Сьогодні о 18:00
Вебінар:
«
Підвищення кваліфікації та атестація педагогічних працівників ЗДО і ЗЗСО за новим профстандартом
»
Взяти участь Всі події

Посібник "Захоплюючий світ параметрів. Перше знайомство". Частина друга

Математика

Для кого: 11 Клас

02.04.2020

688

14

0

Опис документу:
Пропонований посібник є продовженням викладення різних методів розв’язування задач з параметрами, а саме розв’язування раціональних та ірраціональних рівнянь, а також показникових та логарифмічних рівнянь з параметрами. Окремо виділено розділ розв’язування рівнянь, що зустрічаються в ЗНО. Наведено зразки розв’язування задач різної складності.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ І НАУКИ

ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ

УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ КАМ’ЯНЕЦЬ-ПОДІЛЬСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР

Міська творча група вчителів математики:

Семенюк А.В.

Кухаришина Н.Ю.

Новікова А.Г.

ЗАХОПЛЮЮЧИЙ СВІТ ПАРАМЕТРІВ.

ПЕРШЕ ЗНАЙОМСТВО

Частина друга

На допомогу вчителям та учням

закладів загальної середньої освіти

Кам’янець-Подільський

2019

Схвалено радою науково-методичного центру

управління освіти і науки Кам’янець-Подільської міської ради

(протокол №5 від 20.09.2019 р.)

Рецензенти:

Сморжевський Ю.Л. кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математики Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка

Чижевська О.М. учитель математики, спеціаліст вищої категорії, учитель–методист Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №15

Міська творча група вчителів математики:

Семенюк Анжела Вікторівна, учитель математики, спеціаліст вищої категорії, старший учитель Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №17 І-ІІІ ступенів

Кухаришина Наталія Юліївна, учитель математики, спеціаліст вищої категорії, старший учитель Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №17 І-ІІІ ступенів

Новікова Анжела Георгіївна, методист НМЦ управління освіти і науки Кам’янець-Подільської міської ради; вчитель математики Кам’янець-Подільської загальноосвітньої школи №15 І-ІІІ ступенів, вчитель-методист

Захоплюючий світ параметрів. Перше знайомство. Частина 2 – Кам’янець-Подільський, 2019. – 90с.

Пропонований посібник є продовженням викладення різних методів розв’язування задач з параметрами, а саме розв’язування раціональних та ірраціональних рівнянь, а також показникових та логарифмічних рівнянь з параметрами. Окремо виділено розділ розв’язування рівнянь, що зустрічаються в ЗНО. Наведено зразки розв’язування задач різної складності.

Велика кількість докладно розв’язаних прикладів та система вправ для самостійного розв’язування допоможе учням оволодіти вміннями досліджувати згадані вище рівняння, що містять параметри.

Посібник буде корисний учителям та учням закладів загальної середньої освіти.

Передмова

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення, математичної культури, дослідницької компетентності школярів. Ці завдання належать до творчого рівня навчальних досягнень учнів, а тому передбачають здатність до узагальнення, абстрагування, творчості, що дає учням можливість активно залучатися до дослідницької діяльності, у процесі якої відбувається формування дослідницьких умінь.

Розв’язування завдань з параметрами є одним із засобів реалізації наступності навчання у ланці «Школа – ВНЗ». Задачі з параметрами традиційно входять до завдань з математики на ЗНО і мають за мету перевірку логічного мислення учнів.

Серед завдань зовнішнього незалежного оцінювання з математики щороку трапляються рівняння з параметрами. Але оскільки шкільна програма не передбачає набуття стійких навичок розв’язання таких рівнянь учнями, тому ці питання доцільно розглядати на факультативних заняттях.

У більшості учнів загальноосвітніх шкіл, крім тих, що навчаються в класах з поглибленим вивченням математики, виникають труднощі підчас підготовки та написання ЗНО, а саме виконання завдання №33 з параметром. В програмі з математики не передбачено вивчення задач з параметрами, тому учням доводиться самостійно опрацьовувати матеріал, щоб витримати конкуренцію під час написання ЗНО. Високих результатів розв’язання рівнянь з параметрами можна досягти тільки тоді, коли систематично відпрацьовуються методи їх розв’язування під час вивчення різних тем навчання, зокрема, дробово-раціональних та ірраціональних рівнянь, показникових та логарифмічних.

Порівнюючи звичайні задачі із задачами з параметрами, останні здаються учням та абітурієнтам набагато складнішими. Це дійсно один з найскладніших у логічному та технічному аспектах розділів елементарної математики. Пояснюється це тим, що під час розв’язування доводиться відслідковувати не лише незалежну змінну і параметри, а й їхній вплив один на одного.

Задачі з параметром мають високу діагностичну цінність. Адже за їхньою допомогою можна перевірити знання основних розділів шкільної математики. І тому основне завдання для учнів полягає в тому, щоб обережно, навіть делікатно спілкуватися з фіксованим, але невідомим числом – параметром.

Для розв’язування рівнянь з параметрами не потрібно спеціальних знань, що виходять за межі шкільної програми. Проте необхідність у проведенні досліджень значно ускладнює розв’язування завдань цього типу.

Розв’язування задач з параметрами потребує знань властивостей елементарних функцій (область визначення, множина значень, проміжки зростання та спадання), властивостей рівнянь (рівносильність та нерівносильність перетворень), вміння проводити дослідження, розглядаючи усі можливі випадки. Крім того, для застосування графічних методів потрібні вміння виконувати побудову графіків функцій та проводити графічні дослідження, що відповідають різним значенням параметра.

Даний посібник є продовженням посібника «Захоплюючий світ параметрів. Перше знайомство», де було розглянуто різні методи розв’язування лінійних та квадратних рівнянь з параметрами. У другій частині розглянуто різні методи розв’язування раціональних та ірраціональних, а також показникових та логарифмічних рівнянь з параметрами.

Метою посібника є поступове ознайомлення та вивчення завдань з параметрами, формування в учнів розгалуженого мислення, уміння лаконічно записувати розв’язання задач з параметрами, а також формування навичок роботи з ними.

В даному посібнику запропоновані приклади розв’язування рівнянь з параметрами, які можна використати при розв’язуванні відповідних типів рівнянь як на уроках математики, так і на факультативних заняттях та при підготовці до ЗНО. Розв’язування рівнянь з параметрами потребує знання властивостей функцій та рівнянь, їх графіків та перетворень з ними, вміння виконувати алгебраїчні перетворення, техніки досліджень, вміння поєднувати в єдине ціле знання з кількох розділів математики.

Посібник складається з п’яти розділів: «Теоретичні основи», «Дробово-раціональні рівняння», «Ірраціональні рівняння», «Показникові та логарифмічні рівняння», «ЗНО і рівняння з параметрами».

Розділи містять детальне розв’язання задач, деякі теоретичні відомості та поради, а також задачі для самостійного опрацювання (від типових до більш складних). До більшості задач подано відповіді.

Матеріали даного посібника можуть бути використані для індивідуальної роботи з учнями, що прагнуть знати матеріал більш глибоко та досконало, а також для учнів, які свідомо розуміють що для отримання високих результатів ЗНО треба обов’язково вміти розв’язувати завдання з параметрами.

Зрозумівши наведені приклади та розв’язавши завдання для самостійної роботи, учень (і вчитель) краще буде розв’язувати різні типи рівнянь з параметрами. Учні, що володіють методами розв’язування рівнянь з параметрами будуть успішно розв’язувати інші задачі.

Процес розв'язування завдань з параметрами на переконання авторів посібника є розвивальним для будь-якої особистості та потенційно творчий.

Сподіваємося, що здобутки у ході роботи над даним посібником, під час розв’язування, обов’язково будуть приносити задоволення від виконаного. Бажаємо успіхів та наполегливості в обраному напрямку!

§1. Теоретичні основи

    1. Рівняння з параметрами

Розглянемо розв’язування раціональних рівнянь з параметрами. Рівняннями з параметрами називають рівняння виду f(х; а1; а; а; ; ) = 0, де х – шукане невідоме, а ; а₂; а₃; …; – змінні параметри.

Значення параметрів ;а₂;а₃;…; , при яких вираз f(х; ;а₂;а₃;…; ) має зміст при деяких значеннях х, називають допустимим.

Розв’язування рівнянь з параметрами визначається залежно від допустимих значень параметрів.

Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі його розв’язки для кожної системи допустимих значень параметрів.

При розв’язуванні рівнянь з параметрами область зміни параметрів може бути заданою. Якщо не вказані межі зміни параметрів, то вважається, що параметри набувають усіх своїх допустимих значень.

Параметр-фіксоване, але невідоме число має двоїсту природу. Параметр можна, по-перше, розглядати як число, а по-друге, як невідоме число. Отже, ділення на вираз, який містить параметр; добування кореня парного степеня із таких виразів потребують дослідження, як правило результати дослідження впливають і на розв’язок і на відповідь.

Розв’язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра а слід установити, чи має рівняння розв’язки, які залежать від параметра а.

Ірраціональним рівнянням називається рівняння, що містить змінну під знаком кореня n-го степеня.

    1. Типи рівнянь з параметрами

Рівняння з параметрами поділяються на такі типи:

  1. рівняння, які необхідно розв’язувати для всіх значень параметра або із заданого проміжку;

  2. рівняння, в яких треба знайти кількість розв’язків в залежності від значень параметра;

  3. рівняння, в яких необхідно знайти значення параметра, при яких рівняння має задану кількість розв’язків;

  4. рівняння, в яких необхідно знайти значення параметра, при яких множина рішень задовольняє задану умову.

    1. Загальний алгоритм аналітичного методу
      розв’язування рівнянь з параметрами

Загальний алгоритм розв’язування рівнянь з параметрами аналітично можна подати так:

1) знайти ОДЗ змінної та параметра;

2) будь-яке рівняння (нерівність) з параметром розв’язувати як звичайне рівняння (нерівність) до тих пір, поки всі перетворення, необхідні для розв’язання, можна виконувати однозначно;

3) якщо перетворення не можна виконати однозначно, то розбити область зміни параметра на проміжки, такі, що при зміні параметра на кожному з них отримане рівняння можна розв’язати одним і тим самим способом;

4) на кожному проміжку знайти корені рівняння;

5) записати відповідь, яка містить перелік проміжків зміни параметра з вказаним для кожного з них всіх коренів рівняння.

Даний алгоритм іноді називають метод «гілкування».

    1. Загальний алгоритм графічного методу
      розв’язування рівнянь з параметрами

Етапи графічного методу:

  1. Знайти ОДЗ невідомої, параметра, при яких рівняння може мати розв’язки

  2. Виразити параметр а як функцію від х: а = f(х).

  3. В системі координат ХОА побудувати графік функції а = f(х) для тих значень х, які входять в область визначення рівняння

  4. Визначити точку перетину прямої а = с ( з графіком функції а=f(х).

Можливі ситуації:

а) пряма а = с не перетинає графік а = f(х). При значенні а = с дане рівняння розв’язків не має;

б) пряма а = с перетинає графік а = f(х) в одній або кількох точках, визначаємо абсциси точок перетину.

5. Записати відповідь.

Графічний метод розв’язування завдань з параметрами по своїй сутності – це метод «перерізів», який передбачає знаходження розв’язків рівняння f(x)=g(x), де f(x) і g(x), - функції, що стоять в лівій і правій частинах рівняння чи нерівності з параметром. А розв’язки цього рівняння – абсциси точок перетину графіків функцій y = f(x) та y = g(x). Тому графічний метод можна назвати методом «перерізів».

Обираючи метод розв’язування завдань з параметрами слід враховувати складність рівносильних перетворень та побудови графіків. Графічний метод раціонально застосовувати, коли треба визначити не самі корені, а їх кількість. Або коли в лівій частині добуток виразів із змінною, а права дорівнює 0, або зліва функція без параметра, а права дорівнює параметру. Цей метод ілюструє процес розв’язування завдання з параметром, але інколи побудувати графік значно складніше ніж застосувати один із аналітичних методів.

Основними методами розв’язування рівнянь з параметрами є аналітичні та графічні, що ілюструє наступна таблиця:

Основні методи

розв’язування рівнянь з параметрами

Аналітичні

Графічні

Використання рівносильних перетворень

Використання властивостей функцій

Використання рівнянь-наслідків

Розкладання на множники

Метод відносно коефіцієнтів

Система координат (x;y)

Система координат (x;а)

При цьому, як правило, останнім етапом у розв’язуванні рівнянь з параметром є застосування методу «гілкування».

Розв’язання рівнянь з параметрами потребує знання властивостей функцій та рівнянь, їх графіків функцій та перетворень над ними, вміння, виконувати алгебраїчні перетворення високої логічної культури, техніки досліджень, міцних знань теоретичного матеріалу, вміння поєднувати в єдине ціле знання з кількох розділів математики.

Можна зробити висновки, що розв’язувати ірраціональні рівняння з параметром першого і четвертого типів краще методом «гілкування», оскільки необхідно знайти всі значення змінної при кожному можливому значенні параметра (або значень параметра з заданого проміжку), або коли множина рішень задовольняє заданим умовам. Але цей метод інколи довгий і складний, тому спочатку треба визначити чи можна застосувати до даного рівняння функціональний підхід, що значно спрощує розв’язання.

Рівняння другого і третього типів значно простіше розв’язується графічним методом, оскільки слід визначити тільки кількість коренів в залежності від значень параметра або навпаки значення параметра, при яких рівняння задовольняє задана кількість розв’язків. З побудови графіків наочно видно, коли виконується задана умова.

Інколи зустрічаються такі рівняння, для розв’язування яких, слід застосовувати не один а декілька методів.

Переваги графічного методу:

  • наочність, більш просте розв’язання питання про кількість коренів рівняння з параметром;

  • використання ІКТ під час розв’язування графічним способом дозволяє будувати графіки функцій не використовуючи дослідження функції методами математичного аналізу.

Недоліки графічного методу:

  • наближені значення точок перетину графіків.

Дану підбірку прикладів можна використати для:

  • формування дослідницьких вмінь школярів;

  • підготовки учнів до олімпіад з математики;

  • занять факультативів та курсів за вибором;

  • на уроках математики під час розв’язування рівнянь з параметрами;

  • підготовки випускників та абітурієнтів до успішного складання тесту зовнішнього незалежного оцінювання.

§2. Дробово-раціональні рівняння

Означення.

Рівняння вигляду , де f1(x), f2(x)…..fn(x), g1(x), g2(x)…..gn(x) – раціональні вирази відносно змінної х, називається раціональним.

Дробово-раціональні рівняння з параметрами – рівняння, в яких ліва і права частини, або обидві частини – дробові вирази, що мають у своєму складі один або кілька параметрів.

При розв’язанні рівнянь такого типу дуже важливо пам’ятати про область визначення.

Будь-яке рівняння з параметрами можна розв’язувати як звичайне рівняння до тих пір, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’язування, можна виконати однозначно. Якщо якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв’язування необхідно розбити на кілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

Щоб розв’язати раціональне рівняння потрібно:

  • знайти спільний знаменник всіх дробів рівняння;

  • помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник;

  • розв’язати отримане рівняння;

  • відкинути корені, за яких спільний знаменник перетворюється в нуль.

Приклад 1

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння і зведемо їх до спільного знаменника:

Розв’яжемо рівняння:

(1)

Розглянемо два випадки:

– Якщо , тобто m = , то рівняння (1) набуде вигляду . Очевидно, що m = рівняння розв’язків не має.

– Якщо , тобто при m ≠ , то .

Очевидно, що буде розв’язком даного рівняння, тоді і тільки тоді, коли

. Підставимо в цю систему.

Отримаємо:

m ≠ ±.

Отже, при m ≠ і m ≠ ± рівняння має розв’язок

;

при m = і m = ± рівняння розв’язків не має.

Відповідь: якщо m ≠ , m ≠ ±, то ;

якщо m = і m = ±, то рівняння розв’язків не має.

Приклад 2

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Допустимими значеннями параметра є ≠ 0. Областю допустимих значень невідомого х є значення х ≠ 0 і х ≠ ± 2. Помножимо обидві частини заданого рівняння на спільний знаменник дробів: Після спрощень одержимо рівняння:

яке є еквівалентним заданому при ≠ 0, х ≠ 0, х ≠ ± 2.

Зі спрощеного рівняння знайдемо ті значення параметра , за яких невідоме х набуватиме значення х = 0 або х = ± 2. Підставляючи ці значення у спрощене рівняння, матимемо:

– якщо х = 0, то або ;

– якщо , то або ;

– якщо , то або .

Отже, рівняння (2) еквівалентне заданому рівнянню при , , , . Тому при , , , корені початкового рівняння можна визначити, розв’язавши рівняння (2):

і при , , , .

Розглянемо задане рівняння при , , (якщо = 0 задане рівняння не має змісту).

Якщо , то задане рівняння має тільки один корінь

Відповідно х = 1, якщо = -1;

х = 4, якщо ;

х = 8, якщо .

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , , , , то ; .

Приклад 3

За яких значень k рівняння

не має дійсних коренів?

Розв’язання

Очевидно, що при k= –3 і при х = k рівняння не має змісту. Нехай k3 і х k. Зведемо дроби до спільного знаменника і помножимо рівняння на цей знаменник.

Матимемо:

Оскільки (х - k)2 > 0, то рівняння не має коренів, якщо (k + 3)(k 4) 0, тобто якщо k є .

Відповідь: k.

Приклад 4

При яких значеннях параметра рівняння

має один розв’язок?

Розв’язання

Областю допустимих значень рівняння є множина дійсних чисел, крім 3 і –1. На цій множині дане рівняння рівносильне рівнянню:

Щоб задане рівняння мало тільки один корінь (х = 1) необхідно і достатньо, щоб другий корінь (х2) співпадав або з х1 або з числами 3 чи 1.

Звідси:

Відповідь: якщо то рівняння має один корінь.

Приклад 5

За яких значень параметра k рівняння

має додатні розв’язки?

Розв’язання

Задане рівняння має зміст, якщо 3хk≠0 і kx–4 ≠0, тобто х≠ і х≠ (k ≠ 0). Зауважимо, що при k = 0 рівняння набуде вигляду і матиме від’ємний розв’язок , що не задовольняє умову задачі.

Спростимо рівняння, помноживши його на (3xk)(kx–4).

Отримаємо: 520 =9х–3k, тобто (5k–9)х =20–3k.

Останнє рівняння рівносильне початковому за умов х ≠ і х≠ (k≠0).

Знайдемо ті значення k, при яких ці умови не виконуються. Для цього підставимо в останнє рівняння х= і х= (k≠0):

  • якщо х=, то (5k–9), звідси k=±2;

  • якщо х=, то (5k–9); тобто k=±2.

Отже, при k=±2 рівняння не має змісту;

при k≠±2 і k≠ рівняння (5k–9)х =20–3k має єдиний розв’язок

який буде додатним, якщо .

Враховуючи, що k≠±2 робимо висновок, що рівняння має додатні розв’язки при

Відповідь: при

Приклад 6

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Застосуємо формулу

Якщо, то

Відповідь: якщо і то

якщо то розв’язків немає;

якщо то

Приклад 7

Розв’язати рівняння відносно x:

Розв’язання

ОДЗ:

Відповідь: розв’язків не має для будь-якого значення параметра a.

Приклад 8

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Зведемо обидві частини даного рівняння до спільного знаменника. Із врахуванням умови можна відкинути спільний знаменник.

Маємо:

Останній запис ще не є відповіддю, оскільки заборону на певне значення х треба перевести на певні значення параметру.

при .

Тоді

Відповідь: якщо , то

якщо то

Приклад 9

Для кожного значення параметра a розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Враховуючи ОДЗ: маємо:

Відповідь: якщо і , то або

якщо або то

Приклад 10

Розв’язати рівняння і провести дослідження значень параметра:

Розв’язання

ОДЗ:

І. Дослідимо коефіцієнт при :

– сторонній корінь.

ІІ. .

1.,

2.,

Враховуючи ОДЗ, маємо:

Відповідь: якщо і , то або ;

якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то коренів немає.

Приклад 11

При яких значеннях параметра має один корінь рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Шукане рівняння має один корінь, якщо дискримінант тричлена дорівнює нулю або якщо і один із коренів даного тричлена дорівнює одиниці, а інший корінь відмінний від одиниці.

За теоремою Вієта (враховуючи, щоі ):


Відповідь: , або , або a = 6.

Приклад 12

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ: Тоді при

Відповідь: при ;

при ;

при .

Приклад 13

Для кожного значення параметра a розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ: .

Враховуючи ОДЗ, маємо:

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то або .

Приклад 14

Вказати найменше значення параметра, при якому рівняння

має єдиний корінь.

Розв’язання

Розв’яжемо перше рівняння системи:

Отримаємо:

Рівняння матиме один корінь, якщо при тоді

Якщо < то рівняння має два корені:

Для того, щоб рівняння мало рівно один корінь, один з розв’язків не повинен входити в область визначення рівняння, тому

тже, існує при , а при і

Рівняння має рівно один корінь при та

Відповідь: 3,75.

Приклад 15

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Задане рівняння рівносильне системі:

або

Якщо то перше рівняння системи має вигляд: що неможливо. Отже, в цьому випадку вихідне рівняння розв’язків не має.

Якщо то дістанемо: З’ясуємо, при яких значеннях а вираз буде коренем рівняння. Для цього розв’яжемо нерівність або Звідси накладемо на параметр а такі обмеження: і

Відповідь: , якщо і

, якщо або

Приклад 16

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Рівняння має зміст за умови і . За таких обмежень дане рівняння рівносильне рівнянню або

Якщо то приходимо до лінійного рівняння звідси

Нехай Розв’яжемо квадратне рівняння:

Визначимо а, при яких отримані значення і будуть коренями цього рівняння:

  1. умова виконується, якщо ;

  2. , тоді і

Відповідь: ; якщо

якщо

розв’язків не має, якщо

Приклад 17

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Виконаємо перетворення:

Звідси знайдемо корені: якщо якщо

Оскільки перетворення були нерівносильними, то виконаємо перевірку. Значення перетворює вихідне рівняння на тотожність:

Отже, – корінь даного рівняння при довільному значенні а. Значення – корінь цього рівняння, якщо одночасно справедливі нерівності: і

На етапі пошуку плану розв’язання рівнянь з параметром або в ході міркувань, пов’язаних із самим розв’язуванням, зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, які певною мірою алгоритмізують процес розв’язування рівнянь з параметрами і за якими легко простежити, у який момент не змогли одночасно виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого.

Приклад 18

Визначити число натуральних n, при яких рівняння

не має розв’язків.

Розв’язання

Дане рівняння починаємо розв’язувати як раціональне, застосовуючи метод рівносильних перетворень, потім використаємо метод «гілкування».

Рівняння не має розв’язків, якщо

Отже,

В цьому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6, 7.

Якщо то дане рівняння має вигляд і не має змісту, а значить не має розв’язків. Отже, загальне число натуральних n, при якому рівняння не має розв’язків, дорівнює 6.

Відповідь: 6.

Приклад 19

При яких значеннях а рівняння

має тільки один корінь?

Розв’язання

Квадратне рівняння має два корені незалежно від значень а. Вихідне рівняння матиме тільки один корінь, якщо один з коренів квадратного рівняння дорівнює 1 або а.

Після підстановки у квадратне рівняння значення дістанемо , тоді – корінь цього рівняння.

Якщо х=а – корінь квадратного рівняння, то отримуємо рівняння:

Звідси або . Далі маємо:

  1. тоді корінь вихідного рівняння, – сторонній корінь;

  2. , тоді корінь вихідного рівняння, – сторонній корінь.

Відповідь: 1.

Приклад 20

При яких значеннях параметра а рівняння тільки один корінь рівняння:

задовольняє нерівність

Розв’язання

Нехай Тоді У результаті заміни задане рівняння набирає вигляду:

Його корені: і

Отже, або

За нерівністю Коші, справедлива нерівність: для якщо ж то Аналогічно, якщо якщо

Рівняння має два корені і які задовольняють нерівності якщо

Рівняння теж має два корені і , де якщо

Звідси випливає, що тільки один корінь цього рівняння за модулем перевищує одиницю, якщо виконується одна з умов:

1) звідси ;

2) звідси ;

3) тобто

Відповідь:

Приклад 21

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Многочлен х2+1 додатний при будь-якому значенні х.

Отже, вихідне рівняння рівносильне рівнянню

або рівнянню

Інколи метод «гілкування» легко проілюструвати за допомогою схеми.

Відповідь: якщо ;

якщо якщо або

розв’язки не існують, якщо або

Приклад 22

Залежно від параметра а, розв’язати рівняння:

Розв’язання

Відповідь: при

при .

Приклад 23

Розв’язати рівняння

відносно х.

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне такій системі:

Перше рівняння в системі є лінійним, його можна переписати у вигляді:

або

  1. Якщо тобто , останнє рівняння має вигляд і тому розв’язків не має.

  2. Якщо ж , то рівняння має єдиний корінь

Для того, щоб розв’язати систему, врахуємо друге та третє обмеження в ній. Для цього вилучимо ті значення параметра с, при яких або

Згідно попереднього при і , рівняння набуває вигляду:

Отже, при система не має коренів.

Аналогічно при, , якщо с є коренем рівняння.

, або

Звідки

Відповідь: при , рівняння коренів не має, а при інших значеннях параметра а існує єдиний розв’язок .

Приклад 24

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Як бачимо,

Тоді

Обчислимо дискримінант та знайдемо корені утвореного рівняння:

,

при ;

при .

Якщо , то .

Тому маємо таку сукупність:

Відповідь: при ;

при ;

при .

Приклад 25

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Область визначення невідомого та параметрів, що входять до рівняння до рівняння, задовольняють обмеження , , , .

Тоді зведемо обидві частини рівняння до спільного знаменника і одержимо:

або .

Тепер розглянемо випадки:

1) Якщо , то дістанемо 2х=0, звідси х=0 – корінь рівняння;

2) Якщо , то розв’язуємо квадратне рівняння, позначивши , .

Рівняння набирає вигляду причому

Знайдемо дискримінант:

.

Оскільки завжди, то рівняння має корені при всіх допустимих m та n.

Повертаючись до підстановки, дістанемо:

Перевіримо, при яких значеннях a і b здобуті корені задовольняють рівняння.

Здобуті значення та тоді будуть коренями даного рівняння, коли справджуються такі залежності:

, , , .

Оскільки a0, b0, то ;

.

Тому є коренем рівняння для будь-яких a і b, що задовольняють умову , a0, b0.

Аналогічно

Оскільки та , то .

Отже, якщо , то х=0,

якщо , , , то ,

Відповідь: при або рівняння не має змісту;

при і і х=0;

при , , , , ,

при , , , , .

Приклад 26

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Область визначення невідомого та параметрів, що входять до рівняння до рівняння, задовольняють обмеження , .

Позначимо Тоді

Скористаємося властивістю взаємно обернених величин:

При цьому рівність виконується лише у випадку, коли

Отже, і

Тоді

Відповідь: при ;

при .

Приклад 27

Розв’язати рівняння

де х – змінна, а т – параметр.

Розв’язання

Після зведення до спільного знаменника дістанемо:

  1. Якщо то

Тобто при і (тому що для цих значень параметра ми дістанемо «заборонені» значення змінної х)

  1. Якщо то

Тобто х – будь-яке число, крім 2 і –2.

Відповідь: якщо , ;

якщо

коренів немає, якщо або .

Зауваження. Істотним етапом розв’язування задач з параметрами є запис відповіді. Це здобуті під час розв’язання результати, зібрані воєдино. І тут дуже важливо відобразити у відповіді всі етапи розв’язання.

Записавши відповідь, обов’язково необхідно перевірити, чи всі можливі значення параметрів враховано.

Приклад 28

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

  1. При рівняння не має розв’язків.

  2. При дістанемо рівняння:

звідки

Вочевидь, що це рівняння має розв’язок

якщо

та не має розв’язків, якщо .

Відповідь: якщо і ;

коренів немає, якщо і .

Приклад 29

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Після зведення до спільного знаменника дістанемо:

При дістаємо систему:

яка розв’язків не має.

При дістаємо:

тобто х – будь-яке число, крім .

Відповідь: розв’язків немає, якщо ;

якщо .

Приклад 30

При яких значеннях параметра а рівняння

має додатні розв’язки?

Розв’язання

Розв’яжемо систему:

Маємо:

Відповідь: при

Приклад 31

Розв’язати рівняння:

відносно х.

Розв’язання

Область допустимих значень невідомого і параметрів задовольняє обмеження На цій області допустимих значень одержимо рівняння, рівносильне даному:

Звідси

  1. Якщо , , то рівняння набирає вигляду . Це рівняння справджується для будь-яких значень х, що входять до області допустимих значень, тобто .

  2. Якщо , , то рівняння набирає вигляду і коренів немає.

  3. Якщо , то рівняння має єдиний розв’язок

Тепер перевіримо при яких значеннях параметрів a i b одержаний корінь належить області допустимих значень.

Виходячи з умови та , маємо то (при ). Звідси та .

Отже, якщо та , рівняння не має коренів, також, коли маємо , і будь-яке дійсне значення а. А при , , рівняння має єдиний корінь

Відповідь: при , , ;

при , , , ;

в усіх інших випадках (тобто , , або , , , або , ) розв’язків немає.

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Розв’язати рівняння при всіх допустимих значеннях параметра:

.

  1. При яких значеннях параметра а рівняння має додатні розв’язки?

  2. При яких значеннях параметра а рівняння має від’ємні розв’язки?

  3. При яких значеннях параметра а рівняння має один корінь?

  4. При яких значеннях параметра а рівняння не має розв’язків?

  5. Розв’язати рівняння: .

§3. Ірраціональні рівняння

3.1. Теоретична частина

Рівнянням зі змінною x називається рівність двох виразів . Число a називається коренем даного рівняння зі змінною x, якщо при підстановці числа a в обидві частини рівняння отримаємо правильну числову рівність.

Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або довести, що їх не існує. Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків або обидва не мають коренів. Якщо два рівняння рівносильні, то кожне з них є наслідком іншого. Ірраціональними називаються рівняння, в яких невідома величина знаходиться під знаком кореня (радикала) або під знаком дії піднесення до дробового показника степеня.

Ірраціональним рівнянням з параметром називають таке рівняння, ліва і права частини якого є алгебраїчними виразами, хоча б один з яких ірраціональний, а в лівій частині або в правій, або в обох частинах якого є параметр або параметри.

Ірраціональними називають такі алгебраїчні вирази, які крім дій додавання, віднімання, множення та піднесення до степеня з натуральним показником містять також дії добування кореня n-го степеня.

Важливо відмітити, що в таких типах рівнянь, як і в дробово-раціональних, важливо не забувати про область допустимих значень.

Основним методом розв’язування ірраціональних рівнянь є перетворення їх на раціональні рівняння. Ці перетворення виконуються за допомогою:

1) «відокремлення» радикала і піднесення обох частин рівняння до одного степеня;

2) введення нових невідомих (метод заміни);

3) штучних перетворень.

При розв’язуванні ірраціональних рівнянь використовуються наступні теореми.

Теорема 1. Рівняння вигляду рівносильне сукупності систем:

Теорема 2. Рівняння вигляду рівносильне системі:

або

З двох систем вибирається та, яка простіше розв’язується.

Теорема 3. Рівняння вигляду рівносильне системі:

Теорема 4. Рівняння вигляду рівносильне рівнянню:

Теорема 5. Рівняння вигляду рівносильне сукупності систем:

Теорема 6. Рівняння вигляду рівносильне системі

Теорема 7. Рівняння вигляду рівносильне системі:

Областю визначення рівняння, або областю його допустимих значень (ОДЗ), називається множина значень невідомого, при яких мають зміст його ліва і права частини. В одних випадках знаходження ОДЗ є корисним для розв’язання рівнянь, в інших задача визначення ОДЗ є складною і непотрібною.

Радикали парного степеня є арифметичними, тобто якщо Радикали непарного степеня визначені при будь-якому дійсному значенні підкореневого виразу.

Виходячи з цих властивостей, у ряді випадків можна розв’язати ірраціональні рівняння без перетворень.

3.2. Метод піднесення обох частин ірраціонального рівняння до одного й того самого степеня

Основний метод зведення ірраціональних рівнянь до раціональних полягає у відокремленні радикала і піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня. При цьому слід пам’ятати, що при піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня утворюється рівносильне йому рівняння, а при піднесенні до парного степеня – рівняння-наслідок. В останньому випадку можуть з’явитися сторонні корені. Щоб їх виключити, потрібно простежити за рівносильністю всіх перетворень, що досягається за допомогою змішаних систем, або виконати перевірку.

Приклад 1

Розв'язати рівняння:

Розв’язання

Враховуючи ОДЗ, Тому

Тоді

Якщо то

Відповідь: якщо то рівняння має корінь

якщо то рівняння коренів не має.

Приклад 2

Розв'язати рівняння:

Розв’язання

Якщо то

Відповідь: якщо то рівняння має корінь

якщо то рівняння коренів не має.

Приклад 3

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Відповідь: якщо то рівняння має розв’язок

Приклад 4

Чи має корені рівняння

при умові, що ?

Розв’язання

Піднісши обидві частини рівняння до квадрату, отримаємо:

Враховуючи, що підкореневий вираз є невід’ємним, маємо:

Відповідь: якщо то рівняння має корені;

якщо то рівняння коренів не має.

Приклад 5

Визначити, при якому параметрі а рівняння

матиме один або два корені.

Розв’язання

Врахувавши ОДЗ, отримаємо таку систему:

Знайдемо дискримінант утвореного рівняння:

Рівняння матиме один або два корені, якщо дискримінант буде невід’ємним.

Тому

Відповідь:

Приклад 6

При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

Рівняння не дає другого розв’язку вихідного рівняння, якщо або тобто рівняння має єдиний розв’язок при або

Відповідь: рівняння має єдиний розв’язок при

Приклад 7

При яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розв’язок?

Розв’язання

Маємо систему, рівносильну даному рівнянню:

Рівняння має єдиний розв’язок, якщо або

Відповідь: рівняння має єдиний розв’язок при

Перед тим, як підносити обидві частини рівняння до квадрата, треба проаналізувати, яких значень, додатних або від’ємних, може набувати кожна частина.

Приклад 8

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Спосіб 1

  1. Якщо то рівняння не має розв’язків.

Тоді дістаємо таку систему:

Таким чином, при вихідне рівняння має корінь

Спосіб 2

Побудуємо графік функції

Рис. 3.1

Вочевидь, рівняння не має коренів, якщо ;

при рівняння має один корінь

Відповідь: при

немає коренів при

Приклад 9

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі:

Відповідь: при

при

Приклад 10

При яких значеннях параметра а рівняння

має один розв’язок?

Розв’язання

Розглянемо функцію

Оскільки при всіх , тобто функція парна, то необхідною умовою існування єдиного кореня вихідного рівняння є рівність цього кореня нулю.

Отже,

Визначимо, скільки коренів має вихідне рівняння при

Маємо:

Оскільки , то

Отже,

Таким чином, вихідне рівняння має єдиний корінь при

Відповідь:

Приклад 11

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді:

Ліва частина цього рівняння задовольняє умову як сума додатних обернених величин, тоді як права частина рівняння не перевищує значення 2. Отже, рівність можлива тільки тоді, коли ліва і права частини рівняння дорівнюють 2, тобто виконується система рівнянь:

Відповідь: якщо

якщо

Приклад 12

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Введемо нові змінні:

,

,

де , .

Ці змінні задовольняють умову:

Таким чином, рівняння рівносильне системі рівнянь:

або

У разі, якщо , систему задовольняють довільні невід’ємні й рівні між собою значення нових змінних: .

Тоді .

Якщо , то .

Звідси знайдемо розв’язки:

Нерівності справджуються, якщо

При таких значеннях а з рівняння дістанемо

Відповідь: , якщо ;

якщо

при інших значеннях а.

Приклад 13

При яких значеннях параметра а рівняння

має два корені?

Розв’язання

Нехай , тобто

Тоді вихідне рівняння рівносильне системі рівнянь:

Віднявши від першого рівняння друге, дістанемо:

Рівняння розв’язків не має, оскільки при довільних x і t. Отже, сукупність рівносильна рівнянню і тому дане рівняння рівносильне рівнянню , або .

Дослідивши функцію на екстремум, робимо висновок, що рівняння має два корені, якщо

Відповідь:

Приклад 14

При яких значеннях параметра а рівняння

має тільки один корінь?

Розв’язання

Оскільки ліва частина рівняння невід’ємна, то .

Виконаємо заміну , .

Тоді

або

Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо рівняння:

Оскільки , то залишається одна можливість:

Отже, система набирає вигляду

і має один додатний корінь у таких випадках:

  1. звідси

Відповідь: або

Приклад 15

При яких значеннях параметра а рівняння

має розв’язки?

Розв’язання

Оскільки функція монотонно зростає на , то її область значень .

Отже, вихідне рівняння має розв’язки при .

Відповідь:

Приклад 16

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі:

Відповідь: при

немає коренів при

Приклад 17

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Позначимо Тоді дістанемо:

Відповідь: a і a при довільному

Приклад 18

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Задане рівняння рівносильне системі:

  1. Якщо то .

  2. Якщо то

Оскільки то корінь вихідного рівняння.

  1. Якщо то .

Оскільки то

При це рівняння завжди має корінь

Розв’яжемо нерівність:

Отже, якщо , то рівняння має два корені х1 і х2, а якщо – корінь х2.

Відповідь: якщо то ;

якщо то

якщо , то

якщо , то х =.

Приклад 19

Знайти найменше значення параметра , при якому рівняння

має розв’язок.

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі:

Розглянемо квадратне рівняння:

D , тобто

Отже, значення параметра , при яких вихідне рівняння має розв’язок, визначається з системи нерівностей:

.

Відповідь: min=2,5.

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Розв’язати рівняння:

  1. Знайти кількість розв’язків рівняння залежно від значень параметра а:

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

має один розв’язок?

  1. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

§4. Показникові та логарифмічні рівняння

4.1.Взаємне розміщення коренів квадратного тричлена

При розв’язуванні рівнянь і нерівностей з параметрами часто використовуються властивості квадратного тричлена , що залежать від параметрів , зокрема, це взаємне розміщення коренів квадратного тричлена (нулів функції ).

Основні задачі, пов’язані із розташуванням коренів квадратного тричлена ( та — задані числа), рівносильні виконанню таких умов:

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Якщо дискримінант квадратного тричлена не є повним квадратом, то перехід в цих задачах до рівносильних умов дозволяє уникнути розв’язання громіздких систем ірраціональних нерівностей. Якщо ж є повним квадратом, то доцільно безпосередньо обчислити корені тричлена і врахувати відповідні обмеження.

4.2. Приклади розв’язування показникових рівнянь з параметрами

Приклад 1

При яких значеннях параметра рівняння

не має дійсних коренів?

Розв’язання

Нехай , .

Рівняння набуває вигляду:

.

Сформулюємо задачу так: при яких значеннях квадратне рівняння не має коренів або має недодатні корені?

при всіх дійсних ;

; , .

Виконаємо умову

.

Відповідь: .

Приклад 2

При яких значеннях параметра рівняння

має один дійсний розв’язок?

Розв’язання

Нехай , .

Маємо рівняння: .

при ;

, ; при .

Дане показникове рівняння має один корінь в двох випадках:

1) , , тобто при ;

2) , , , тобто , .

Відповідь: , .

Приклад 3

При яких значеннях параметра рівняння

має два дійсних розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Розв’язання

Нехай , .

Рівняння набуває вигляду:

,

при ;

, при ;

, при , .

Отже, при квадратне рівняння має два додатних корені:

або , звідки

, ,

; .

Відповідь: якщо , то , .

Приклад 4

При яких значеннях параметра рівняння

має два дійсних розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Розв’язання

Нехай , .

Рівняння набуває вигляду:

,

при ;

,

.

Для того, щоб дане рівняння мало два розв’язки, обидві корені квадратного рівняння повинні бути додатними:

Враховуючи умову , маємо: при

Відповідь: якщо , то , .

Приклад 5

При яких значеннях параметра рівняння

має два дійсних розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Розв’язання

Нехай , .

Рівняння набуває вигляду:

,

, при , тобто при , , .

Треба виконати умову

Використаємо властивості функції .

В даному випадку графік відповідної функції повинен бути розміщений так:

Задача рівносильна виконанню умов:

Відповідь: якщо , то .

Приклад 6

При яких всіх дійсних значеннях параметра розв’язати рівняння

.

Розв’язання

Нехай , .

Рівняння набуває вигляду:

.

, .

Розглянемо можливі випадки в залежності від :

  1. дане показникове рівняння має два дійсних корені: , якщо .

  2. дане рівняння має один корінь, якщо:

а)

Отже, якщо , то , ,

.

б)

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то розв’язків немає.

4.3. Приклади розв’язування логарифмічних рівнянь з параметрами

Приклад 1

Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Рівняння рівносильне системі:

Проаналізуємо результати:

Відповідь: якщо , то ,

якщо , то ;

якщо , то .

Приклад 2

Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Рівняння рівносильне системі:

при

1)

2)

Відповідь: якщо , то ;

якщо , то ;

якщо , то або .

Приклад 3

Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Запишемо рівняння в іншому вигляді:

.

Нехай .

Тоді ;

; ; .

Маємо: або

;

Враховуємо О.Д.З.:

Відповідь: якщо , то рівняння розв’язків не має;

якщо , то або .

Приклад 4

Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

ОДЗ: , , , .

Зведемо всі логарифми до основи :

;

.

Нехай .

;

;

, .

Маємо:

1) ,

2) , ,

Відповідь: якщо , то рівняння розв’язків не має;

якщо , то або .

Приклад 5

При яких значень параметра рівняння

має рівно два розв’язка?

Розв’язання

За означенням логарифма:

;

,

;

при ;

.

Задачу можна сформулювати так: при яких обидва корені і додатні.

Розглянемо функцію .

.

Відповідь: .

Приклад 6

При яких значень параметра рівняння

має єдиний розв’язок?

Розв’язання

Рівняння рівносильне системі:

Сформулюємо дану задачу так: при яких значеннях параметра квадратне рівняння

має один розв’язок, більший за ?

.

Парабола направлена гілками вгору.

Можливі випадки:

або

, .

Відповідь: .

Приклад 7

Знайдіть усі значення параметра а, при якому добуток коренів рівняння

дорівнює 8.

Розв’язання

Введемо заміну: , тоді отримаємо рівняння:

Якщо то рівняння має два корені:

Повернемося до заміни:

Обчислимо добуток коренів:

Оскільки добуток коренів дорівнює 8, то

Врахувавши умову отримаємо:

Відповідь: 1,5.

Приклад 8

Розв’язати рівняння:

log2(х2–2х)=log2(2х-4).

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі:

Якщо , то – корінь цього рівняння.

Якщо , то рівняння розв’язків немає.

Відповідь: , якщо ;

, якщо .

Приклад 9

Знайти всі значення параметра , при яких рівняння

log1/2(х) = 2log1/2( х + 1 )

має один і тільки один корінь. Знайти цей корінь.

Розв’язання

ОДЗ: х > 0, х + 1 > 0

Тоді log1/2(х) = log1/2(х + 1)2;

х = (х + 1)2;

х = х2 + 2х + 1;

х2 ( 2)х + 1 = 0.

D = (2)24 = 24+44 = ( 4)

х1/2=

Для того, щоб корені квадратного рівні були дійсними числами, необхідно і достатньо, щоб (4), тобто або <0(≠0). Розглянемо випадки:

1) якщо >4, то обидва корені додатні і різні;

2) якщо =4, то корені співпадають: х1,2=1;

3) якщо <0, то обидва корені від’ємні і різні, бо за теоремою, оберненою до теореми Вієта:

ОДЗ задовольняє більший з них, тобто х1=.

Оскільки х1х2=1, то 1<х1<0 і х2<1 не задовольняє умову: х+1>0.

Відповідь: 1, якщо =4;

, якщо <0.

Приклад 10

Визначити всі значення параметра , при яких рівняння

lg2|x|+lg(2–x) –lg(lg)=0

має єдиний розв’язок.

Розв’язання

Введемо заміну lg=k і запишемо рівняння, рівносильне вихідному: lg(2|х|(2–х))=lgk.

Дане рівняння рівносильне системі:

Потрібно побудувати графік функції у=2|х|(2–х) для х<2, х≠0.

Запишемо дану функцію у вигляді

у=

у=

Цей графік сім’я прямих у=k повинна перетнути тільки в одній точці. Робимо висновок, що ця вимога виконується лише при k>2, тобто lg>2, >100.

Відповідь: >100.

Приклад 11

Визначити найбільше ціле значення параметра , при якому рівняння має два різні розв’язки:

(х+)lg(х–5)=0.

Розв’язання

ОДЗ: х–5>0

х>5

Дане рівняння рівносильне системі:

а<–5.

Якщо = –6, то рівняння має один розв’язок. Тому рівняння має два розв’язки при найбільшому цілому значенні параметра = –7.

Відповідь: = –7.

Приклад 12

Нехай х1, х2 – корені рівняння

log22х+ log2х+с=0 (≠0).

Складіть рівняння такого самого типу, коренями якого є числа та

Розв’язання

За теоремою Вієта, складаємо систему рівнянь:

Тоді:

Отже, , корені рівняння:

Числа та будуть коренями рівняння:

Відповідь:

Вправи для самостійного розв’язування

  1. При яких значеннях рівняння має принаймні один розв’язок?

  2. Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. .

  1. При яких значеннях параметра рівняння має два різних дійсних розв’язки? Знайти ці розв’язки.

§5. ЗНО і параметри

Приклади розв’язування ірраціональних рівнянь

з параметром із ЗНО

Приклад 1 (ЗНО 2012)

При якому найменшому цілому значенні параметра а рівняння

-=а

має лише 2 розв’язки?

Розв’язання

ОДЗ: 2х+15 ≥ 0, х7,5

х1=7,5 при будь-якому а – перший корінь.

Знайдемо другий корінь:

х+9│х5│= а

нулі модулів: х=9, х=5

Розв’яжемо графічно:

  1. х < 9: х9+х5=а.

0х=а+14, а=14.

  1. –9 ≤ х ≤ 5:

Рис. 5.1

х

– 9

5

у

–14

14

х+9+х5=0;

2х+4=а;

а=2х+4.

  1. х > 5:

х+9х+5=а;

а=14.

При а=14 та а=14, як видно з рисунка, рівняння має безліч розв’язків.

Отже, другий корінь при . Оскільки згідно умови потрібно вказати найменше ціле значення параметра а, то воно дорівнює 13.

Відповідь: при а= 13 рівняння має лише 2 розв’язки.

Приклад 2 (ЗНО 2013)

При якому найбільшому від’ємному значенні параметра а рівняння

має один розв’язок?

Розв’язання

І спосіб (графічний метод)

Ліву частину графіка не враховуємо, тому що там а > 0.

Рис.5.2

Знайдемо рівняння дотичної до графіка

Добудемо кубічний корінь з обох частин:

Піднесемо до ІV степеня:

ІІ спосіб.

Розв’яжемо рівняння методом застосування властивостей функції:

В самому завданні криється підказка, яким методом слід розв’язувати це рівняння: «при якому найбільшому від’ємному значенні параметра а рівняння має один корінь», тобто це підказка, що слід розглянути функцію
Друга – знайти найбільше значення; тобто знайти максимум функції а(х), третя – як розкрити модуль, якщо в завданні сказано, що а – від’ємне.

Область значень тобто – додатне, отже і 2х повинно бути додатним, щоб різниця була від’ємною. Одержуємо, що функція а(х) розглядаються для х > 0.

ОДЗ: ǀхǀ–3, ǀхǀ3, х є (–∞;–3)U(3; ∞)

Отже, точка максимуму і модуль розкриється так:

Необхідною умовою існування екстремуму є рівність першої похідної 0.

Визначимо і розв’яжемо рівняння

Піднісши обидві частини до четвертого степеня, отримаємо:

– критична точка.

Перевіримо достатню умову існування екстремуму:

Зліва від

Справа від

Похідна функції змінює знай з «+» на «–», отже – точка максимуму.

Підставимо отримане значення х в рівняння:

Відповідь: –5,625.

Приклад 3 (ЗНО 2016)

Розв’язати рівняння залежно від значень параметра a:

Розв'язання

Область допустимих значень (ОДЗ):

підкореневі вирази мають бути невід’ємні і знаменник не може дорівнювати нулю.

Звідки зразу можна сказати, що .

Дріб, у загальному випадку, дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

Знайдемо загальний розв’язок рівняння, тобто коли чисельник дорівнює нулю.



Тобто в загальному випадку маємо два корені.

Підставимо замість x ці корені у другу умову ОДЗ:

для


при
для


при
.

Знайдемо значення параметра а, при якому знаменник перетворюється в нуль, які необхідно виключити із загального розв’язку.

Тобто розв’яжемо рівняння:

Легко бачити, що в це рівняння входить 5 в степені x та 5 в степені 2x. Таке рівняння можна розв’язати, ввівши заміну:

Рівняння зводиться до квадратного:

Рівняння не має розв’язків.

Отже, , тобто при таких значеннях параметра знаменник перетворюється в нуль і їх треба виключити.

Підставимо знайдені раніше значення і в і отримаємо:

,

Тобто при буде не два корені, а лише один:

Тобто при буде не два корені, а лише один

Відповідь: при рівняння не має змісту;

при два корені і ;

при один корінь ;

при один корінь

Відповіді до вправ

для самостійного розв’язування

§2. Дробово-раціональні рівняння

  1. Якщо

якщо

  1. Якщо

якщо

  1. якщо

  1. якщо

  2. якщо якщо і якщо

  3. якщо якщо якщо

  4. якщо якщо і якщо

  5. якщо якщо якщо

  6. якщо якщо якщо якщо якщо

§3. Ірраціональні рівняння

  1. 1) при розв’язків немає при

2) при розв’язків немає при

3) при при коренів немає при

4) при коренів немає при

  1. 1) один корінь, якщо розв’язків немає при

2) розв’язків немає, якщо один корінь, якщо два корені при

  1. при

  2. при

§4. Показникові та логарифмічні рівняння

    1. .

  1. а) , ;

, , ;

– розв’язків немає;

б) , ;

– розв’язків немає;

в) , або ;

;

– розв’язків немає;

г) , або ;

;

– розв’язків немає;

д) , , ;

, розв’язків немає;

е) , , ;

, розв’язків немає.

  1. , .

Опорні схеми

ОС-1

ОС-2

ОС-3

ОС-4

ОС-5

ОС-6

ОС-7

Список літератури

  1. Апостолова Г.В., Ясінський В.В. Перші зустрічі з параметром. - К.: Факт, 2006. – 324с.

  2. Балан В. Г., Лавренюк В. І., Шарова Л.І. Квадратний тричлен з коефіцієнтоми залежними від параметра. –К. : 1996. –107с.

  3. Горделадзе Ш. Г. ,Кухарчук М.М, Яремчук Ф. П. Збірник конкурсних задач з математики.-К.: 1998. –127с.

  4. Горнштейн, Полонський В. Б., Якір М. С. ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРОМ . – Тернопіль «Підручники і посібники». 2004 –336с.

  5. Доманська І.П., Зеліско Г.В., Стахів Л.Л. Рівняння з параметрами: Методичні рекомендації.- Львів: Видавн. центр ЛДУ ім. І. Франка, 2005.

  6. Дорофєєв Г. В. квадратний тричлен в задачах . – Львів, 1991 – 22с.

  7. Истер А. С Решебник основних конкурсних задач по математике. За редак. Сканави М. И. –К.: А. С. К., 2002. –347с.

  8. Ковальчук В. Ф., Корнієць С. Д., Лавренюк В. І., Мартиненко В.С., Шарава Л. І. Математика. За редакцією Лавренюка В. І. – К. : МСП «Козаки», 1996 – 59с.

  9. Кушнир И.А. Шедеври школьной математики. т.1, т.2. –К.: «Астарта», 1995.–510с.

  10. Лавренюк В. І.,Ломоносов Л. М., Шарова Л. І. Дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами,залежними від параметра.-К. : КДУ ,1989.-21с.

  11. Майборода І. М., Мельник В. Л.,Філон Л.Г., Шидловська Л. М. Математика. Посібник для вступників у вузи. Чернігів. 2001, - 179с.

  12. А.Г Мерзляк, В.Б Полонський, Ю.М Робінович, М.С. Якір. Збірник задач і контрольних робіт з алгебри для 9 класу. Харків. „Гімназія”. 2009.

  13. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Профільний рівень. – Х. : Гімназія, 2010. – 416с.

  14. Сержук С.В. Рівняння з параметрами // Математика в школах України, № 17-18, 2004.

  15. Цегелик Г.Г. Збірник типових конкурсних тестових завданьз математики: Навчальний посібник.-Львів: Видавн. центр ЛДУ ім. І. Франка, 2005.–140с.

  16. Ясінський В.В. Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДП НТУУ «КПІ».-К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2014. – 472с.

ЗМІСТ

Передмова 3

§1. Теоретичні основи 7

§2. Дробово-раціональні рівняння 13

§3. Ірраціональні рівняння 47

§4. Показникові та логарифмічні рівняння 67

§5. ЗНО і параметри 91

Відповіді до вправ для самостійного розв’язування 99

Опорні схеми 103

Список літератури 111

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.