До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
5
міс.
1
0
дн.
0
9
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!

Различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах и её применение при решении задач

Опис документу:
Цели урока: 1. Образовательные – повторить понятие расстояния от точки до плоскости и теорему о трех перпендикулярах; показать применение этой теоремы при решении задач; обеспечить восприятие учебного материала с помощью презентаций; 2. Развивающие – способствовать формированию ключевых компетенций, а также активизации творческой деятельности учащихся; 3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, умение четко организовать работу.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Управление образования и науки исполкома

Криворожского городского совета

Криворожская общеобразовательная школа № 124

Различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах и её применение при решении задач

Подготовила учитель математики

КОШ № 124

Переходько Татьяна Николаевна

г. Кривой Рог

2018

Тема урока. Различные способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах и её применение при решении задач.

Цели урока:

  1. Образовательные – повторить понятие расстояния от точки до плоскости и теорему о трех перпендикулярах; показать применение этой теоремы при решении задач; обеспечить восприятие учебного материала с помощью презентаций;

  2. Развивающие – способствовать формированию ключевых компетенций, а также активизации творческой деятельности учащихся;

  3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, умение четко организовать работу.

Тип урока: урок первичного закрепления новых знаний.

Технологии: информационные технологии

Оборудование: медиапроектор, экран, мультимедийная программа Microsoft PowerPoint.

План урока.

  1. Организационный момент

  2. Презентация по повторению перпендикулярных прямых и прямых, перпендикулярных плоскости.

  3. Проверка домашнего задания (доказательство теоремы о трех перпендикулярах тремя способами).

  4. Физкультминутка

  5. Решение задач по готовым чертежам.

  6. Итог урока

  7. Домашнее задание.

Ход урока

  1. Организационный момент.

Сегодня мы продолжаем работу над теоремой о трех перпендикулярах, при доказательстве которой используются различные способы. Мы рассмотрим три из них, но существуют ещё несколько способов доказательства: метод от противного, векторный, и некоторые другие.

2.Презентация

В начале урока мы посмотрим небольшую презентацию по повторению перпендикулярных прямых и прямых, перпендикулярных плоскости. Вопросы по презентации

  1. Угол между прямыми равен 90°. Как называются такие прямые? (перпендикулярные)

  2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?» (да.)

  3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она…» (перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.)

  4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? (Они параллельны.)

  5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, … (параллельны)

  6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Возможный ответ: как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой).

  1. Проверка домашнего задания

Теорема: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной 

Доказательство:

Обратимся к рисунку, на котором отрезок АВ – перпендикуляр к плоскости π, АС – наклонная, m – прямая, проведенная в плоскости π через точку С перпендикулярно к проекции СВ наклонной. Докажем, что m  АС. Рассмотрим плоскость АСВ. Прямая m перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, лежащим в плоскости АСВ (m ВС по условию и m  AB, так как АВ  π). Отсюда следует, что прямая m перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в частности m  АС. Теорема доказана.

2 способ доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

3 способ доказательства теоремы о трех перпендикулярах.

На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2= AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA

4.Физкультминутка

Время тратить мы не будем, поднимаем кверху руки,

Опускаем их на плечи, продолжаем дальше вместе.

Поднимаем, опускаем, от урока отдыхаем.

Руки вверх над головой, смотрим все перед собой,

Позвоночник выпрямляем, локти сводим, распрямляем,

Организм оздоровляем, кислородом наполняем.

Чтобы ноги поразмять, будем дружно приседать,

Встали, кверху потянулись, повторили, улыбнулись.

Заряд бодрости поможет нам опять урок продолжить.

5. Решение задач по готовым чертежам.

1 Условие: в треугольнике АВС угол С равен 90°, ВК перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Доказать, что КС перпендикулярна АС.

Решение:

ВК перпендикулярен АВС, КС – наклонная, ВС – проекция. ВС перпендикулярен АС так как угол С равен 90°, значит КС перпендикулярен АС по теореме о трех перпендикулярах.

2 Условие: АВСD – квадрат, ВК перпендикулярен плоскости квадрата, О – точка пересечения диагоналей квадрата. Доказать, что КО перпендикулярен АС.

Решение:

ВК перпендикулярен плоскости квадрата, ВО – проекция, КО – наклонная, ВО перпендикулярен АС так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Значит, КО перпендикулярен АС по теореме о трех перпендикулярах.

3 Условие: АВСD – квадрат, АВ = 2 см, ВК перпендикулярен плоскости квадрата, ВК = 2. Найти площадь треугольника АКD.

Решение:

КВ перпендикулярен плоскости квадрата, АК – наклонная, АВ – проекция. АВ перпендикулярен АD, так как АВСD – квадрат. Значит, АК перпендикулярен АD по теореме о трех перпендикулярах. Значит, треугольник АКD – прямоугольный. Площадь треугольника АКD равна половине произведения АК на АD. В треугольнике АВК: по теореме Пифагора АК2=КВ2+АВ2==12+4=16. АК =

  1. Значит площадь треугольника АКD равна  см2.

  2. Ответ: 4 см2.

  3. Итог урока.

Сегодня мы ещё раз повторили теорему о трех перпендикулярах и рассмотрели некоторые задачи по готовым чертежам. 
7. Домашнее задание.

§2 п. 19 и 20, №148.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Розвиток ключових компетентностей педагога Нової української школи в умовах безперервної освіти»
Вікторія Вікторівна Сидоренко
30 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.