монотонності функції f(x).

  4. Визначити знак функції f(x) на кінцях інтервалів монотонності.

  5. Визначити відрізки, на кінцях яких функція f(x) набуває значень протилежних знаків.

  6. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про рівняння з одним невідомим, постановку задачі, аналітичний і графічний методи.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Українська мова у професійній діяльності державних службовців. Публічна комунікація»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
36 години
590 грн
295 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти