Сьогодні о 18:00
Вебінар:
«
Побудова дисципліни у ЗДО: профілактика проблемної поведінки
»
Взяти участь Всі події

Практикум розв’язування задач із стереометрії

Геометрія

Для кого: 11 Клас, 12 Клас

29.08.2021

88

2

0

Опис документу:
В даному матеріалі "Практикум розв’язування задач із стереометрії" дібрано низку геометричних задач з готовими рисунками та детальним поясненням. Матеріал можна використати на уроках геометрії в 11 класі та для підготовки до ЗНО з математики.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Практикум розв’язування задач із стереометрії

Задача1. У правильній чотирикутній піраміді ( - вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника , проведеною з вершини , та середньою лінією трикутника , що паралельна основі піраміди.

Розв’язання:





















- правильна чотирикутна піраміда. Нехай , тоді .

за трьома сторонами, тому (відповідні елементи рівних фігур – рівні).

З . .

З .

- середня лінія , тому .

Нехай (шуканий кут), тоді з рівнобедреного

Відповідь: .

З адача 2. У правильній трикутній піраміді з основою бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки і є серединами ребер і відповідно. Через пряму , паралельно до ребра , проведено площину . Знайдіть кут між площиною і площиною .

Розв’язання:

Нехай , де - висота

В гранях та проводимо та відповідно. Площина - це площина, в якій лежить чотирикутник . Точка - точка перетину площини з висотою піраміди. Ребро , отже, шуканий кут - це кут нахилу бічного ребра до основи. Покладемо - сторона основи, тоді , тоді .

Відповідь: .

Задача 3. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші – нахилені до основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди.

Розв’язання:

Розглянемо трикутну піраміду , у якої . Отже, - висота і медіана рівнобедреного трикутника є висотою піраміди. Проводимо , - похила, - її проекція, тому (теорема про три перпендикуляри). (лінійний кут двогранного кута).

  1. З

  2. З

  3. Підставляємо 2) та 4) в 1):

Відповідь: .



Задача 4. Радіус основи конуса , твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Розв’язання:

Розглянемо конус, в якому проведено переріз . Цей переріз – рівнобедрений трикутник , як твірні конуса). , де - центр основи конуса ( - проекція на площину основи). Проведемо , тоді - це кут між площиною перерізу і висотою конуса ( - проекція на цю площину).

  1. З

  2. З

  3. - прямокутний ( - проекція на основу, , тоді за теоремою про три перпендикуляри ). За теоремою Піфагора:

  4. Шукана площа:

Відповідь: .







З адача 5. Основою чотирикутної піраміди є квадрат . Ребро перпендикулярне до площини основи піраміди. Точка - середина ребра . Площина утворює з площиною основи піраміди кут . Знайдіть площу трикутника , якщо довжина ребра дорівнює .



Розв’язання:

Розглянемо піраміду , в якій , - середина . Площина , оскільки містить перпендикуляр, проведений до основи. Проведемо , тоді і . Проведемо , тоді за теоремою про три перпендикуляри і (лінійний кут двогранного кута). З : . - середня лінія , тому . В основі піраміди лежить квадрат, тому . Шукана площа:

Відповідь: .



Задача 7. Основа висоти трикутної піраміди , проведеної із вершини , збігається з точкою перетину висот трикутника . Відомо, що .

  1. Доведіть, що бічні грані піраміди є прямокутними трикутниками.

  2. Знайдіть відношення площ граней і .

Розв’язання:

a) Нехай - висота піраміди, - ортоцентр . , але - проекція на . За теоремою про три перпендикуляри . Аналогічно, .

В площині через точку проведемо , тоді . Пряма ( - прямокутний, оскільки ). За ознакою перпендикулярності прямої і площини . Аналогічно доводиться . Для цього в площині треба провести через точку пряму паралельно до .

b)

Відповідь: b) 0,75.









Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.