Коротка та змістовна презентація для учнів старших класів і студентів профільних ВНЗ.
1слайд. Презентація на тему: «Історія створення і обґрунтування неевклідової геометрії».
2 слайд. У III столітті до нашої ери грецький вчений Евклід привів в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начала». Ця книга більше двох тисяч років служила підручником геометрії у всьому світі.
Уважне вивчення системи Евкліда привело вчених до висновку, що в «Началах» є досить серйозні недоробки. Наприклад, число аксіом, сформульованих Евклідом, є недостатнім для строгого викладу геометрії, тому Евклід при викладі деяких своїх доведень спирався на безпосередню очевидність, наочність, інтуїцію і чуттєві сприйняття.
Окрім геометрії, яку вивчають в школі(Геометрії Евкліда), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевского. Ця геометрія істотно відрізняється від Евкліда, наприклад, в ній стверджується, що через цю точку можна провести безліч прямих, паралельних цій прямій, що сума кутів трикутника менше 180о. У геометрії Лобачевского не існує прямокутників, подібних трикутників і так далі.
3 слайд. Неевклідова геометрія з'явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда - аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивовижна, незвичайна і багато в чому не відповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічному відношенні ця геометрія не поступається геометрією Евкліда.
В історії розвитку аксіоматичного методу важливу роль зіграли аксіоми Д. Гільберта, німецького ученого(1862-1943), що виділявся серед плеяди учених того періоду. Ці аксіоми свого часу відповідали рівню суворості геометрії. У 1899 р. Д. Гільберт писав: «Геометрія, так само як і арифметика, вимагає для своєї побудови тільки небагатьох простих основних положень. Ці основні положення називаються аксіомами геометрії. Встановлення аксіом геометрії і дослідження їх взаємовідносин - це завдання, яке з часів Евкліда стало темою численних прекрасних творів математичної літератури.
Аксіоматичний метод, уперше розроблений Д. Гільбертом в геометрії з нових позицій, проник і в інші гілки математики : в теорію множин, алгебру, топологію, теорію ймовірностей та ін. Окрім цього, аксіоматичний метод став використовуватися і при побудові інших наук, особливо фізики. Ці досягнення пов'язані з переворотом в геометрії, здійсненим М.І. Лобачевським. Історично склалося, що саме до п'ятого постулату Евкліда упродовж багатьох віків було привернуто увагу математиків. Глибоко проаналізувавши спроби доведень п'ятого постулату, як своїх, так і що належать іншим математикам, М.І. Лобачевський прийшов до переконання про незалежність цього постулату від інших аксіом, тобто до несуперечності геометрії, в якій аксіоматизується існування двох різних прямих, що проходять через цю точку паралельно заданій прямій.
М.І. Лобачевський не лише передбачив існування нової геометрії - неевклідової, але і детально її розробив. Його точка зору суперечила усім уявленням людини про навколишній світ. Нова геометрія різко розходилася з філософським поглядом того часу на простір (І.Кант), тому це відкриття було приголомшуючим. Виходило так, що припущення про неевклідовість реального фізичного простору несуперечило аксіомам Евкліда, окрім п'ятого постулату.
4 слайд. "Начала" геометрії.
Постулати:
I. Потрібно, щоб від кожної крапки до всякої іншої крапки можна було провести пряму лінію.
II . І щоб кожну пряму можна було невиразно продовжити.
III. І щоб з будь-якого центра можна було описати окружність будь-яким радіусом.
IV. І щоб всі прямі кути були рівні.
V. Далі буде обговорюватись.
Аксіоми:
I. Рівні порізно третьому рівні між собою.
II. І якщо до них додамо рівні, то одержимо рівні.
III. І якщо від рівних віднімемо рівні, то одержимо рівні.
IV. І якщо до нерівного додамо рівні, то одержимо нерівні.
V. І якщо подвоїмо рівні, то одержимо рівні.
VI. І половини рівних рівні між собою.
VII. І сумісні рівні.
VIII. І ціле більше частини.
IX. І дві прямі не можуть містити простори.
5 слайд. Евклідова аксіома про паралельні твердить:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:
через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
6 слайд. Геометрія Лобачевського - одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.
7 слайд. Основоположником неевклідової геометрії є Микола Іванович Лобачевський (1 грудня 1792, Нижній Новгород - 24 лютого 1856, Казань), російський математик, творець геометрії Лобачевського, діяч університетської освіти та народної освіти. Відомий англійський математик Вільям Кліффорд назвав Лобачевського «Коперником геометрії».
8 слайд. Датою виникнення неевклідової геометрії вважається 23 лютого 1826 року, коли російський математик М. І. Лобачевський (1792-1856) на засіданні фізико-математичного факультету Казанського університету оголосив про створення нової геометрії, яку він назвав «уявною геометрією». Ця геометрія була заснована на тих же традиційних постулатах і аксіомах геометрії, як і у Евкліда, але з заміною його п'ятого постулату про паралельні лінії.
У 1829 р. - "о началах геометрії" - перша друкована робота Лобачевського.
Незалежно від Лобачевського до такої думки прийшли ще декілька відомих математиків.
9 слайд. Угорський математик Януш Бояї (1802-1860) опублікував своє відкриття неевклідової геометрії у додатку до математичного трактату його батька, Фаркаса Болая, під назвою "Тентамен" у 1831 році (на 3 роки пізніше чим Лобачевський). Фаркас давно дружив з Карлом Фрідріхом Гауссом (1777-1855), коли вони обидва були студентами. Фаркас хотів поділитися цим відкриттям з Гауссом, тому відправив йому копію «Тентамена» і отримав таку відповідь від нього: «Я не можу хвалити цю роботу, тому що хвалити її означало б похвалити себе». Як з’ясувалося, Гаусс придумав те саме тридцятьма роками раніше. Гаусс стверджував, що не відчував, що його робота була достатньо гідною для публікації, і боявся того, як відреагує публіка на його відкриття.
Ані Бояї, ані Гаусс не знали, що це першим, хто опублікував розповідь про неевклідову геометрію, був саме Микола Іванович Лобачевський, яку він зробив у 1829 році. Лобачевський писав свою роботу російською мовою тому, швидше за все, Гаусс і Бояї про це не знали, оскільки німецька та французька мови були переважаючими мовами для математичних робіт у той час. Лобачевський отримав багато негативних відгуків, яких Гаусс побоювався щодо своєї роботи, але він не засмучувався і продовжував публікувати свої твори. Він опублікував трактат німецькою мовою, який надіслав Гаусу, а згодом, з впливом Гаусса, був обраний почесним членом Наукове товариство Геттінгена.
Повне визнання і широке поширення геометрія Лобачевського отримала через 12 років після його смерті, коли стало зрозуміло, що наукова теорія, побудована на базі деякої системи аксіом вважається тільки тоді повністю завершеною, коли ця система аксіом задовольняє трьом умовам: незалежності, несуперечності і повноти. Саме цим властивостям і задовольняє геометрія Лобачевського.
Однак знаходження гіперболічної геометрії було недостатньо: комусь потрібно було довести, що гіперболічна геометрія узгоджується. Це в кінцевому підсумку показали за допомогою моделей (інтерпретацій). Багато людей вирішили знайти приклади цієї так званої «неевклідової геометрії».
10 слайд. Еудженіо Бельтрамі (1835-1899) написав у 1868 році мемуар «Досвід тлумачення неевклідової геометрії» та показав, що в евклідовому просторі R3 на псевдосферичних поверхнях має місце геометрія шматка площини Лобачевського, якщо на них за прямі прийняти геодезичні лінії. Бельтрамі перший показав, що гіперболічна геометрія була послідовною, використовуючи різні моделі, які з яким він працював.
Далі німецький математик Фелікс Клейн (1849-1925) представив модель диска Бельтрамі з використанням проективної геометрії. Клейн довів, що євклідова геометрія узгоджується тоді і лише тоді, коли є гіперболічна геометрія. На цьому більшість дискусій про «фальшивість» геометрії Лобачевського закінчилися.
Дві інші моделі неевклідової геометрії приписується Анрі Пуанкаре (1854-1912). Він створив іншу модель диска, а також модель верхньої напівплощини.
11 слайд. Результатом такого неевклідової підходу стало створення Георгом Фрідріхом Бернгардом Ріманом ріманової геометрії, яка розвинула математичне вчення про простір, поняття диференціала відстані між елементами різноманіття і вчення про кривизну. Введення узагальнених ріманових просторів, окремими випадками яких є простори Евкліда та Лобачевського й так званої геометрії Рімана, відкрило нові шляхи в розвитку геометрії і знайшли застосування у фізиці (теорія відносності) та інших розділах природознавства.
Таким чином, геометрія Лобачевського вивчає властивості «плоскості Лобачевського» (у планіметрії) і «простору Лобачевського» (у стереометрії). Площина Лобачевського - це площина (безліч точок), у якій визначені прямі лінії, а також рухи фігур (разом з тим - відстані, кути тощо), що підкоряються всім аксіомам евклідової геометрії, за винятком аксіоми про паралельні прямі, яка замінюється вказаною вище аксіомою Лобачевського. Схожим чином визначається простір Лобачевського. Завдання з'ясування реального сенсу геометрії Лобачевського полягало в знаходженні моделей площини і простору Лобачевського, тобто в знаходженні таких об'єктів, в яких реалізувалися б відповідним чином витлумачені положення планіметрії і стереометрії геометрії Лобачевського.
12 слайд. Історичне і філософське значення Геометрії Лобачевського полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії, математики та науки в цілому.
Незважаючи на всі уявні дивацтва, геометрія Лобачевського є справжньою геометрією нашого світу, і Евклідова є тільки її складовою частиною. Але в межах щоденних вимірювань Евклідова геометрія дає мізерно малі помилки, і ми користуємося саме нею.
Дякую за увагу.
